高等几何课件

1．映射與變換設有集合S和S/，若對S中每一元素M，按照確定的法則T，在S/中總存在唯一元素M/與之對應，則稱此法則T為集合S到集合S/的映射，記為

T:S

S/．(1.1)若在T之下，元素M(

S)的對應元素是M/(

S/)，則說T將M映成M/，記為

變換群與幾何學___§1變換與變換群並稱M/為M在T之下的象，M為M/在T之下的原象．M

M/

T(M)，T§1變換與變換群T(S)：集合S的全體元素在T之下的象的集合．滿射：T(S)

S/；單射：S的不同元素的象元素也不同；雙射：既是單射又是滿射的映射．術語約定：兩個集合之間的雙射稱為對應；將集合到自身的雙射稱為變換．幾種常見變換例1．恒等變換若變換T，將S上每一元素變到自身，即則稱為恒等變換(或單位變換)，記為I．M

T(M)

M，

M

S，TOijxyMM/a§1變換與變換群取直角標架[O;i,j]，設M(x,y)，M/(x/,y/)，

a

{a1,a2}，則Ta的座標運算式為：簡稱為平移．記為Ta．Ta：x/

x

a1y/

y

a2(1.2)

例2．平移變換將平面上的點M按定向量方向a移動到點M/，使得MM/

a的變換稱為平移變換，

oijxyMM/

§1變換與變換群例3．旋轉變換對平面上固定點O和有向定角

，使原象點M與象點M/滿足的點變換稱為以O為中心的旋轉變換，簡稱旋轉，記為R

．其運算式為：R

：x/

xcos

ysin

y/

xsin

ycos

(1.3)

|OM/|

|OM|，

MOM/

例4．鏡射變換對平面上的定直線

，使原象點M與象點M/之間的線段被

垂直平分的點變換稱為以

為軸的鏡射變換，簡稱鏡射．建立如圖坐標系，則其運算式為：§1變換與變換群OijxyMM/

x/

xy/

yMox：(1.4)

ABCDEMA/E/B/C/D/M/

/

例5．平行射影二平面

、

/交於直線

，向量

與二平面都不平行．對於

上任意點M，過M作平行於

的直線，交

/於M/，則將M映成M/的點對應稱為平面

到平面

/

的平行射影，向量

為投射方向．性質：

1．將直線變成直線；

2．保持平行性和平行線段之比；

3．對應點連線平行，直線

上的點不變．§1變換與變換群2．映射的乘積與逆設點M先用R

作用得到M/，再用Ta作用得到M//，則由(1.3)和(1.2)可得M到M//的變換為：§1變換與變換群x//

xcos

ysin

a1y//

xsin

ycos

a2

我們稱這種從M到M//的變換為R

和Ta的乘積，記為Ta

。R

(或Ta

R

)．一般地，設有映射T1:S

S/和T2:S/

S//，則乘積

T2T1:S

S//

定義為對任意M

S，

T2T1(M)

T2[T1(M)]．結合律成立：T3(T2T1)

(T3T2)T1．但乘積一般不可換．對於變換T:S

S，有

TT

1

T

1T

I．易知：Ta

1

T

a，TaTb

Ta

b；

R

1

R

，R

R

R

．§1變換與變換群3．不動元素與不動子集對於變換T:S

S

，若存在元素M

S

，使T(M)

M，則稱M為此變換的不動元素；若存在S的子集F，使T(F)

F

，則稱F為此變換的不動子集．注意：

1．不動元構成的子集是不動子集；但不動子集的元素不一定是不動元．如，與非零向量a

平行的直線都是平移Ta

的不動直線，但Ta

無不動點．

2．變換T:S

S

與T

1有相同的不動子集．§1變換與變換群§1變換與變換群解：設直線

經此鏡射作用後的象為

/：Ax/

By/

C

0，將變換式代入，得Ax

By

C

0．

不動(即

與

/重合)的充要條件為

A/A

B/(

B)

C/C，此式等價於2AB

2BC

0，即A

0，B

0，C

0或A

0，B

0，故不動直線的方程為

y

0和Ax

C

0(A

0)．例求鏡射變換的不動直線．x/

xy/

y

4．變換群若集合S上的某些變換構成的集合G滿足條件：

1.G中任二變換的乘積仍屬於G

；

2.G中每一變換T的逆T

1也屬於G

，則稱G為集合S上的一個變換群．由定義知：任何變換群一定包含恒等變換．可以證明：平面上繞定點O的旋轉變換的集合G是一個變換群，稱為旋轉群．記為G1．只含恒等變換的集合{I}也是變換群．若二變換群G*、G滿足G*

G

，則稱G*為G的子(變換)群．§1變換與變換群如：變換群G是其自身的子群，{I}是任意變換群的子群．可以證明：G*

{R0

I，R

/2，R

，R3

/2}是旋轉群G1的非平凡子群(即真子群)．§1變換與變換群§2仿射座標與仿射平面1．仿射座標與仿射座標變換平面上一定點O及二不共線向量e1、e2構成一個仿射標架，記為

[O；e1，e2]．任意點M的向徑的分解式為：OxyMEyExe2e1a則有序數對(x,y)稱為點M關於標架

的仿射座標．OM

xe1

ye2(1)

{x,y}也稱為向量OM的座標(或分量)．

顯然，原點O的座標是(0,0)；x軸上的單位點為Ex(1,0)；y軸上的單位點為Ey(0,1)．若在平面上給定仿射標架，則平面上全體點的集合與全體有序數對的集合有一一對應關係，故也說在平面上建立了一個仿射坐標系Oxy．因此常直接稱標架

[O；e1，e2]為仿射坐標系，O稱為座標原點，e1和e2稱為基本向量．習慣上，將建立了仿射坐標系的平面稱為仿射平面．§2仿射座標與仿射平面仿射座標變換§2仿射座標與仿射平面OO/yxMe1e2e1/e2/考察M在

下的座標(x,y)與在

/下的座標(x/,y/)之間的關係，即求仿射座標變換式．仿射平面上給定二仿射坐標系

[O;e1,e2]和

/

[O/;e1/,e2/]．設在

下，新原點及新基本向量的座標分別為O/(a1,a2)，e1/

{a11,a21}，e2/

{a12,a22}，則仿射座標變換式為：寫成矩陣形式，為§2仿射座標與仿射平面x

a11x/

a12y/

a1y

a21x/

a22y/

a2，det(aij)

0(2)

x

a11a12x/

a1y

a21

a22y/a2

，det(aij)

0(2)/

由(2)可得，向量在

下的座標{u,v}與在

/下的座標{u/,v/}之間的關係為：故有定理1

點的仿射座標變換是滿秩線性變換．定理2

向量的仿射座標變換是滿秩齊次線性變換．特例：直角坐標變換§2仿射座標與仿射平面u=a11u/

a12v/v=a21u/

a22v/

，det(aij)≠0(3)

OO/xyM

y/x/e1/e2/e1e2記有向角

e1,e1/

，則e1/

{a11,a21}

{cos

,sin

}，e2/

{a12,a22}

{

sin

,cos

}，§2仿射座標與仿射平面代入(2)式即得平面解析幾何中的直角坐標變換式：x

x/cos

y/sin

a1y

x/sin

y/cos

a2．

§2仿射座標與仿射平面仿射平面上的幾個常用結論過點M0(x0,y0)，平行於向量

{u,v}的直線

的方程為：

(x

x0)/u

(y

y0)/v，(1)

稱為直線

的點向式方程．u

0時，可變形為：y

kx

b；其中，k

v/u稱為直線的方向數；

u

0時，成為：x

x0，約定其方向數為

．上述分析表明，直線方程總形如：Ax

By

C

0(A，B不同時為0)，稱為直線的一般式方程．OxyMM0

e1e2仿射平面上關於點與直線的幾個結論：1.

二直線

(i)：Aix

Biy

Ci

0(i

1,2)

相交

A1/A2

B1/B2；平行

A1/A2

B1/B2

C1/C2；重合

A1/A2

B1/B2

C1/C2．§2仿射座標與仿射平面直線的參數方程：x

x0

uty

y0

vt(

t

)

且若P3分線段P1P2成定比

，則

x3

(x1

x2)/(1

)，y3

(y1

y2)/(1

)．2.

三點Pi(xi,yi)(i

1,2,3)共線

x1

y11x2

y21=0，x3

y31

§2仿射座標與仿射平面3.

三直線

(i)：Aix

Biy

Ci

0(i

1,2,3)共點或平行的充要條件是：A1

B1

C1A2

B2

C2

0．A3

B3

C3

注：以上結論與直角坐標系下相應結論一致；但特殊的直角坐標系下成立的結論不能完全照搬到一般仿射坐標系下．§3仿射變換1．透視仿射變換uv

*MNM/N/M*N*

設平面

與

*

交於直線

，取分別具有投射方向u，v的兩個平行射影T1：

*和T2：

*

，則乘積

T

T2T1：

稱為

上的透視仿射變換．§3仿射變換幾何性質：

I.

將點變成點，將直線變成直線；

II.

保持平行性和平行線段之比；

III.

對應點連線平行；

IV.

交線

上的點均為不動點．對應點連線所具有的固定方向稱為透視方向；平面

與

*交線

稱為透視仿射軸(簡稱軸)．可以證明：一對對應直線與軸這三條直線或者三線共點，或者三線平行．定理1軸和一對對應點決定唯一透視仿射變換．（存在性易得．唯一性見後圖）§3仿射變換A/M/M//AMB

C2．仿射變換的定義及性質平面

上的點變換T:

，若將直線變成直線，且保持平行性和平行線段之比，則稱為仿射變換．基本性質：

1．同素性；

2．結合性；

3．將向量變成向量且保持向量的線性關係．§3仿射變換若A、B、C是共線三點，則AC

BC．

稱係數

為A、B、C的簡單比，記為

(ABC)；稱A、B為基點，C為分點．

4．仿射變換保持共線三點的簡單比．設在給定仿射坐標系下，A(xA,yA)，B(xB,yB)，C(xC,yC)，則

(ABC)

(xC

xA)/(xC

xB)(yC

yA)/(yC

yB)．又(xC

xA)/(xC

xB)(yC

yA)/(yC

yB)

AC/BC．故簡單比也可定義為：(ABC)

AC/BC．§3仿射變換例求證：若仿射變換有兩個不動點M

和N，則直線MN上每一點都是此變換的不動點．證明：設P

是直線MN

上任一點，其在仿射變換下的象為P/，則

(PMN)

(P/MN)，即PN/MN

P/N/MN．故P

P/，即直線MN

上的點都是不動點．§3仿射變換3.仿射變換的運算式如圖，設Oe1e2e/1e/2ExMxEyMyE/xM/xE/yM/yO/x/y/xyM/MM(x,y)

M/(x/,y/)TMx

Mx/TT

O

O/(a1,a2)My

My/Te1

OEx

T

O/Ex/

e1/

{a11,a21}

e2

OEy

T

O/Ey/

e2/

{a12,a22}

§3仿射變換故得仿射變換的運算式為：x/

a11x

a12y

a1y/

a21x

a22y

a2，det(aij)

0．(2)

T則OMx

xOEx

O/Mx/

xO/Ex/

TOMy

yOEy

O/My/

yO/Ey/

但OM/

OO/

O/Mx/

O/My/，

即OM/

OO/

xO/Ex/

yO/Ey/，(1)

其矩陣形式為：於是有定理2

在給定的仿射坐標系下，平面上的仿射變換是滿秩線性變換．反之，可證明滿秩線性變換是仿射變換．推論1

在仿射坐標系

=[O;e1,e2]下，對仿射變換(2)而言,{a11,a21}=e1/,{a12,a22}=e2/分別是e1,e2的仿射象,O/(a1,a2)是原點O的仿射象．§3仿射變換

x/

a11a12x

a1y/

a21

a22ya2，det(aij)

0(2)/

推論2

仿射變換將仿射坐標系變成仿射坐標系，且象點在象坐標系下的座標等於原象點在原坐標系下的座標．推論3

代數曲線的次數在仿射變換下不變．注意：將仿射點變換(2)與§2的仿射座標變換(2)比較，可見二者在形式上均為滿秩線性變換．意味著，對滿秩線性變換可作兩種不同解釋：一、可理解為在同一坐標系下，點的座標與其仿射象點的座標之間的關係；二、可看成在二不同坐標系下，同一點的不同座標之間的關係．按照上述思想，從向量的座標變換式立即得到§3仿射變換定理3

在仿射變換(2)下，若向量

{u,v}的象為

/

{u/,v/}，則例1

位似變換§3仿射變換Oxye1e21．不動點：原點；2．不動直線：過原點的直線；3．不是透視仿射變換．u/

a11u

a12vv/

a21u

a22v，det(aij)

0(3)

x/

axy/

ay，a

0

例2伸縮變換不動點：x軸上的所有點；不動直線：平行於y軸的所有直線以及x軸．在直角坐標系下，圓x2

y2

1經其作用後變成橢圓x/2

y/2/a2

1．問：伸縮變換是透視仿射變換嗎？§3仿射變換OxyPP/e1e2x/

xy/

ay，a

0

Oyxe1e2PP/MM/y=y0例3推移變換不動點：

x軸上的所有點；不動直線：平行於x軸的所有直線．問：伸縮變換是透視仿射變換嗎？§3仿射變換x/

x

ayy/

y，a

0

4．重要定理定理4

設Pi(xi,yi)和Pi/(xi/,yi/)(i

1,2,3)分別是平面上不共線三點，則存在唯一仿射變換將Pi映成Pi/．§3仿射變換證明：設仿射變換為將

(xi,yi)

(xi/,yi/)代入，得在上式的第一式中，令i

1,2,3，得xi/

a11xi

a12yi

a1yi/

a21xi

a22yi

a2，(1)

x/

a11x

a12y

a1y/

a21x

a22y

a2，det(aij)

0．

§3仿射變換因P1、P2

、P3不共線，故因此方程組(2)有唯一解a11,a12,a1，同理可求唯一確定的a21,a22,a2．再由(2)可得x1/

a11x1

a12y1

a1x2/

a11x2

a12y2

a1x3/

a11x3

a12y3

a1，(2)

x1

y11x2

y21

0，x3

y31

x2/

x1/y2/

y1/x3/

x1/y3/

y1/x2

x1

y2

y1x3

x1

y3

y1a11

a21a12

a22

，

§3仿射變換因P1/、P2/、P3/不共線，故

故定理成立．推論1

仿射變換是透視仿射變換

該仿射變換有一條由不動點構成的直線．推論2

仿射變換是恒等變換

該仿射變換有不共線三不動點．x2/

x1/y2/

y1/x3/

x1/y3/

y1/0．

從而，0．a11

a21a12

a22

定理5

非透視的仿射變換可通過至多三次透視仿射變換來實現．

定理5的證明思路：設A、B、C

是仿射變換T

的三不共線的非不動點，其對應點依次為A/、B/、C/．§3仿射變換A/B/C2

A/B1C1ABCA/B/C/

定理6

平面上全體仿射變換的集合構成一個變換群，稱為仿射群．記為G6．T1

T2

T3§4歐氏平面和保距變換1.保距變換的定義及運算式建立了直角坐標系的平面稱為歐氏平面．歐式平面上，保持距離不變的仿射變換稱為保距變換(或正交變換)．x/

a11a12x

a1y/

a21

a22ya2，det(aij)

0T：是保距變換

A(aij)是正交矩陣．

定理1

直角坐標系下，仿射變換：

證明：設在仿射變換T作用下

v

{v1,v2}變成v/

{v1/,v2/}．由於(v1/v2/)

(v1

v2)AT，從而對任意向量v，v/2

v2的充要條件是ATA

E，等價於A

1

AT．注：正交條件A1

AT

用矩陣元素表示為：

a112

a212

a122+a2221，a11a12

a21a220．也等價於：

a112

a122

a212

a2221，a11a21

a12a220．正交條件也可描述為：矩陣的兩個行向量單位正交，或二列向量單位正交．利用上述代數條件不難得出下麵的結論：§4歐氏平面和保距變換

(v1

v2)ATA

v1v2故v/2

(v1/v2/)v1/v2/

例將點(0,1)，(2,0)分別變成(

1,0)，(0,2)的保距變換是否存在？若存在，寫出變換式．

解：假定保距變換存在，設為§4歐氏平面和保距變換x/cos

sin

x

a1y/sin

cos

ya2定理2

直角坐標系下，保距變換可表示為：其中，定角

(

,

]．

x/

a11a12x

a1y/

a21a22

ya2．

1

a11a120

a10a21a22

1a2則，

§4歐氏平面和保距變換且0

a11a122

a12a21a22

0a2，

由此得a12

a1

1(1)a22

a2

0(2)2a11

a1

0(3)2a21

a2

2(4)a112

a1221(5)a212

a2221(6)a11a21

a12a220(7)

由(1)、(3)、(5)解得a1

0a11

0a121a1

8/5a11

4/5a123/5或

§4歐氏平面和保距變換故所求保距變換存在，為由(2)、(4)、(6)解得a2

0a22

0a211a2

4/5a22

4/5a213/5或

a1

0a11

0a121a2

0a22

0a211a1

8/5a11

4/5a123/5a2

4/5a22

4/5a213/5由(7)得或

x/4/5

3/5

x

8/5y/3/5

4/5

y4/5x/0

1

xy/10

y

或

．

§4歐氏平面和保距變換2.保距變換的實現定理3行列式為

1的非恒等保距變換是旋轉與平移的乘積．

證明：容易看到，保距變換的乘積．即T

TaR

．

x/cos

sin

x

a1y/sin

cos

ya2

T:

R

：x//

xcos

ysin

y//

xsin

ycos

是旋轉

與平移Ta：x/

x//

a1y/

y//

a2

§4歐氏平面和保距變換定理4行列式為

1的非恒等保距變換是旋轉、鏡射和平移的乘積．

證明：保距變換的乘積．即T

TaRoxR(

)．x/cos

sin

x

a1y/sin

cos

ya2

T:

x//

xcos(

)

ysin(

)y//

xsin(

)

ycos(

)是旋轉R(

)：

鏡射Mox：x///

x//

y///

y//

與平移Ta：x/

x///

a1y/

y///

a2

§4歐氏平面和保距變換行列式為

1的保距變換稱為正運動；行列式為

1的保距變換稱為反運動．3.保距變換的性質定理5保距變換保持向量內積不變．

證明：設在保距變換下，

{u1,u2}

{u1/,u2/}，{v1,v2}

{v1/,v2/}，則

(u1

u2)ATA

v1v2

u1v1

u2v2．v1v2

(u1,u2)

u1/v1/

u2/v2/

(u1/,u2/)v1/v2/

§4歐氏平面和保距變換定理6保距變換保持向量夾角不變．推論保距變換保持面積不變．定理7仿射變換是保距變換

它將直角坐標系變成直角坐標系．定理8平面上全體保距變換的集合構成一個變換群，稱為歐氏群(或運動群)．記為G3．易證：全體正運動的集合構成群，稱為正運動群．顯然，正運動群是歐氏群的子群，而歐氏群是仿射群的子群．§5幾何學與變換群的關係1．Klein觀點介紹若給定集合S和S上的一個變換群G，則稱配對(S,G)為空間．若對S中的圖形F

和F/，存在G

的變換T，使F變成F/，則稱F

和F/

有關系，記為F/

F．利用近世代數知識不難證明引理上述圖形間的關係“

”是等價關係．由此可按照等價關係“

”對S的圖形進行分類：等價圖形屬於同一類，不等價圖形屬於不同類．每一等價類中各圖形所共有的性質和量為在群G的變換下的不變性質和不變量．§5幾何學與變換群的關係對於空間(S,G)而言，研究圖形關於群G

下的不變性質、不變量和圖形分類的所有命題的集合，稱為集合S上群G附屬的幾何學．若集合S上的群G*

是G的子群，則稱G*

附屬的幾何是G附屬的幾何的子幾何．顯然，群所含變換越少，不變性質和不變量就越多，從而其所附屬的幾何學包含的內容就多．2．變換群與幾何學平面上歐氏群附屬的幾何學稱為歐氏平面幾何．平面上仿射群附屬的幾何學稱為仿射幾何．§5幾何學與變換群的關係按照Klein觀點，變換群與幾何學的關係如下：對於給定的空間，不同的變換群附屬不同的幾何學，它研究圖形在此變換群下的不變性質、不變量和圖形分類．如仿射幾何研究的平行性、同素性、結合性是仿射不變性質，簡單比是其不變量．而歐氏群附屬的歐氏幾何研究的長度、角度、面積是其不變性質，簡單比、距離是其不變量．由於歐氏群是仿射群的子群，故歐氏幾何是仿射幾何的子幾何．而後面將學習的射影幾何則是比仿射幾何更大的幾何．例1

下列圖形在仿射變換下的對應圖形是什麼？平行四邊形；梯形；等腰三角形；二全等的矩形例2

下列幾何量和性質是哪種(最大的)幾何學討論的對象？線段的長度；兩直線所成的角；離心率；平行線段之比；三角形面積；平行；垂直；平行四邊形對角線互相平分．例3

仿射變換下，正方形有哪些性質不變？其仿射像是什麼圖形？

例4“三角形重心”與“二互相垂直直线”的仿射象各是什么？§5幾何學與變換群的關係

二次曲線的射影理論

§1.配極與二次曲線1.二階曲線與二級曲線給定配極射影平面上，配極的自共軛直線的軌跡稱為二級曲線．射影平面上，配極的自共軛點的軌跡稱為二階曲線．其中，aij

aji，Aij是(aij)中aij的代數餘子式．其對應的二階曲線和二級曲線方程為：

(

1,

2,

3)(x1,x2,x3)(aij)

(x1,x2,x3)(

1,

2,

3)(Aij)．

：

§1.配極與二次曲線由於配極有兩種類型，故曲線也如此．若配極為雙曲型，則其對應二級曲線有無窮多實直線，故也稱為二次線束．(如下圖)若配極為雙曲型，則其對應二階曲線有無窮多實點，故也稱為二次點列．(如下圖)配極對應的二級曲線方程為：配極對應的二階曲線方程為：(x1,

x2,x3)(aij)0．(1)x1x2x3(

1,

2,

3)(Aij)0．(1)/

1

2

3即

aijxixj

0,aij

aji．即

Aij

i

j

0,Aij

Aji．

§1.配極與二次曲線若配極是橢圓型的，則其對應二級曲線不存在，或說對應虛二級曲線．若配極是橢圓型的，則其對應二階曲線不存在，或說對應虛二階曲線．由於配極與曲線的對應，故可將配極的相關概念移植到曲線．下麵就雙曲型配極對應的曲線討論點、直線與曲線的關係．§1.配極與二次曲線1.

切線：

的自共軛直線．切點為該直線上的自共軛點；(其等價定義：切線是有唯一屬於二階曲線的點的點列)1.

切點：

的自共軛點．切線為過該點的自共軛直線；(其等價定義：切點是有唯一屬於二級曲線的直線的線束)2.

二切點線(割線)：過二自共軛點的直線；2.

二切線點：有二自共軛直線通過的點；3.

無切點線(離線)：不過自共軛點的直線．3.

無切線點：無自共軛直線通過的點．

abc§1.配極與二次曲線2.極點與極線二次曲線配極的極點和極線，稱為其對應二階曲線和二級曲線的極點和極線．定理1/

對於二級曲線定理1

對於二階曲線直線

的極點方程為點y

的極線方程為(x1,

x2,x3)(aij)0．(2)x1x2x3(

1,

2,

3)(Aij)0．(2)/

1

2

3

(y1,

y2,y3)(aij)0．(3)x1x2x3(

1,

2,

3)(Aij)0．(3)/

1

2

3

§1.配極與二次曲線下述定理表明，二階曲線與二級曲線就其本質而言是一樣的．推論1/

點y關於二級曲線(2)/的極線座標為(

1,

2,

3)

(y1,y2,y3)(aij)．推論1直線

關於二階曲線(2)的極點座標為(x1,x2,x3)

(

1,

2,

3)(Aij)．推論2/

屬於二級曲線(2)/的任意直線

的切點方程為推論2在二階曲線(2)上的任意點y的切線方程為(y1,

y2,y3)(aij)0．x1x2x3(

1,

2,

3)(Aij)0．

1

2

3

§1.配極與二次曲線定理2/

二級曲線定理2

二階曲線的切點集合為二階曲線的切線集合為二級曲線其中，

Aij是(aij)中aij的代數餘子式．其中，

Bij是(bij)中bij的代數餘子式．(x1,

x2,x3)(aij)0．(2)x1x2x3(

1,

2,

3)(bij)0．

1

2

3

(x1,

x2,x3)(Bij)0．x1x2x3(

1,

2,

3)(Aij)0．(2)/

1

2

3

xyz

定理3

不在二次曲線上的點為二切線點

其極線是二切點線，且極線與曲線的兩交點與此二切線點所連直線是切線．因上述二相互對偶的定理，二階曲線與二級曲線統一了起來，將二者統稱為二次曲線．方程(2)和(2)/

分別是二次曲線的點座標方程和線座標方程．由此可知：二級曲線是配極變換的自共軛直線的集合，它與二階曲線是對偶的．§1.配極與二次曲線xyz

證明：設過二切線點x的兩條切線

、

的切點分別為y、z．從而x的極線

與曲線交於y、z兩點．即

是二切點線．反之，設點x的極線

與曲線交於y、z兩點．因點x的極線

過y、z兩點，故y、z的極線

、

過x．這即是說

、

就是過x的兩條切線．因y、z的極線

、

過x，故x的極線過y、z．§1.配極與二次曲線§1.配極與二次曲線推論不在曲線上的點是無切線點

其極線是無切點線．例1

已知二次曲線:x123x22

x322x1x24x1x30和點a(1,0,1)，試判定點a是二次曲線

的哪一類點．解法1：

方程可改寫為：由此可得a關於

的極線

:x1

x2

x3

0，解得

x3

x1

x2，代入

方程得x1x2x3(x1,x2,x3)1121302010．(*)

3x122x1x22x22

0．因

22

4

3

2

20<0，故

為

的無切點線，從而a是

的無切線點．解法2：由(*)式可得，

與a的線座標方程分別為：

:3

123

222

322

1

212

1

34

2

30，

a:

1

30，將a的線座標方程代入

的線座標方程，得

7

122

1

22

22

0，其判別式

22

4

7

2

52<0，故線束a中無

的切線，即a是

的無切線點．§1.配極與二次曲線§1.配極與二次曲線若一對點是配極

的共軛點對，則稱它們是

對應的二次曲線的共軛點對．定理4

若過點對x、x/的直線

交二次曲線

於u、v兩點，則x與x/是

的共軛點對

(uv;xx/)

1．xx/vu

證明：設

：(x)(aij)(x)T

0．因x、x/、u、v共線，故可設

(x)

(u)

(v)，

(x/)

(u)+(v)．又(x)(aij)(x/)T

[

(u)+(v)](aij)[

(u)+(v)]T

(u)(aij)(u)T+[

+

](u)(aij)(v)T+(v)(aij)(v)T．因u、v為

上二點，故(u)(aij)(v)T

0且

(x)(aij)(x/)T

[

+

](u)(aij)(v)T．所以，x與x/是

的共軛點對

(x)(aij)(x/)T

0

[

+

](u)(aij)(v)T0

+

0

(uv;xx/)

1．§1.配極與二次曲線注意：此定理將共軛與調和共軛聯繫了起來．a/b/c/ab//c//sbca//qpr§1.配極與二次曲線證明：因三點形abc與三點形a//b//c//對應頂點連線共點，故對應邊交點

(a

b)

(a//

b//)

p，

(b

c)

(b//

c//)

q，

(c

a)

(c//

a//)

r共線．例2由二次曲線的內接三點形abc的各頂點作此曲線的切線，構成外切三點形a/b/c/，從不在上述各直線上任一點s與a、b、c分別連直線交對邊於a//、b//、c//．求證：

a/

a//、b/

b//、c/

c//共點．a/b/c/ab//c//sbca//qpr在完全四點形sa//cb//的對角線a

b上，有

(ba;pc//)

1，因a、b在曲線上，故p

與

c//是一對共軛點．又p

在

c/的極線a

b上，故p

與

c/共軛．因此，p

的極線是c/

c//．§1.配極與二次曲線同理，q

的極線是a/

a//，

r

的極線是b/

b//．從而，因p、q、r

共線，故a/

a//、b/

b//、c/

c//共點．uwabcdxyv二次曲線

對應的配極的自極三點形稱為二次曲線

的自極三點形．定理5

二次曲線的內接完全四點形的對角三點形是曲線的自極三點形．證明：設

的內接完全四點形abcd的對角三點形為uvw，並設x

(u

v)

(a

d)，

y

(u

v)

(b

c)，則(ad;xw)

1，故由定理4知x與w共軛，即w的極線過x；§1.配極與二次曲線同理，w的極線過y．因此，w的極線為x

y

u

v．同理，u的極線為w

v；v的極線為u

w．所以三點形uvw是自極三點形．§1.配極與二次曲線利用定理5可以解決一些作圖問題．例3作不在曲線

上的已知點v關於

的極線．abcduwv

uΓxy例4過不在曲線

上的已知點u，作

的切線．作法：

1)由例3作出u的極線，與曲線交得二點；

2)分別與u連線，則得切線．§1.配極與二次曲線§1.配極與二次曲線例5

直線關於二次曲線Γ的極點．作法：直線上任取二不在曲線上的點，作出各自的極線，則二線交點為直線的極點．例6任意點x

關於二次曲線的極線．作法：過x任取兩條直線，由例5作法作二直線的極點，連接二點所得直線即為x

的極線．§1.配極與二次曲線3.二次曲線方程的簡化形式因以自極三點形為座標三點形時，配極可化為標準形式，故二次曲線的點座標方程可簡化為：

b1x12

b2x22

b3x32

0．下麵是另一種簡化形式：定理6

以二次曲線的一個二切線點和由此點作出的二切線的切點構成的三點形為座標三點形，則曲線方程可寫為：

x12

kx2x3

0(k

0)．注：也可寫為：x22

kx1x3

0或x32

kx1x2

0．o(1)o(2)o(3)

a22

a33

0．又點(1,0,0)的極線為(1,0,0)，故a12

a13

0．再令k

2a23/a11即得證．§1.配極與二次曲線證明：取該二切線點為o(1)，由其所引切線而得二切點分別為o(2)

、o(3)，以o(1)o(2)o(3)為座標三點形．設曲線為

:(x)(aij)(x)T

0，aij

aji．因點(0,1,0)和(0,0,1)在

上，故代入方程可得§1.配極與二次曲線推論若在定理6中，選單位點在二次曲線上，則曲線方程為：x12

x2x3

0．下麵證明此處定義的切線與通常的切線定義一致．例7證明：直線為二次曲線的切線

此直線與二次曲線交於二重點．證明：選取如推論中的坐標系，則

的點座標方程為：x12

x2x3

0，其對應矩陣為200(aij)001．

010

§1.配極與二次曲線故

的線座標方程為：

124

2

30．設直線

：

1x1

2x2

3x30．因直線x1=0為二切點線，故不妨

30．由此解出x3，代入點方程得

3x12

1x1x2

2x22

0．故

與

交於二重點

12

4

2

30

的座標滿足

的線座標方程

是

的切線．此矩陣的伴隨矩陣為：(Aij)100002020，

§2.一維射影對應與二次曲線本節將用一維射影對應研究二次曲線，並證明Pascal定理和Brianchon定理．1.二次曲線的射影定義定理1/

設

和

/是二級曲線

/的二不同定直線，

是

/的動直線，則由

/

定義的點列

到點列

/的映射是非透視的射影對應．定理1(Steiner)設z和z/是二階曲線

的二不同定點，x是

的動點，則由z

x

z/

x定義的線束z到線束z/的映射是非透視的射影對應．定理1證明思路：建立如圖坐標系，則曲線方程為：x22

x1x3

0，故可設x座標為x(

2,

,

2)．由此可計算對應直線座標o(2)exz/

o(3)z

o(1)

/

/

z

z/

(0,0,1)

(0,1,0)

(0,1,0)

(1,0,0)

(0,1,1)

/(1,1,0)

(0,

,

)

/(

,

,0)進而可驗證(

;

)(

;

/

/)．由此證得定理．上述二對偶定理實際上給出了二階曲線與一維射影對應的關係．上述定理的逆定理也成立：§2.一維射影對應與二次曲線o(2)o(1)o(3)ex

/

/§2.一維射影對應與二次曲線定理2/設二不同底的點列成非透視的射影對應，則對應點的連線集合(或包絡)為包含二點列底的二級曲線．定理2

設二不同心的線束成非透視的射影對應，則對應直線的交點軌跡為通過二線束中心的二階曲線．證明定理2：以此二線束的中心為o(1)、o(3)，記

o(1)

o(3)．設在此射影對應T

下，

，

．TT1令o(2)

．以o(1)o(2)o(3)為座標三點形，並以一對對應直線

和

/的交點為單位點e．§2.一維射影對應與二次曲線設在此射影對應T

下，一對動對應直線

和

/的交點為x．由於

o(1)

e，

/

o(3)

e，故其座標分別為

(0,1,1)，

/(1,1,0)．從而(

)(

)(

)(

/

)(

)(

)．T設(

)

(

)

(

)，則由(

;

)=(

;

/

/)得(

)

(

)

(

)(

/)

(

)+

(

)．T故

和

/的座標分別為

(0,

,

)，

/(

,

,0)．所以，x

/的座標為

(x1,x2,x3)

(

2，

,

2)．可見，x

/的座標滿足方程x22

x1x3

0．顯然，o(1)、o(3)的座標也滿足此方程．得證．§2.一維射影對應與二次曲線成射影對應的二線束(點列)稱為射影線束(點列)．利用上述成對偶的互逆定理，可給出二階曲線和二級曲線的射影定義．二不同底的非透視射影點列的對應點連線的集合稱為二級曲線．二不同中心的非透視射影線束的對應直線交點的軌跡稱為二階曲線．若二點列

和

/成透視，則將過二點列公共點y及透視中心x的所有直線的集合稱為退化二級曲線．(見後圖)若二線束z和z/成透視，則將二線束公共直線

及透視軸

的所有點作成的集合稱為退化二階曲線．(見後圖)§2.一維射影對應與二次曲線zz/

yx

/

退化二次曲線將在§3討論，現仍討論非退化的情形．證明定理3：定理3/

給定每三線不共點的五線，恰有一條二級曲線包含這五線．定理3

給定每三點不共線的五點，恰有一條二階曲線通過這五點．§2.一維射影對應與二次曲線aa/b(1)b(2)b(3)如圖，a、a/、b(1)、b(2)、b(3)是每三點不共線的五點，則對應關係

a

b(i)

a/

b(i)(i

1,2,3)確定了線束a到線束a/

的唯一射影對應

T：a{b(1),b(2),b(3)