高等数学课件

高等數學第一節函數的基本概念第二節函數的性質第三節反函數第四節初等函數第一章函數

1.函數的基本概念。

2.函數的性質。

3.反函數的相關知識。

4.瞭解初等函數。學習重點第一章函數

定義設D是由數組成的集合.如果對於每個數x∈D，變數y按照一定的法則f總有唯一確定的數值和它對應，那麼將對應法則f稱為在D上x到y的一個函數，記作y=f(x)，x稱為引數,y稱為因變數，D稱為函數的定義域.當x取x0∈D時，與x0對應的y的數值稱為函數在點x0處的函數值，記作f(x0).當x取遍D中的一切數時，對應的函數值集合M={y|y=f(x)，x∈D}稱為函數的值域.在函數的定義中，對每一個x∈D，只能有唯一的一個y值與它對應，這種定義的函數稱為單值函數.一、函數的定義第一節函數的基本概念

1.表格法表格法是將引數的值與對應的函數值列成表格表示兩個變數的函數關係的方法.

2.圖象法圖象法是用圖象表示兩個變數的函數關係的方法.二、函數的表示法第一節函數的基本概念

3.解析法解析法是用一個等式表示兩個變數的函數關係的方法.

(1)分段函數.在定義域的不同範圍內用不同的解析式表示的函數稱為分段函數.例如函數都是分段函數.分段函數仍然是一個函數，而不是幾個函數.第一節函數的基本概念

(2)隱函數.如果引數與因變數的對應關係是用一個方程F(x，y)=0確定的，則這種函數稱為隱函數.

(3)參數方程所確定的函數.在許多實際問題中，變數x與y之間的函數關係還可以用含某一參數的方程組來確定.第一節函數的基本概念在實際問題中，函數的定義域要根據問題的實際意義確定．當不考慮函數的實際意義，而僅就抽象的解析式來研究函數時，這時定義域就取使解析式有意義的引數的全體.要使解析式有意義，我們通常考慮以下幾點：

(1)分式的分母不能為零；

(2)偶次根式的被開方數必須為非負數；三、函數的定義域第一節函數的基本概念

(3)對數式中的真數必須大於零；

(4)冪函數、指數函數、對數函數、三角函數、反三角函數要考慮各自的定義域；

(5)若函數運算式由幾個數學式子組成，則其定義域應取各部分定義域的交集；

(6)分段函數的定義域是各個定義區間的並集．第一節函數的基本概念

定義設函數的定義域D關於原點對稱.如果對於任意的x∈D,f(-x)=-f(x)，那麼f(x)為奇函數；如果對於任意的x∈D，f(-x)=f(x)，那麼f(x)為偶函數.否則f(x)為非奇非偶函數.一、奇偶性第二節函數的性質

定義

若對於區間D內任意的兩點x1，x2，當x1＜x2時，恒有f(x1)≤f(x2)，那麼f(x)在區間D上單調增加，稱f(x)為D上的單調遞增函數，區間D稱為f(x)的單調增區間；特別地，若成立嚴格不等式f(x1)<f(x2)，則稱f（x）為D上的嚴格增函數，如果恒有f(x1)≥f(x2)，那麼f(x)在區間D上單調減少，稱f（x）為D上的單調遞減函數，區間D稱為f(x)的單調遞減區間.特別當成立嚴格不等式f(x1)>f(x2)，稱f（x）為D上的嚴格減函數.二、單調性第二節函數的性質

對任意x∈X都成立，則稱函數f(x)在X上有上界，K1稱為函數f(x)在X上的一個上界（任何大於K1的數也是f(x)在X上的上界）；如果存在數K2，使得f(x)≥K2

對任意x∈X都成立，則稱函數f(x)在X上有下界，K2稱為函數f(x)在X上的一個下界（任何小於K2的數也是f(x)在X上的下界）；如果存在正數M，使得|f(x)|≤M三、有界性第二節函數的性質

對任意x∈X都成立，則稱函數f(x)在X上有界，如果這樣的M不存在，就稱函數f(x)在X上無界.這就是說，如果對於任何正數M,總存在x1∈X，使|f(x1)|＞M，那麼函數f(x)在X上無界.第二節函數的性質

定義

設函數f(x)的定義域為D.對於任意的x∈D，如果存在不為零的數T，使得f(x+T)=f(x)，那麼f(x)為D上的週期函數.T稱為f(x)的一個週期，並且nT(n為非零整數)也是它的週期.通常，我們把函數的最小正週期稱為函數的週期.四、週期性第二節函數的性質

定義在函數的定義中，按關係式

x是引數，y是因變數(函數).在關係式y=f(x)中，如果反過來，將y看成引數，x看成因變數(函數)，即對每一個y∈B，按y=f(x)都有唯一確定的x值與之對應，則稱x是y的反函數.在求反函數的運算式時，可將關係式y=f(x)看成一個方程式，從中將x解出，寫作第三節反函數這就是反函數的運算式.習慣上引數的記號取作x，故將式中x，y記號對換(對應關係不變)，得它仍是y=f(x)的反函數.若將φ記為f-1，則式可寫為第三節反函數

我們把常數函數y=c(c為常數)、冪函數y=xa(α為實數)、指數函數y=ax(a＞0，a≠1，a為常數)、對數函數y=logax(a＞0，a≠1，a為常數)、三角函數和反三角函數統稱為基本初等函數.一、基本初等函數第四節初等函數

定義1若函數y=f(u),u=g(x),且u=g(x)的值域或部分值域包含在f(u)的定義域中,則變數y通過變數u與變數x建立了對應關係,這個對應關係稱為y是x的複合函數,u是中間變數,x是引數,通常將y=f(u),u=g(x)合併寫成y=f［g(x)］.二、複合函數第四節初等函數

定義2基本初等函數(常數函數、冪函數、指數函數、對數函數、三角函數、反三角函數)經過有限次的加、減、乘、除(分母不為零)的四則運算，以及有限次的複合步驟所構成並可用一個式子表示的函數，叫作初等函數.三、初等函數第四節初等函數

以前我們已經學過數列的概念，現在我們來考察當項數n無限增大時，無窮數列{an}的變化趨勢.

定義

如果無窮數列{an}的項數n無限增大時，an無限趨近於一個確定的常數A,那麼A就叫作數列{an}的極限(limit).記作一、數列極限的定義第一節函數極限的運算法則讀作“當n趨向於無窮大時，數列{an}的極限等於A”.

前面我們介紹了數列極限的定義，並通過觀察求出了一些簡單數列的極限.但對於數列極限的計算問題，通常需要用到數列極限的運算法則.

法則(1)和法則(2)可以推廣到有限個具有極限的數列的情形.二、數列極限的運算法則第一節函數極限的運算法則

定義1

設函數y=f(x)在x0的某空心鄰域內有定義，如果當x無限趨近於x0時，函數f(x)無限趨近於常數A，那麼A就叫作函數f(x)當x→x0時的極限，記作一、當x→x0時函數f(x)的極限第二節函數的極限第二節函數的極限

定義3

如果當x→∞時,函數f(x)無限趨近於確定的常數A,那麼A就叫作函數f(x)當x→∞時的極限,記作這裏“x→∞”表示x既取正值而無限增大(記作x→+∞)，又取負值而絕對值無限增大(記作x→-∞).但有的時候x的變化趨勢只能取這兩種變化中的一種情況.二、當x→∞時函數f(x)的極限第二節函數的極限

定義4如果當x→+∞(或x→-∞)時，函數f(x)的值無限趨近於一個確定的常數A,那麼A就稱為函數f(x)當x→+∞(或x→-∞)時的極限，記作第二節函數的極限

定義1

如果當x→x0(或x→∞)時，函數f(x)的極限為零，那麼稱函數f(x)為當x→x0(或x→∞)時的無窮小.一、無窮小第三節無窮小與無窮大

定理1在引數的同一變化過程x→x0(或x→∞)中，limf(x)=A的充分必要條件是：f(x)=A+α，其中A為常數，α為無窮小.

注意：在“lim”符號下麵不標x→x0或x→∞，表示所述結果對兩者都適用，以後不再說明.二、函數極限與無窮小的關係第三節無窮小與無窮大在引數的同一變化過程中，無窮小具有以下三個性質：

性質1

有限個無窮小的代數和為無窮小.

性質2

有界函數與無窮小的乘積為無窮小.

性質3有限個無窮小的乘積為無窮小.三、無窮小的性質第三節無窮小與無窮大

定義2

設α與β是同一變化過程中的兩個無窮小，即limα=0，limβ=0.

(1)如果limα/β=0，那麼稱α是比β高階的無窮小；

(2)如果limα/β=∞，那麼稱α是比β低階的無窮小；

(3)如果limα/β=c≠0，那麼稱α與β是同階無窮小.特別是當c=1，即當limα/β=1時，則稱α與β是等價無窮小，記作α～β.

由定義可知，當x→0時，x2是比3x高階的無窮小，而3x是比x2低階的無窮小，3x與2x是同階無窮小.四、無窮小的比較第三節無窮小與無窮大

定義3如果當x→x0(或x→∞)時，函數f(x)的絕對值無限增大，那麼稱函數f(x)為當x→x0(或x→∞)時的無窮大.如果從函數極限的定義來看，f(x)的極限不存在，但是為了便於敘述，我們稱“函數的極限是無窮大”，並記作五、無窮大第三節無窮小與無窮大

定理2在引數的同一變化過程中，如果f(x)為無窮大，那麼1/f(x)為無窮小；反之，如果f(x)為無窮小，且f(x)≠0，那麼1/f(x)為無窮大.六、無窮小與無窮大第三節無窮小與無窮大與數列極限類似，對於比較複雜的函數極限，我們也需要用到極限的運算法則來進行計算.下麵給出函數極限的運算法則：法則（1）和法則（2）可推廣到有限個具有極限的函數的情形.

第四節函數極限的運算法則我們考察當x趨近於0時，函數sinx/x的變化趨勢，列表如下：從上表中可以看出，當x→0時，sinx/x→1，即第五節兩個重要極限

我們考察當x→∞時，函數（1+1/x）x的變化趨勢，列表如下：第五節兩個重要極限

從上表中可以看出，當x→+∞和x→-∞時，函數（1+1/x）x無限趨近於一個確定的常數，這個常數就是無理數e=2.71828182845…，即在上式中，令u=1／x，則當x→∞時，u→0，於是我們可以得到另一種形式第五節兩個重要極限

定義1

設函數y=f(x)，當引數由初值x0變到終值x1時，我們把差值x1-x0叫作引數的增量(或改變量)，記作Δx，即Δx=x1-x0.因此X1=x0+Δx.

這時可以說，引數由初值x0變化到x0+Δx.

相應地，函數值由f(x0)變化到f(x0+Δx)，我們把差值f(x0+Δx)-f(x0)

叫作函數的增量(或改變量)，記作Δy，即Δy=f(x0+Δx)-f(x0).一、函數的增量第六節函數的連續性二、函數的連續第六節函數的連續性第六節函數的連續性第六節函數的連續性

性質1

如果函數f(x)與g(x)在點x0處連續，那麼它們的和、差、積、商(分母在x0處不等於零)也都在x0處連續.即一、連續函數的和、差、積、商的連續性第七節連續函數的性質

性質2如果函數u=φ(x)在點x0處連續，且φ(x0)=u0，而函數y=f(u)在點u0處連續，那麼複合函數y=f［φ(x)］在點x0處也連續.二、複合函數的連續性第七節連續函數的性質

性質3

一切初等函數在其定義區間內都是連續的.

這個結論對於以後判定函數連續性及一些極限的運算是非常有價值的.如果已知函數f(x)是初等函數，且x0屬於f(x)的定義區間，那麼求limx→x0f(x)時，只需將x0代入函數，求函數值f(x0)即可.三、初等函數的連續性第七節連續函數的性質

性質4

如果函數f(x)在閉區間［a，b］上連續，那麼函數f(x)在［a,b］上一定有最大值與最小值.四、閉區間上連續函數的性質第七節連續函數的性質

如圖所示，可以看出，在［a，b］上至少有一點ξ(a≤ξ≤b),使得f(ξ)=m為最小值，即m=f(ξ)≤f(x)(a≤x≤b)；又至少有一點η(a≤η≤b)，使得f(η)=M為最大值，即M=f(η)≥f(x)(a≤x≤b).注意：對於在開區間內連續或在閉區間上有間斷點的函數，其最大值、最小值不一定存在.例如，函數y=x2+1，在(-1，1)內連續，在x=0處取得最小值，但在這個區間內沒有最大值；而在(1，2)內既無最大值，也無最小值.第七節連續函數的性質為了說明微分學的基本概念——導數，我們先討論以下兩個問題：速度問題和切線問題.

1.變速直線運動的瞬時速度我們知道在物理學中，物體做勻速直線運動時，它在任何時刻的速度可由公式v=s/t一、導數概念的兩個引例第一節導數的概念來計算，其中s為物體經過的路程，t為時間.如果物體作非勻速運動，它的運動規律是s=s(t)，那麼在某一段時間［t0，t1］內，物體的位移(即位置增量)s(t1)-s(t0)與所經歷的時間(即時間增量)t1-t0的比，就是這段時間內物體運動的平均速度.我們把位移增量s(t1)-s(t0)記作Δs，時間增量t1-t0記作Δt，平均速度記作v，得第一節導數的概念

那麼，怎樣求非勻速直線運動物體在某一時刻的速度呢？

由於物體做變速運動，用勻速直線運動的公式v=s/t來計算它在某一時刻的速度已不適用.處理這個問題的基本方法是“勻速代變速”.為此，給t0一個增量Δt，當時間由t0改變到t0+Δt時，在Δt這一段時間內，物體走過的路程是Δs=f(t0+Δt)-f(t0).物體在時間間隔Δt內的平均速度是第一節導數的概念

用Δt這一段時間內的平均速度表示物體在t0時刻的瞬時速度，這當然是近似值，顯然Δt越小，即時刻t越接近於t0，其近似程度就越好.為完成“近似”向“精確”的轉化，令Δt→0，如果平均速度v的極限存在，則這個極限值就叫作物體在時刻t0的速度(瞬時速度)，即第一節導數的概念

2.切線問題設M是曲線C上任一點，N是曲線上在點M附近的一點，作割線MN.當點N沿著曲線C向點M移動時，割線MN就繞著M轉動，當點N無限趨近於點M時，割線MN的極限位置為MT，直線MT叫作曲線在點M處的切線.第一節導數的概念當Δx→0時，割線MN將繞點M轉動到極限位置MT.根據上面切線的定義，直線MT就是曲線y=f(x)在點M處的切線.自然，割線MN的斜率tanφ的極限就是切線MT的斜率tanα(α是切線MT的傾斜角).第一節導數的概念以上兩個問題，雖然它們所代表的具體內容不同，但從數量上看，它們有共同的本質：都是計算當引數的增量趨於零時，函數的增量與引數的增量之比的極限.在自然科學、工程技術問題和經濟管理中，還有許多非均勻變化的問題，也都可歸結為這種形式的極限.因此，拋開這些問題的不同的實際意義，只考慮它們的共同性質，就可得出函數的導數定義.第一節導數的概念

定義1設函數y=f(x)在點x0處及其近旁有定義，當引數x在x0處有增量Δx時，相應地函數y有增量Δy=f(x0+Δx)-f(x0).

如果當Δx→0時，Δy/Δx的極限存在，則這個極限就稱為函數y=f(x)在點x0處的導數(或稱為變化率)，記為y′|x=x0，即也可以記作二、導數的定義第一節導數的概念

如果極限存在，就稱函數f(x)在點x0處可導.如果極限不存在，就稱函數y=f(x)在點x0處不可導.如果不可導的原因是當Δx→0時，Δy/Δx→∞，為了方便起見，往往也說函數y=f(x)在點x0處的導數為無窮大.

如果函數y=f(x)在區間(a，b)內的每一點都可導，就說函數y=f(x)在區間(a,b)內可導.這時，對於(a,b)內的每一個x值，都有唯一確定的導數值與之對應，這就構成了x的一個新的函數，這個新的函數叫作原來函數y=f(x)的導函數，記為y′，f′(x)，dy/dx或df(x)/dx.第一節導數的概念在式中，把x0換成x，即得y=f(x)的導函數公式：

顯然，函數y=f(x)在點x0處的導數f′(x0)就是導函數f′(x)在x=x0處的函數值，即為方便起見，在不致引起混淆的地方，導函數也稱導數.由此可見，導數是用極限來定義的，類似於有關極限的內容，導數有左右導數的定義.第一節導數的概念

定義2設函數y=f(x)在點x0的某左（右）鄰域內有定義，若

存在，則稱y=f(x)在點x0的左(右)導數存在,記作f′-(x0)(f′+(x0)).

函數的左(右)導數，又稱函數的單側導數.

顯然，當函數y=f(x)在點x0處導數存在時，有結論：

f′(x0)存在左導數f′-(x0)和右導數f′+(x0)存在並且相等.第一節導數的概念

根據導數的定義，求函數y=f(x)的導數可以分為以下三個步驟：三、求導數舉例第一節導數的概念

由切線斜率問題的討論及導數定義可知:函數y=f(x)在點x0處的導數f′(x0)的幾何意義是曲線y=f(x)在點M(x0,y0)處的切線斜率,即f′(x0)=tanα.

其中α是切線的傾斜角.根據導數的幾何意義及直線的點斜式方程可得,曲線y=f(x)在給定點M(x0,y0)處的切線方程是y-y0=f′(x0)(x-x0).

過切點M(x0,y0)且與切線垂直的直線叫作曲線y=f(x)在點M(x0,y0)的法線.如果f′(x0)≠0,則法線方程為四、導數的幾何意義第一節導數的概念設函數y=f(x)在點x0處可導,即極限存在.由函數極限存在與無窮小的關係知

Δy/Δx=f′(x0)+α(α是當Δx→0時的無窮小).上式兩端同乘以Δx,得Δy=f′(x0)Δx+αΔx,不難看出,當Δx→0時,Δy→0.這就是說,函數y=f(x)在點x0處是連續的.所以,如果函數y=f(x)在點x0處可導,則函數在該點處必連續.注意：如果函數y=f(x)在某一點處連續,卻不一定在該點處可導.五、函數可導性與連續性的關係第一節導數的概念

法則1若函數u=u(x)和v=v(x)在點x處可導，則函數u(x)±v(x)也在點x處可導，且［u(x)±v(x)］′=u′(x)±v′(x).

法則2

若函數u=u(x)和v=v(x)在點x處可導，則函數u(x)·v(x)在點x處也可導，且［u(x)·v(x)］′=u′(x)v(x)+u(x)v′(x).特別地，令v(x)=c(常數)，由於c′=0，所以有［cu(x)］′=cu′(x).

一、函數和、差、積、商的求導法則第二節函數的求導法則

法則3若函數u=u(x)和v=v(x)在點x處可導，且v(x)≠0，則函數u(x)v(x)在點x處也可導，且[u(x)/v(x)]′=u′(x)v(x)-u(x)v′(x)/［v(x)］2.第二節函數的求導法則

法則4如果函數u=φ(x)在點x處可導，且y=f(u)在對應點u=φ(x)處可導，那麼複合函數f［φ(x)］在點x處也可導，並且Dy/dx=dy/du·du/dx或f′(x)=f′(u)·φ′(x).

法則4可以推廣到有有限個中間變數可導函數的複合函數的情況.例如，y=f(u)，u=φ(v)，v=ψ(x)都是可導函數，則複合函數y=f｛φ［ψ(x)］｝的導數是dy/dx=dy/du·du/dv·dv/dx.二、複合函數的求導法則第二節函數的求導法則

利用導數定義及其他求導方法，可以求得基本初等函數的導數公式：第二節函數的求導法則

如果一個隱函數能夠轉化為顯函數，其導數可以用以前學過的方法求得.但是，有的隱函數很難或是根本不能轉化為顯函數，在這種情況下，隱函數的求導方法是：

(1)將方程F(x，y)=0的兩邊對x求導，在求導過程中把y看成x的函數，y的函數看成是x的複合函數；

(2)求導後，解出y′即可(式子中允許有y出現).三、隱函數的求導法則第二節函數的求導法則

法則5設函數x=φ(y)在區間D內單調，在y處可導，且φ′(y)≠0，則其反函數y=f(x)在x=φ(y)處也可導，且在實際應用中，函數y與引數x的關係常常通過某一參數變數t表示出來，即

稱為函數的參數方程.四、反函數的求導法則第二節函數的求導法則

y′=f′(x)叫作函數y=f(x)的一階導數.類似地,y=f(x)的二階導數y″的導數叫作y=f(x)的三階導數,三階導數的導數叫作y=f(x)的四階導數……一般地,f(x)的n-1階導數的導數叫作y=f(x)的n階導數,分別記作二階及二階以上的導數統稱為高階導數.一、高階導數的概念第三節高階導數

設物體作變速直線運動,其運動方程為s=s(t),瞬時速度為v=s′(t).此時,若速度v仍是時間t的函數,則可以求速度v對時間t的變化率:v′(t)=(s′(t))′=s″(t).在力學中把它叫作物體在給定時刻的加速度,用a表示.也就是說,物體的加速度a是路程s對時間t的二階導數,即二、二階導數的物理意義第三節高階導數在實際問題中,有時遇到參與變化的幾個變數都是時間t的函數.這幾個變數之間存在某種關係,從而它們的變化率之間也存在一定的關係.這幾個互相依存的變化率稱為相關變化率.所謂相關變化率問題就是研究這幾個變化率之間的關係,以便由已知的變化率求出未知的變化率.第四節相關變化率

定義

如果函數y=f(x)在點x0處存在導數f′(x0)，那麼f′(x0)·Δx就叫作函數y=f(x)在點x0處的微分，記作dy|x=x0，即若函數y=f(x)在區間(a，b)內任一點x處都可導，則把它在點x處的微分叫作函數的微分，記作dy或df(x)，即dy=f′(x)·Δx.一、微分的定義第五節函數的微分由定義可以知道，引數的微分就是引數的改變量，記作dx，即dx=Δx，於是dy=f′(x)dx.由式兩邊同時除以dx可以得出Dy/dx=f′(x).上式說明，導數f′(x)是函數的微分dy與引數的微分dx的商.因此導數也叫作微商.今後我們把可導函數也稱為可微函數.第五節函數的微分

設曲線y=f(x)上一點P的座標為(x0，f(x0))，過P點作割線PQ交曲線於Q點，其座標為(x0+Δx，f(x0+Δx))，則dx=Δx=PR，Δy=RQ.

又設過P(x0，f(x0))點的切線PT交RQ於點M，函數f(x)在點x0處的導數f′(x0)是過P點的切線PT的斜率，即f′(x0)=tanα=RM/PR.二、微分的幾何意義第五節函數的微分

因此函數在點x0的微分是：

這說明函數在x=x0處的微分是曲線y=f(x)在點P(x0，f(x0))處切線的縱坐標對應於Δx的改變量.這就是微分的幾何意義.第五節函數的微分

1.微分的基本公式

2.函數和、差、積、商的微分法則三、微分的運算第五節函數的微分

3.複合函數微分法則

若函數y=f(u)及u=φ(x)都可導，則複合函數y=f［φ(x)］的微分為dy=y′xdx=f′(u)φ′(x)dx.

由於φ′(x)dx=du，故上式為dy=f′(u)du.

所以複合函數的微分法則為dy=f′(u)du.將這個公式與x為引數的微分公式dy=f′(x)dx相比較，可以發現它們的形式完全相同，這表明無論u是引數還是中間變數(即引數的函數)，函數y=f(u)的微分形式dy=f′(u)du都保持不變，微分的這種性質叫作一階微分形式的不變性.第五節函數的微分

函數y=f(x)在x=x0處的增量Δy，在|Δx|很小時，可用微分dy來代替，即Δy≈dy=f′(x0)Δx，

於是Δy=f(x0+Δx)-f(x0)≈f′(x0)Δx，

或f(x0+Δx)≈f(x0)+f′(x0)Δx.

在上式中，令x0=0，Δx=x，得f(x)≈f(0)+f′(0)x.四、微分在近似計算中的應用第五節函數的微分

應用可推得幾個工程上常用的近似公式(下麵假定|x|是很小的數值)：第五節函數的微分

如果函數f(x)在閉區間［a，b］上連續，在開區間(a,b)內可導，且在區間端點的函數值相等，即f(a)=f(b)，那麼在(a，b)內至少有一點ξ，使得函數f(x)在該點的導數等於零：f′(ξ)=0.一、羅爾定理第一節中值定理羅爾定理中f(a)=f(b)這個條件是相當特殊的，它使羅爾定理的應用受到限制.如果把f(a)=f(b)這個條件取消，但仍保留其餘兩個條件，並相應地改變結論，那麼就得到微分學中十分重要的拉格朗日中值定理.拉格朗日中值定理如果函數f(x)在閉區間［a，b］上連續，在開區間(a,b)內可導，那麼在(a,b)內至少有一點ξ，使等式f(b)-f(a)=f′(ξ)(b-a)(4-1)成立。二、拉格朗日中值定理第一節中值定理由拉格朗日中值定理可以得到下麵的推論.推論1設函數f(x)在區間I內恒有f′(x)=0，那麼在區間I內函數f(x)=C，其中C為常數.推論2設f(x)、g(x)是在I內的可導函數，若f′(x)=g′(x)，則f(x)-g(x)=C，其中C為常數.拉格朗日中值定理在微分學中佔有重要地位，有時也叫作微分中值定理，f(b)-f(a)=f′(ξ)(b-a)叫作拉格朗日中值公式.第一節中值定理如果函數f(x)及F(x)在閉區間［a，b］上連續，在開區間(a,b)內可導，且F′(x)在(a,b)內的每一點處均不為零，那麼在(a,b)內至少有一點ξ，使等式成立。三、柯西中值定理第一節中值定理定理1(洛必達法則)如果函數f(x)，g(x)滿足條件：一、0/0型未定式第二節洛必達法則對於x→x0時的∞/∞型未定式，也有相應的洛必達法則定理2如果f(x)，g(x)滿足條件：

那麼對於x→∞時的∞/∞型未定式，上述法則也同樣適用.二、∞/∞型未定式第二節洛必達法則

定理設函數y=f(x)在［a，b］上連續，在(a，b)內可導：

(1)如果在(a，b)內f′(x)＞0，那麼函數y=f(x)在［a，b］上單調增加；

(2)如果在(a，b)內f′(x)＜0，那麼函數y=f(x)在［a，b］上單調減少.第三節函數單調性的判定法

證明設x１，x２是［a，b］上的任意兩點，且x１＜x２，函數f(x)在區間(x１，x２)上滿足拉格朗日中值定理的條件.應用拉格朗日中值定理，有f(x２)-f(x１)=f′(ξ)(x２-x１)(x１＜ξ＜x２).若f′(x)＞0，則f′(ξ)＞0，又因為x２-x１＞0，所以由上式得f(x２)＞f(x１).即函數f(x)在［a，b］上單調增加.若f′(x)＜0，則函數f(x)在［a，b］上單調減少.這個結論同樣適用於開區間(a,b)或無限區間.第三節函數單調性的判定法

如果函數f(x)在區間(a,b)內的個別點的導數為零，其餘的點都有f′(x)＞0(或f′(x)＜0)，那麼f(x)在(a,b)內仍是單調增加(或單調減少).例如，y=-x３的導數為y′=-3x２，當x=0時，y′=0，在其餘點均有y′＜0，故它在(-∞，+∞)內是單調遞減的．第三節函數單調性的判定法

定義設函數f(x)在區間（a,b）內有定義，x０∈(a,b).如果對於點x０近旁的任意點x(x≠x0),均有f(x)＜f(x０)成立，則稱f(x０)是函數f(x)的一個極大值，點x０稱為f(x)的一個極大值點；如果對於點x０近旁的任意點x(x≠x０),均有f(x)＞f(x０)成立，則稱f(x０)是函數f(x)的一個極小值，點x0稱為f(x)的一個極小值點.一、函數極值的定義第四節函數的極值及其求法函數的極大值與極小值統稱為極值.使函數取得極值的極大值點與極小值點統稱為極值點.第四節函數的極值及其求法

定理1說明可導函數的極值點必定是駐點，但函數的駐點並不一定是極值點.例如,x=0是函數f(x)=x3的駐點，但x=0不是它的極值點.借助圖形來分析一下函數f(x)在點x0取得極值時,點x0左右兩側導數f′(x)的符號變化的情況.函數f(x)在點x0取得極大值,在點x0的左側單調增加,有f′(x)＞0;在點x0的右側單調減少,有f′(x)＜0.對於函數在點x0取得極小值的情形．二、函數極值的判定和求法第四節函數的極值及其求法由此可給出函數在某點處取得極值的充分條件.第四節函數的極值及其求法

定理2

(第一充分條件)設函數f(x)在點x0及其近旁可導,且f′(x0)=0.

(1)如果當x取x0左側鄰近的值時,恒有f′(x)＞0;當x取x0右側鄰近的值時,恒有f′(x)＜0,那麼函數f(x)在點x0處取得極大值f(x0).

(2)如果當x取x0左側鄰近的值時,恒有f′(x)＜0;當x取x0右側鄰近的值時,恒有f′(x)＞0,那麼函數f(x)在點x0處取得極小值f(x0).

(3)如果在x0的兩側,函數的導數符號相同,那麼函數f(x)在點x0處沒有極值.

當函數f(x)在駐點處的二階導數存在且不為零時,也可以利用下列定理來判定f(x)在駐點處取得極大值還是極小值.第四節函數的極值及其求法

定理3(第二充分條件)設函數f(x)在點x0處具有二階導數且f′(x0)=0,f″(x0)≠0,那麼

(1)f″(x0)＜0時,函數f(x)在點x0處取得極大值;

(2)f″(x0)＞0時,函數f(x)在點x0處取得極小值.第四節函數的極值及其求法

根據上面三個定理,如果函數f(x)在所討論的區間內各點處都具有導數,我們就以下列步驟來求函數f(x)的極值點和極值:

(1)求出函數f(x)的定義域;

(2)求出函數f(x)的導數f′(x);

(3)求出f(x)的全部駐點(即求出方程f′(x)=0在所討論的區間內的全部實根)；

(4)用駐點把函數的定義域劃分為若干個部分區間,考察每個部分區間內f′(x)的符號,以確定該駐點是否為極值點.如果是極值點,還要按定理2確定對應的函數值是極大值還是極小值；

(5)求出各極值點處的函數值,就得到了函數f(x)的全部極值.第四節函數的極值及其求法我們知道,閉區間［a,b］上的連續函數f(x)一定有最大值和最小值存在.顯然,這個最大值和最小值只能在區間(a,b)內的極值點或者區間的端點處取得.因此,求閉區間上連續函數的最大值和最小值時,只要把可能取得極值的點(駐點和不可導的點)與區間端點的函數值比較大小即可.最大的就是f(x)在［a,b］上的最大值,最小的就是f(x)在［a,b］上的最小值.一、函數的最大值和最小值的求法第五節函數的最大值和最小值在實際問題中,常要遇到在一定條件下,怎樣使產量最多、用料最省、成本最低等問題，這類問題常可歸結為求函數的最大值或最小值問題.二、最大值和最小值的應用問題第五節函數的最大值和最小值

定義若在開區間(a,b)內,曲線y=f(x)的各點處切線都位於曲線的下方,則稱此曲線在(a,b)內是凹的;若曲線y=f(x)的各點處切線都位於曲線的上方,則稱此曲線在(a,b)內是凸的.曲線y=f(x)在區間(a,c)內是凸的,在區間(c,b)內是凹的.再觀察曲線段上各點處的斜率的變化我們會發現,曲線y=f(x)在區間(a,c)內從左至右切線的斜率是遞減的;在區間(c,b)內從左至右切線的斜率是遞增的.聯繫函數增減性的判別方法,我們便有如下的曲線凹凸性的判別定理.一、曲線的凹凸性及其判別法第六節曲線的凹凸性與拐點

定理設函數y=f(x)在開區間(a,b)內具有二階導數,則

(1)如果在區間(a,b)內f″(x)＞0,則曲線y=f(x)在(a,b)內是凹的;

(2)如果在區間(a,b)內f″(x)＜0,則曲線y=f(x)在(a,b)內是凸的;第六節曲線的凹凸性與拐點

定義若連續曲線y=f(x)上的一點是凹的曲線弧與凸的曲線弧的分界點,則稱該點是曲線y=f(x)的拐點.判定曲線的拐點的步驟.

(1)確定函數y=f(x)的定義域;

(2)求出二階導數f″(x),令f″(x)=0,求出定義域內的所有實根,指出f″(x)不存在的點,用這些點來劃分定義域;

(3)列表討論f(x)在各個區間f″(x)的符號和f(x)的凹凸性;

(4)確定y=f(x)的拐點.二、曲線的拐點第六節曲線的凹凸性與拐點

(1)確定函數的定義域，並討論函數的有界性、週期性、奇偶性等;

(2)求f′(x)，f″(x)，解出f′(x)=0及f″(x)=0在定義域內的全部實根及一階、二階導數不存在的點;

(3)列表討論f′(x)，f″(x)的符號，從而確定函數的單調性、凹凸性、極值和拐點;

(4)計算一些必要的輔助點;

(5)討論曲線的漸近線;

(6)描出函數圖象.一、描繪函數圖形的一般步驟第七節函數圖形的描繪

定義

如果曲線y=f(x)的定義域是無限區間，且有limx→-∞f(x)=b或limx→+∞f(x)=b，則直線y=b為曲線y=f(x)的水準漸近線;如果曲線y=f(x)有limx→x0+f(x)=∞，或limx→x0-f(x)=∞，則直線x=x0是曲線y=f(x)的垂直漸近線.二、曲線的漸近線第七節函數圖形的描繪加法的逆運算是減法,乘法的逆運算是除法一樣,積分法可以看作微分法的逆運算.

定義1

設函數F(x)和f(x)在區間I上有定義,若對於I上每一點x,都有F′(x)=f(x)或dF(x)=f(x)dx,則稱F(x)是f(x)在區間I上的原函數.一、原函數與不定積分第一節不定積分的概念與性質

定理若函數f(x)在區間I上連續,那麼f(x)在區間I上的原函數F(x)存在.

由於初等函數在其定義域上處處連續,因此,每個初等函數在其定義區間上都存在原函數.第一節不定積分的概念與性質

設F(x)是f(x)在區間I上的原函數,即F′(x)=f(x).那麼,對任意常數C,由［F(x)+C］′=F′(x)=f(x)知,F(x)+C也是f(x)的原函數.

如果F(x),G(x)都是f(x)在區間I上的原函數,即有F′(x)=G′(x)=f(x),根據微分學拉格朗日中值定理的推論,存在某常數C,使G(x)=F(x)+C.第一節不定積分的概念與性質綜上所述,如果某函數存在原函數,那麼原函數有無窮多個,並且,它們彼此之間只相差一個常數.因此,若把兩個函數相差一個常數作為“等價”看待，則可認為原函數“基本上”只有一個.要把某函數的原函數求出來，只需求出其中任意一個，由它加上各個不同的常數便可得到全部原函數.根據全體原函數的這種結構，引入不定積分的概念.第一節不定積分的概念與性質

定義2函數f(x)在區間I上的全體原函數稱為f(x)在I上的不定積分，記作∫f(x)dx.其中，記號∫稱為積分號；f(x)稱為被積函數；f(x)dx稱為被積運算式；x稱為積分變數.第一節不定積分的概念與性質由定義2可知，不定積分與原函數是整體和個體的關係，f(x)的不定積分∫f(x)dx是f(x)的原函數的全體，是一族函數.若F(x)是f(x)在區間I上的一個原函數，則f(x)在區間I上的不定積分為∫f(x)dx=F(x)+C.其中，C為任意實數，稱為積分常數.第一節不定積分的概念與性質

在直角坐標系中，f(x)的任意一個原函數F(x)的圖形是一條曲線y=F(x)，這條曲線上任意點(x,F(x))處的切線的斜率F′(x)恰為函數值f(x)，稱這條曲線為f(x)的一條積分曲線.f(x)的不定積分F(x)+C則是一個曲線簇，稱為積分曲線簇平行於y軸的直線與簇中每一條曲線的交點處的切線斜率都等於f(x)，因此積分曲線簇可以由一條積分曲線通過沿y軸方向平移得到.二、不定積分的幾何意義第一節不定積分的概念與性質由不定積分和微分的關係可知：第一節不定積分的概念與性質根據積分法是微分法的逆運算，我們可以從每一個導數公式相應地得到一個不定積分公式.下麵為最常用的不定積分公式：三、不定積分的基本公式第一節不定積分的概念與性質

性質1若f(x)和g(x)的不定積分都存在，則f(x)+g(x)的不定積分也存在，且∫［f(x)+g(x)］dx=∫f(x)dx+∫g(x)dx.證明由導數四則運算法則知[∫f(x)dx+∫g(x)dx]′=[∫f(x)dx]′+[∫g(x)dx]′=f(x)+g(x).這說明∫f(x)dx+∫g(x)dx是f(x)+g(x)的原函數，性質1成立.四、不定積分的性質第一節不定積分的概念與性質

性質2若f(x)的不定積分存在，k為非零常數，則kf(x)的不定積分也存在，且∫kf(x)dx=k∫f(x)dx.利用不定積分的性質和基本積分公式，可以求得一些比較簡單的函數的不定積分.第一節不定積分的概念與性質

定理1設函數u=φ(x)具有連續導數，且∫f(u)du=F(u)+C，則∫f［φ(x)］φ′(x)dx=F［φ(x)］+C.證明只需要證明d/dxF［φ(x)］=f［φ(x)］φ′(x).由已知條件知F(u)是f(u)的原函數，即有F′(u)=f(u).根據複合函數求導法則，得一、第一類換元積分法第二節換元積分法

式稱為不定積分的第一類換元積分公式.利用第一類換元積分公式計算不定積分的方法為第一類換元積分法.第一類換元積分法的關鍵是要能從被積函數g(x)中分離出因式φ′(x),使φ′(x)與dx結合湊成微分d［φ(x)］.因此也稱該換元積分法為湊微分法.第二節換元積分法

定理2設函數f(x)連續,x=φ(t)具有連續導數且導數不為零,t=φ-1(x)是其反函數.如果Φ(t)是f［φ(t)］φ′(t)的原函數,則式稱為第二類換元積分公式,相應的積分方法稱為第二類換元積分法.二、第二類換元積分法第二節換元積分法

定理設函數u=u(x)，v=v(x)均具有連續導數，則由兩個函數乘法的微分法則可得d(uv)=udv+vdu或udv=d(uv)-vdu.兩邊同時積分得∫udv=∫d(uv)-∫vdu=uv-∫vdu.這個公式被稱為分部積分公式.第三節分部積分法

u，v的選擇原則如下：

(1)由φ(x)dx=dv，求v比較容易；

(2)∫vdu比∫udv更容易計算.注意：分部積分法在選取u,v過程中，要始終選取同一類函數作為u，v.第三節分部積分法

若Pn(x)和Qm(x)分別是n,m次多項式,則稱R(x)=Pn(x)/Qm(x)

為有理分式.當n＜m時,R(x)是真分式;當n≥m時,R(x)是假分式.

利用多項式的除法,總可以把假分式化成多項式與真分式的和.一、一般有理函數的不定積分第四節有理函數的不定積分

由函數sinx,cosx和常數經過有限次四則運算得到的函數稱為三角函數有理式，記作R(sinx,cosx).二、三角函數有理式的不定積分第四節有理函數的不定積分

1.曲邊梯形的面積在直角坐標系中,由連續曲線y=f(x),直線x=a,x=b及x軸所圍成的圖形稱為曲邊梯形.M1MNN1就是一個曲邊梯形.在x軸上的線段M1N1稱為曲邊梯形的底邊,曲線弧MN稱為曲邊梯形的曲邊.一、引入定積分概念的兩個實例第一節定積分的概念與性質設y=f(x)在［a,b］上連續,且f(x)≥0,求以曲線y=f(x)為曲邊,底邊為［a,b］的曲邊梯形的面積A．第一節定積分的概念與性質為了計算曲邊梯形的面積A,我們用一組垂直於x軸的直線段把整個曲邊梯形分割成許多小曲邊梯形.因為每一個小曲邊梯形的底邊是很窄的,而f(x)又是連續變化的,所以,可用這個小曲邊梯形的底邊作為寬,以它底邊上任意一點所對應的函數值f(x)作為長的小矩形面積來近似代替這個小曲邊梯形的面積.再把所有這些小矩形面積加起來,就可以得到曲邊梯形的面積A的近似值.由圖可知,分割越細密,所有小矩形面積之和就越接近曲邊梯形的面積A.當分割無限細密時,所有小曲邊梯形的面積之和的極限就是曲邊梯形面積A的精確值.第一節定積分的概念與性質

2.變速直線運動的路程設一物體沿一直線運動，已知速度v=v(t)是時間區間［a,b］上t的連續函數，且v(t)≥0，求這一物體在這段時間內所經過的路程S.

(1)分割.

(2)取近似.

(3)求和.

(4)取極限.第一節定積分的概念與性質

定義

設函數y=f(x)在區間［a,b］上有定義.在區間［a,b］中任取分點a=x0＜x1＜x2＜x3＜…＜xi-1＜xi＜…＜xn-1＜xn=b.

將區間［a,b］分成n個社區間［xi-1，xi］，其長度為Δxi=xi-xi-1(i=1，2,…,n).

在每個社區間［xi-1，xi］上任取一點ξi(xi-1≤ξi≤xi)求乘積f(ξi)Δxi(i=1,2,…,n)的和式：二、定積分的定義第一節定積分的概念與性質

如果無論對區間［a,b］採取何種分法及ξi如何選取，當n個社區間中區間的長度最大值趨近於零，即‖Δxi‖→0時，和式的極限都存在，則稱函數f(x)在區間［a,b］上可積，並稱此極限值為函數f(x)在區間［a,b］上的定積分，記作∫baf(x)dx，即其中,f(x)叫作被積函數，f(x)dx叫作被積運算式，x叫作積分變數，a與b分別叫作積分的下限和上限，［a,b］叫做積分區間.第一節定積分的概念與性質

在閉區間［a,b］上，若函數f(x)≥0，則∫baf(x)dx在幾何上表示由曲線y=f(x)(f(x)≥0)，直線x=a，x=b和x軸圍成的曲邊梯形的面積.在閉區間［a,b］上，若函數f(x)≤0，則∫baf(x)dx在幾何上表示由曲線y=f(x)(f(x)≤0)，直線x=a,x=b和x軸圍成的曲邊梯形(在x軸下方)的面積的相反數.三、定積分的幾何意義第一節定積分的概念與性質

在閉區間［a,b］上，f(x)有正有負時，如果我們約定位於x軸上方的面積為“正”，下方的面積為“負”，這時，∫baf(x)dx在幾何上表示介於x軸及直線x=a,x=b和曲線y=f(x)之間的各部分面積的代數和．即∫baf(x)dx=A1-A2+A3.第一節定積分的概念與性質

性質1被積函數的常數因數可以提到積分號外面，即

性質2

兩個函數代數和的定積分等於它們定積分的代數和，即四、定積分的性質第一節定積分的概念與性質可推廣到有限多個函數代數和的情況，即第一節定積分的概念與性質性質3

如果a＜c＜b，那麼

性質3叫作定積分的區間可加性.從定積分的幾何意義可以直接看出它的正確性，並且無論a,b,c三點位置如何，該性質總成立。第一節定積分的概念與性質事實上，當a＜b＜c時，從幾何上直觀看到

性質4在［a,b］上,若f(x)≥g(x)，則性質4說明：比較兩個定積分的大小，只需在同一積分區間上比較兩個被積函數的大小.第一節定積分的概念與性質

性質5(估值定理)如果函數f(x)在［a,b］上可積，對任意x∈［a,b］,恒有m≤f(x)≤M,則性質5的幾何意義是：曲線y=f(x)在［a,b］上曲邊梯形的面積介於區間［a,b］長度為底，分別以m和M為高的兩個矩形面積之間.第一節定積分的概念與性質

性質6(積分中值定理)如果函數f(x)在［a,b］上連續，則至少存在一點ξ∈［a,b］,使得性質6的幾何意義是：以區間［a,b］為底，以曲線y=f(x)為頂的曲邊梯形面積等於同一底邊而高為f(ξ)的矩形面積(ξ∈［a,b］).第一節定積分的概念與性質

定理1

如果f(x)在［a,b］上連續，則積分上限函數在［a,b］上對其上限x的導數存在，且一、積分上限函數及其導數第二節微積分學基本定理

定理2(原函數存在定理)如果函數f(x)在［a,b］上連續，則f(x)在［a,b］上存在原函數，並且積分上限函數是f(x)在［a,b］上的一個原函數.第二節微積分學基本定理

定理3

設f(x)在［a,b］上連續，F(x)是f(x)在［a,b］上的一個原函數，則式稱為牛頓(Newton)—萊布尼茨(Leibniz)公式，簡記為N-L公式，也稱為微積分基本公式.

N-L公式把定積分的問題轉化為求被積函數的原函數，揭示了定積分與不定積分的內在聯繫.二、牛頓—萊布尼茨公式第二節微積分學基本定理

定理1如果函數f(x)在［a,b］上連續，函數x=φ(t)在［α,β］上是單值的且具有連續導數φ′(t)，又φ(α)=a，φ(β)=b，且當t在［α，β］上變化時，相應的x值不越出［a,b］的範圍，那麼這個公式稱為定積分的換元公式.一、定積分的換元法第三節定積分的換元法與分部積分法

定理2如果函數u(x)，v(x)在區間［a,b］上具有連續導數，那麼也可以簡寫為

以上兩個公式稱為定積分的分部積分公式.二、定積分的分部積分法第三節定積分的換元法與分部積分法

定義1假設函數f(x)在區間［a,+∞)上連續，對於任意b＞a，積分∫baf(x)dx存在，我們稱為f(x)在無限區間［a,+∞)上的廣義積分.如果上式右邊的極限存在,稱廣義積分∫+∞af(x)dx收斂,極限值為廣義積分值;否則,稱廣義積分發散.一、無限區間上的廣義積分第四節廣義積分

定義2設函數f(x)在區間(a,b］上連續，limx→a+f(x)=∞，對充分小的正數ε，稱

為f(x)在區間(a,b］上的廣義積分.若等式右邊的極限存在，則稱廣義積分∫baf(x)dx收斂，極限值為廣義積分值;否則，稱廣義積分發散.二、無界函數的廣義積分第四節廣義積分

前面我們從分析解決曲邊梯形的面積和變速直線運動的路程兩個例子引入了定積分的概念.如果用定積分來表示的量U滿足以下條件：

(1)U依賴於區間［a,b］,當將［a,b］分成若干子區間後，量U成為對應於各子區間上分量ΔU的和;

(2)U依賴於區間［a,b］上的某函數;

(3)在［a,b］的微小子區間［x,x+dx］上對應的部分量ΔU≈f(x)dx.若記量U的微元為dU，即有ΔU≈dU，ΔU與dU的差是比dx高階的無窮小.那麼以dU=f(x)dx為積分運算式，從x=a到x=b的定積分∫baf(x)dx就是所求量U.第一節定積分的微元法

綜上可知，用定積分解決實際問題的方法和步驟如下：

(1)根據問題的實際情況，選取一個變數為積分變數，並確定它的變化區間［a,b］;

(2)把區間［a,b］分成n個社區間，取其中一個社區間並記［x,x+dx］，求出該社區間上ΔU的近似值dU,若dU=f(x)dx，就把f(x)dx稱為量U的元素;

(3)以元素f(x)dx為積分運算式，在區間［a,b］上作定積分，得U=∫baf(x)dx.這種方法稱為定積分的微元法.第一節定積分的微元法下麵我們以求曲邊梯形的面積為例，介紹如何用定積分來求平面圖形的面積.設函數y=f(x)在區間［a,b］上連續，求由x軸，曲線y=f(x)，直線x=a，x=b(a＜b)所圍成的圖形的面積A.一、平面圖形的面積第二節定積分的幾何應用第一步：選積分變數x∈［a,b］和典型區間［x,x+dx］［a,b］;第二步：在［x,x+dx］上用矩形面積代替小曲邊梯形面積ΔA,f(x)為小矩形的高,則得到面積微元為dA=f(x)dx.所求圖形的面積為A=∫baf(x)dx.第二節定積分的幾何應用通過類似地方法，我們可以得到如下幾種圖形的面積計算公式：第二節定積分的幾何應用由連續曲線y=f(x)和直線x=a,x=b(a＜b)及x軸所圍成的平面圖形繞x軸旋轉一周而成的幾何體叫作旋轉體.這個幾何體的體積也可以用微元法討論.第一步:選取積分變數x∈［a,b］和典型區間［x,x+dx］［a,b］第二步:在子區間［x,x+dx］上,小旋轉體的體積可以用以f(x)為半徑,dx為高的小圓柱體的體積近似代替,而小圓柱體的體積為dV=πf2(x)dx.二、旋轉體的體積第二節定積分的幾何應用

在［a,b］上積分得旋轉體的體積為Vx=π∫baf2(x)dx.

用類似的方法,可求得由曲線x=g(y)及直線y=c,y=d與y軸所圍成的平面圖形繞y軸旋轉所得的旋轉體的體積為

Vy=π∫dcg2(y)dy.第二節定積分的幾何應用若曲線上每一點都具有切線,且切線隨切點的移動而連續轉動,則稱該曲線為光滑曲線.如果函數y=f(x)在區間［a,b］上可導,且導數f′(x)在［a,b］上連續,則曲線y=f(x)是區間［a,b］上一條光滑曲線.三、平面曲線的弧長第二節定積分的幾何應用設有變力F=f(x)沿x軸將物體從點a處移動到點b處,求F所做的功.由於力F是變化的,所以常力做功的公式W=F·s不再適用.我們可以用微元法來解決這類問題.一、變力沿直線所做的功第三節定積分的物理應用取x為積分變數,積分區間為［a,b］,取典型區間［x,x+dx］［a,b］,在此區間［x,x+dx］上,力可以看成是不變的,因而在該社區間上力F=f(x)所做的功為dW=f(x)dx，故變力所做的功是W=∫baf(x)dx.第三節定積分的物理應用

設垂直放置在液體中的薄板為曲邊梯形,用微元法求薄板所受液體的壓力.

在深度x處取一寬度為dx的水準小薄板，其面積為f(x)dx.則壓力微元為dP=ρgxf(x)dx，

於是可得液體的壓力P=∫baρgxf(x)dx.

其中ρ為液體的密度.二、液體的壓力第三節定積分的物理應用定積分的微分法在經濟中應用非常廣泛,如由邊際需求求總需求,由邊際成本求總成本,由邊際收益求總收益,由邊際利潤求總利潤等.一、已知邊際函數求總量第四節定積分的經濟應用

設企業在［0,T］時間內的收入流的變化率為f(t),年利率為r,則總收入的現值為∫T0f(t)e-rtdt,總收入的終值為∫T0f(t)e(T-t)rdt.二、投資問題第四節定積分的經濟應用

一曲線通過原點，且曲線上任一點(x,y)處的切線斜率等於該點橫坐標的平方，求此曲線方程.

【解】設所求曲線方程為y=f(x)，由導數的幾何意義及已知條件，得y′=x2.

兩邊積分，得y=1/3x3+C.

式中，C為任意常數.由於所求曲線過原點，即將y|x=0=0代入式，得C=0，所以所求曲線方程為y=1/3x3.一、微分方程的引例第一節微分方程的基本概念

1.微分方程和微分方程的階

定義1若在一個方程中涉及的函數是未知的,引數僅有一個,且在方程中含有未知函數的導數(或微分),則稱這樣的方程為常微分方程,簡稱微分方程.

定義2

微分方程中所出現的未知函數的最高階導數的階數，稱為微分方程的階.一般地,設x為引數，y為未知函數，n階微分方程有如下形式：F(x,y,y′，y″，…，y(n))=0.二、微分方程的基本概念第一節微分方程的基本概念

2.微分方程的解與通解

定義3某個函數代入微分方程後,能成為引數的恒等式,則稱這個函數滿足微分方程，滿足微分方程的函數稱為微分方程的解.因此求滿足微分方程的未知函數,也就是求微分方程的解.第一節微分方程的基本概念若微分方程的解中所含獨立的任意常數的個數等於這個方程的階數，則稱此解為方程的通解.當通解中各任意常數都取定值時所得的解，稱為方程的特解.用來確定通解中任意常數的附加條件，稱為初始條件.一個微分方程與初始條件構成的問題，稱為初值問題，求解初值問題，就是求方程的特解.第一節微分方程的基本概念

在一階微分方程中，形如

dy/dx=f(x)·g(y)

的方程，稱為可分離變數的方程.其中，函數f(x)和g(y)都是連續函數,g(y)≠0.

將方程變為dy/g(y)=f(x)dx

的形式,即方程各邊都只含有一個變數及它的微分,這樣變數就“分離”開了，再對式兩邊分別積分，得∫1/g(y)dy=∫f(x)dx.一、可分離變數的一階微分方程第二節一階微分方程

若設G(y)及F(x)依次為1/g(y)及f(x)的原函數，於是有G(y)=F(x)+C.

可以證明，G(y)=F(x)+C就是兩個方程的通解.

值得說明的是，對方程求解時，總假設g(y)≠0.如果g(y)=0，則可由方程求得其一個解為y=y0，且可能它不包含在方程的通解之中.

綜上所述，求解可分離變數的微分方程的步驟如下：

(1)分離變數；

(2)兩邊積分.第二節一階微分方程二、一階線性微分方程第二節一階微分方程第二節一階微分方程第二節一階微分方程第二節一階微分方程

這種類型的方程特點是其左端為未知函數y的高階導數，而右端不含y，兩邊積分得y′=∫f(x)dx+C1.

再積分，得方程通解y=∫[∫f(x)dx]dx+C1x+C2.

其中，C1,C2為任意常數.一、y″=f(x)類型的方程第三節可降階的高階微分方程

若二階