3.3函数的奇偶性及函数性质综合(精练)-【题型·技巧培优系列】2022年新高一数学暑假预习精讲精练

.3函数的奇偶性及函数性质综合【题型解读】【题型一函数奇偶性的判断】1.（2022·河北·武安市第一中学高一期末）判断下列函数的奇偶性：（1）；（2）；（3）；【答案】（1）非奇非偶函数；（2）奇函数；（3）偶函数．【解析】（1）有意义，则，即，解得，所以函数的定义域为，不关于原点对称，因此函数是非奇非偶函数；（2）当时，，，；当时，，，.所以函数为奇函数；（3）由题意可得，所以且，所以函数的定义域为关于原点对称，又，所以函数为偶函数；2.（2022·广东中山市月考）（多选）下列函数中是偶函数，且在为增函数的是（）A． B．C． D．【答案】ACD【解析】根据题意，依次分析选项：对于，，偶函数，且在为增函数，符合题意；对于，，不是偶函数，不符合题意；对于，，是偶函数，在上为增函数，故在为增函数，符合题意；对于，，是偶函数，且在为增函数，符合题意；故选：．3.（2022·山东·济南一中期中）判断下列函数的奇偶性:(1);(2);(3);(4).【答案】(1)既不是奇函数也不是偶函数.(2)奇函数.(3)既不是奇函数也不是偶函数.(4)偶函数.【解析】(1)函数的定义域为{且},定义域不关于原点对称,∴该函数既不是奇函数也不是偶函数.(2)的定义域是.当时,显然,.,是奇函数.(3)的定义域为R.,,.不是偶函数.又,不是奇函数.既不是奇函数也不是偶函数.(4)的定义域为R.,是偶函数.4．（2022·安徽宣城市·高一期末）已知函数，求（1）函数的定义域；（2）判断函数的奇偶性.【答案】(1)且；(2)奇函数【解析】（1）由题得得且x，所以函数的定义域为且.（2）由（1）得函数的定义域关于原点对称.,所以函数是奇函数.5.（2022·广西高一期末）（多选）下列函数中，在定义域上既是奇函数，又是减函数的是（）A． B．C． D．【答案】AB【解析】因为，定义域为，且，所以函数是奇函数，设，则，所以时，，又因为函数是奇函数，所以函数在上单调递减，故选项A正确；由函数的图像可知：函数关于原点对称且单调递减，故选项B正确；而选项中的函数是非奇非偶函数，故选项C错误；对于函数，定义域为，定义域关于原点对称，，所以函数是奇函数，设，则，所以时，，所以函数在上单调递增，又因为函数是奇函数，，所以函数在上也单调递增，但是不满足题意.故选：AB.【题型二利用函数奇偶性求值、参数】1.（2022·云南弥勒市一中高一月考）若函数为偶函数，则_______________.【答案】2【解析】因为函数为偶函数，所以m-2=0，解得m=2.也可用，解出m=2.故答案为：22.（2022·浙江高一期末）已知是定义在上的奇函数，且当时，，则（）A．－1 B．－2C．1 D．2【答案】D【解析】因为是定义在上的奇函数，且当时，，所以．故当时，，所以．故选：.3．（2022·湖北十堰高一期末）已知函数为偶函数，则的值为__________.【答案】【解析】因为函数为偶函数,故,故恒成立.故.故,则.故答案为：4.（2022·河北石家庄期中）若定义域为的函数是偶函数，则______，______.【答案】20【解析】偶函数的定义域为，则，解得，所以，满足的对称轴关于轴对称，所以对称轴，解得.故答案为：2；05.（2022·广西高一期末）已知是定义在上的奇函数，且当时，，则_________．【答案】【解析】因为是定义在上的奇函数，所以，解得，因为当时，，所以，，故答案为：-26.（2022·山东济南中学高一期末）若是偶函数，且定义域为，则＝_____，＝_____【答案】0【解析】因为是偶函数，且定义域为，所以，解得，且，所以.故.【题型三函数奇偶性求解析式】1.（2022·山西·怀仁市第一中学校月考）已知是定义在上的偶函数，且当时，，则当时，______．【答案】【解析】根据题意，设，则，有，又由为偶函数，则，即，故答案为：．2.（2022·湖北襄阳五中高一月考）已知函数y＝f(x)的图象关于原点对称，且当x>0时，f(x)＝x2－2x＋3.则f(x)在R上的表达式为________．【答案】【解析】因为是奇函数，且定义域为，故当时，；则当时，.故答案为：.3．（2022·北京大兴·高一期末）已知是定义在R上的奇函数，时，，则在，上的表达式是（）A． B．C． D．【答案】A【解析】因为时，，设，则，所以，又因为是定义在R上的奇函数，所以，故选：A.4.（2022·河南开封·高一期末）已知函数，，是奇函数，且当时，，则时，______．【答案】.【解析】当时，，所以，因为是奇函数，所以.故答案为：.5.（2022·上海高一期末）已知函数是定义域为R的偶函数，当时，则当时__________．【答案】【解析】设，则，由时，，所以，又函数为偶函数，即，所以.故答案为：6.（2022·南昌市新建区第一中学高一月考）若是定义在R上的奇函数，当时，(为常数)，则当时，_________.【答案】【解析】是定义在R上的奇函数，则，故，时，，则.故答案为：.【题型四函数性质的综合应用】1.（2022·河南·夏邑第一高级中学高一期末）已知函数为偶函数，当时，，则的解集是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】当时，．由得或，解得或，即．所以不等式的解集为.故选：A.2.（2022·浙江省淳安县汾口中学高一开学考试）已知是定义在上的偶函数，且在上是增函数，则下列各式一定成立的是（）A． B．C． D．【答案】D【解析】因为是上的偶函数，所以，，且在上是增函数，因为，所以A错误；因为，所以B错误；因为，所以C错误；因为，所以D正确.故选：D.3．（2022·陕西·咸阳市高新一中高一期中）奇函数在内单调递减且，则不等式的解集为（）A． B．C． D．【答案】A【解析】因为函数在上单调递减，，所以当时，，当，，又因为是奇函数，图象关于原点对称，所以在上单调递减，，所以当时，，当时，，大致图象如下，由得或，解得，或，或，故选：A.4.（2022·安徽宣城·高一期中）设偶函数的定义域为，当时，是增函数，则，，的大小关系是（）A． B．C． D．【答案】B【解析】是偶函数，，，当时，是增函数，且，，.故选：B.5.（2022·福建高一期末）若定义在的奇函数在单调递减，则不等式的解集为（）A． B． C． D．【答案】B【解析】∵是奇函数，在上递减，则在上递减，∴在上是减函数，又由是奇函数，则不等式可化为，∴，．故选：B．【题型五抽象函数的性质】1.（2022·陵川县高级实验中学校月考）已知函数在上单调递增，对于任意，都有．（1）求；（2）判断奇偶性并证明；（3）解不等式．【答案】（1）；（2）为奇函数，证明见解析；（3）或．【解析】（1）任意，都有，可令，则，即；（2）为奇函数，证明如下：定义城为，可令，则，即，则为奇函数；（3），即为，由于任意，都有，则，即，即，由函数在上单调递增，可得，解得或，则不等式的解集为或．2．（2022·广东·金山中学高一期中）已知函数对任意，总有，且当时，，.（1）先求的值，然后判断函数的奇偶性，并加以证明；（2）判断函数在其定义域上的单调性，并加以证明；（3）求函数在上的最小值．【答案】（1）；奇函数；证明见解析；（2）减函数，证明见解析；（3）.【解析】(1)由已知，令，得，所以.函数是奇函数.证：令，得，所以，即，故是奇函数．(2)是上的减函数，证明如下:设，是任意的两个实数，且，则，因为时，，所以，所以，所以．所以是上的减函数．(3)由(2)可知是上的减函数，所以在上也是减函数，所以在上的最小值为,而所以函数在上的最小值为.3.（2022·浙江高一课时练习）定义在上的函数，满足，且当时，.（1）求的值.（2）求证：.（3）求证：在上是增函数.（