课时作业1：11.4.2　平面与平面垂直

11．4.2平面与平面垂直1．下列说法：①两个相交平面所组成的图形叫做二面角；②二面角的平面角是从棱上一点出发，分别在两个平面内作射线所成的角；③二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置有关系．其中正确的个数是()A．0B．1C．2D．3答案A解析根据二面角定义知①②③都不正确，故选A.2．如果直线l，m与平面α，β，γ满足：β∩γ＝l，l∥α，m⊂α，m⊥γ，那么必有()A．α⊥γ且l⊥m B．α⊥γ且m∥βC．m∥β且l⊥m D．α∥β且α⊥γ答案A解析B错，有可能m与β相交；C错，可能m与β相交；D错，有可能α与β相交．3.如图所示，在三棱锥D－ABC中，若AB＝CB，AD＝CD，E是AC的中点，则下列结论中正确的是()A．平面ABC⊥平面ABDB．平面ABD⊥平面BDCC．平面ABC⊥平面BDE，且平面ADC⊥平面BDED．平面ABC⊥平面ADC，且平面ADC⊥平面BDE答案C解析∵AB＝CB，AD＝CD，E为AC中点．∴AC⊥DE，AC⊥BE，又BE∩DE＝E，BE，DE⊂平面BDE，∴AC⊥平面BDE.又AC⊂平面ABC，AC⊂平面ADC，∴平面ABC⊥平面BDE，平面ADC⊥平面BDE.4.如图，已知PA⊥矩形ABCD所在的平面，则图中互相垂直的平面有()A．2对 B．3对C．4对 D．5对答案D解析∵PA⊥平面ABCD，∴平面PAD⊥平面ABCD，平面PAB⊥平面ABCD，∴PA⊥CD，PA⊥AB，PA⊥BC，又CD⊥AD，AB⊥AD，BC⊥AB，∴CD⊥平面PAD，AB⊥平面PAD，BC⊥平面PAB，∴平面PCD⊥平面PAD，平面PAB⊥平面PAD，平面PBC⊥平面PAB，∴共有5对互相垂直的平面．5．如图，在四面体D－ABC中，已知AB⊥AC，BD⊥AC，那么D在面ABC内的正投影H必在()A．直线AB上 B．直线BC上C．直线AC上 D．△ABC内部答案A解析∵AB⊥AC，BD⊥AC，AB∩BD＝B，∴AC⊥平面ABD.又∵AC⊂平面ABC，∴平面ABC⊥平面ABD，平面ABC∩平面ABD＝AB，D在面ABC内的射影H必在AB上．故选A.6.如图，A，B，C，D为空间四点，在△ABC中，AB＝2，AC＝BC＝eq\r(2)，等边三角形ADB以AB为轴运动，当平面ADB⊥平面ABC时，则CD＝________.答案2解析如图，取AB的中点E，连接DE，CE，因为△ADB是等边三角形，所以DE⊥AB.当平面ADB⊥平面ABC时，因为平面ADB∩平面ABC＝AB，DE⊂平面ABD，所以DE⊥平面ABC.又CE⊂平面ABC，可知DE⊥CE.由已知可得DE＝eq\r(3)，EC＝1，在Rt△DEC中，CD＝eq\r(DE2＋CE2)＝2.7．已知α，β是两个不同的平面，m，n是平面α及β之外的两条不同直线，给出四个论断：①m⊥n；②α⊥β；③n⊥β；④m⊥α.以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题：________.(用序号表示)答案①③④⇒②(或②③④⇒①)解析当m⊥α，m⊥n时，有n∥α或n⊂α，∴当n⊥β时，α⊥β，即①③④⇒②.或当α⊥β，m⊥α时，有m∥β或m⊂β，∴当n⊥β时m⊥n，即②③④⇒①.8．已知正四棱锥的体积为12，底面对角线的长为2eq\r(6)，则侧面与底面所成的二面角的大小为________．答案60°解析正四棱锥的体积为12，底面对角线的长为2eq\r(6)，则底面边长为2eq\r(3)，底面积为12，所以正四棱锥的高为3，所以侧面与底面所成的二面角的正切值为eq\r(3)，故所求的二面角为60°.9.在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB⊥BC，D为棱CC1上任一点．(1)求证：直线A1B1∥平面ABD；(2)求证：平面ABD⊥平面BCC1B1.证明(1)由直三棱柱ABC－A1B1C1，得A1B1∥AB.因为A1B1⊄平面ABD，AB⊂平面ABD，所以直线A1B1∥平面ABD.(2)因为三棱柱ABC－A1B1C1为直三棱柱，所以AB⊥BB1.又因为AB⊥BC，BB1⊂平面BCC1B1，BC⊂平面BCC1B1，且BB1∩BC＝B，所以AB⊥平面BCC1B1.又因为AB⊂平面ABD，所以平面ABD⊥平面BCC1B1.10.如图所示，△ABC为正三角形，CE⊥平面ABC，BD∥CE，且CE＝AC＝2BD，M，N分别是AE，AC的中点，求证：(1)DE＝DA；(2)平面BDMN⊥平面ECA；(3)平面DEA⊥平面ECA.证明(1)如图，取CE的中点F，连接DF，易知DF∥BC，因为CE⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，所以CE⊥BC，所以CE⊥DF.因为BD∥CE，所以BD⊥平面ABC，所以BD⊥AB.在Rt△EFD和Rt△DBA中，因为EF＝eq\f(1,2)CE＝DB，DF＝BC＝AB，所以Rt△EFD≌Rt△DBA，所以DE＝DA.(2)因为EC⊥平面ABC，BN⊂平面ABC，所以EC⊥BN，因为△ABC为正三角形，所以BN⊥AC.因为EC∩AC＝C，EC，AC⊂平面ECA，所以BN⊥平面ECA.又因为BN⊂平面BDMN，所以平面BDMN⊥平面ECA.(3)因为M，N分别是AE，AC的中点，所以MN∥CE且MN＝eq\f(1,2)CE，又因为BD∥CE且BD＝eq\f(1,2)CE，所以MN∥BD且MN＝BD，所以四边形MNBD是平行四边形，所以DM∥BN，由(2)知BN⊥平面ECA，所以DM⊥平面ECA.又因为DM⊂平面DEA，所以平面DEA⊥平面ECA.11．在正四面体P－ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，则下列四个结论中错误的是()A．BC∥平面PDFB．DF⊥平面PAEC．平面PDF⊥平面ABCD．平面PAE⊥平面ABC答案C解析由DF∥BC，BC⊄平面PDF，可得BC∥平面PDF，故A结论正确；作PO⊥平面ABC，垂足为O，则点O在AE上，则DF⊥PO，又DF⊥AE，PO∩AE＝O，PO，AE⊂平面PAE，故DF⊥平面PAE，故B结论正确；由DF⊥平面PAE，DF⊂平面ABC，可得平面PAE⊥平面ABC，故D结论正确，易知C结论错误．12．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，截面A1BD与底面ABCD所成二面角A1－BD－A的正切值为()A.eq\f(\r(3),2)B.eq\f(\r(2),2)C.eq\r(2)D.eq\r(3)答案C解析如图所示，连接AC交BD于点O，连接A1O，O为BD中点，∵A1D＝A1B，∴在△A1BD中，A1O⊥BD.又∵在正方形ABCD中，AC⊥BD，∴∠A1OA为二面角A1－BD－A的平面角．设AA1＝1，则AO＝eq\f(\r(2),2).∴tan∠A1OA＝eq\f(1,\f(\r(2),2))＝eq\r(2).13.如图所示，已知两个正方形ABCD和DCEF不在同一平面内，M，N分别为AB，DF的中点．若CD＝2，平面ABCD⊥平面DCEF，则线段MN的长为________．答案eq\r(6)解析取CD的中点G，连接MG，NG，因为ABCD，DCEF为正方形，且边长为2，所以MG⊥CD，MG＝2，NG＝eq\r(2).因为平面ABCD⊥平面DCEF，且平面ABCD∩平面DCEF＝CD，所以MG⊥平面DCEF，可得MG⊥NG，所以MN＝eq\r(MG2＋NG2)＝eq\r(6).14.如图所示，AB为圆O的直径，点C在圆周上(异于点A，B)，直线PA垂直于圆O所在的平面，点M为线段PB的中点．有以下四个命题：①PA∥平面MOB；②MO∥平面PAC；③OC⊥平面PAC；④平面PAC⊥平面PBC.其中正确的命题是________．(填上所有正确命题的序号)答案②④解析因为PA⊂平面MOB，所以①不正确；因为MO∥PA，而且MO⊄平面PAC，所以②正确；因为OC不垂直于AC，所以③不正确；因为BC⊥AC，BC⊥PA，AC∩PA＝A，所以BC⊥平面PAC，所以平面PAC⊥平面PBC，所以④正确．15．如图所示，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°.将△ADB沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成三棱锥A－BCD，则在三棱锥A－BCD中，下列命题正确的是()A．AD⊥平面BCDB．AB⊥平面BCDC．平面BCD⊥平面ABCD．平面ADC⊥平面ABC答案D解析在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，所以BD⊥CD，又平面ABD⊥平面BCD，且平面ABD∩平面BCD＝BD，所以CD⊥平面ABD，所以CD⊥AB，又AD⊥AB，AD∩CD＝D，故AB⊥平面ADC，从而平面ABC⊥平面ADC.16.如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD为直角梯形，AB∥CD，AB⊥AD，且CD＝2AB.(1)若AB＝AD，直线PB与CD所成的角为45°，求二面角P－CD－B的大小；(2)若E为线段PC上一点，试确定点E的位置，使得平面EBD⊥平面ABCD，并说明理由．解(1)∵AB⊥AD，CD∥AB，∴CD⊥AD，又PA⊥底面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴PA⊥CD.又PA∩AD＝A，PA，AD⊂平面PAD，∴CD⊥平面PAD，又PD⊂平面PAD，∴CD⊥PD，∴∠PDA是二面角P－CD－B的平面角．又直线PB与CD所成的角为45°，∴∠PBA＝45