电工基础：第9章电路的暂态分析

第9章电路的暂态分析9.1电路的初始条件9.2一阶电路的零输入响应9.3一阶电路的零状态响应9.4一阶电路的全响应9.5一阶电路的三要素法9.6RLC串联电路的零输入相应学习要点掌握换路定律及电路初值的求解，理解一阶电路全响应的时域解法，掌握时间常数的意义，理解稳态、暂态响应，零输入、零状态响应的含义及特点，掌握三要素法，会用三要素法求解一阶暂态电路，了解正弦输入下全响应的特点。理解二阶电路的微分方程解法，振荡解与非振荡解，掌握二阶电路的过阻尼、欠阻尼、临界阻尼状态，临界电阻。概述稳态：电路中电压、电流已达到稳定值或稳定状态。KE+_暂态：电路从一种稳态变化到另一种稳态的过渡过程。KCRE+_R电阻不是储能元件，不存在过渡过程。产生暂态过程的必要条件：(2)电路中含有储能元件(内因)因为能量的存储和释放需要一个过程，所以有电感或（和）电容的电路会存在过渡过程。(1)电路发生换路(外因)思考：该电路存在暂态过程吗？t=0UR+_KURCRuS(t)+_0t(s)uS(t)5V研究暂态过程的意义电路的暂态过程是一种自然现象，暂态过程的存在有利有弊。

有利的方面：

在电子技术中常用它来产生各种特定波形的信号或改善信号波形；比如产生锯齿波、三角波、尖脉冲等，应用于电子电路。不利的方面：

在暂态过程发生的瞬间，可能出现过压或过流，致使电气设备损坏。故必须采取防范措施控制、预防可能产生的危害。注：直流电路、交流电路都存在暂态过程,我们讲课的重点是直流电路的暂态过程。

电路结构或参数变化引起电路状态的改变。如：电路接通、切断、短路、电压改变或参数改变。9.1电路的初始条件（初值）1.换路：2.电路初值的确定：注意：只有uC

、

iL受换路定律的约束而保持不变，电路中其他电压、电流都可能发生跃变。∵电容元件上电压uC不能突变∵电感元件上电流iL不能突变设：

表示换路瞬间(定为计时起点)

表示换路前的终了瞬间

表示换路后的初始瞬间（此刻电路中的电压、电流值称为电路的初值，又称初始条件）,一般取t0=0.

换路定律：具体法则：1）换路瞬间，电容元件当作电压为uC（0＋）的恒压源。2）换路瞬间，电感元件当作电流为iL（0＋）的恒流源。3）按以上原则，确定出t=0+瞬间的等效电路，在此基础上求解电路其它初始值。3、电路（t=0+）初始值的确定：基本原则：

各支路电压电流的分配——KCL、KVL定律，电阻元件——

欧姆定律，储能元件——

换路定律例：图示电路原已稳定，t=0时刻开关S打开，求电路各元件电压、电流的初始值例1：图示电路原处于稳态，开关S闭合前电容和电感均未储能，t=0时开关S闭合，电源U=6V，R1=1Ω，R2=2Ω，R3=3Ω，求换路瞬间电路中的电流和电压初始值。1、t=0-时，解：2、t=0+时，根据换路定则3、画出t=0+时的等效电路例2：已知:电压表内阻设开关

K在t=0

时打开。求:K打开的瞬间,电压表两端电压。解:换路前换路瞬间K.ULVRiLV过电压给电感储能提供泄放途径续流二极管KUVLRiL1)由t=0-

电路求2)根据换路定则求出3)由t=0+时的电路，求所需其它各量的或在换路瞬间t=(0+)的等效电路中电容元件视为短路。其值等于(1)若电容元件用恒压源代替，其值等于I0,,电感元件视为开路。(2)若,电感元件用恒流源代替，

注意：4.小结：电压及电流初始值的确定练习与思考+-R1LSUSR2答案：(C)1、下图所示电路在已稳定状态下断开开关S，则该电路（）。因为有储能元件L，要产生过渡过程；因为电路有储能元件且发生换路，要产生过渡过程；因为换路时元件L的电流储能不能发生变化，不产生过渡过程。2、下图所示电路在达到稳定状态后移动R1上的滑动的触点，该电路将产生过渡过程。这是因为（）。

a)电路发生换路；

b)电路中有储能元件C；

c)电路有储能元件的能量发生变化。答案：(C)R2+-USR1C3、下图所示电路在达到稳定状态后减小增加R1，则该电路（）。因为发生换路，要产生过渡过程因为C的储能值不变，不产生过渡过程因为有储能元件且发生换路，要发生过渡过程答案：(b)+-USR1CR2

用一阶微分方程来描述的电路。一阶电路通常只含有一个动态元件。9.2一阶电路的暂态响应一阶电路：9.4一阶电路的全响应图示电路处于稳态，

t=0时开关S闭合，已知初始值uC(0-)=U0。根据KVL，得回路电压方程为：从而得微分方程：一阶线性常系数非齐次微分方程9.4.1RC一阶电路的全响应——求解求通解：构建齐次方程求通解：构建齐次方程S闭合后，电路可能出现哪几种工作情况？对于任意RC电路，结论均适用吗？**当us=Us（常数）时，特征式：RCp+1=0,通解：求特解：达到稳态时的uC一定满足微分方程，是一个特解。特解：带入初始条件：uC(0+)=U0换路后任何一个复杂的一阶电路，总可以用戴微南定理或诺顿定理将其等效为一个简单的RC电路或RL电路。因此，对一阶电路的分析，实际上可归结为对简单的RC电路和RL电路的求解。方法具有普适性！！t=0t≥0+t≥0+经典法步骤:1.根据换路后的电路列微分方程

2.求特解（稳态分量）3.求齐次方程的通解(暂态分量）4.由电路的初始值确定积分常数对于复杂一些的电路，可由戴维南定理将储能元件以外的电路化简为一个电动势和内阻串联的简单电路，然后利用经典法的结论。稳态分量暂态分量零状态响应零输入响应思考：①暂态分量的变化规律？

②零输入、零状态的含义？全响应目录看书210页，表9-1。一般认为：(3~5)t后暂态过程结束，进入稳态。

t越小变化越快！！！目录时间常数，单位：秒稳态分量：分析暂态分量：当U0>US时：当U0<US时：电流的响应曲线？思考：09.4.2RL一阶电路的全响应图中，电路处于稳态，t=0时开关S闭合，求iL(t)。uCiUSt=0RCuLiLUSt=0RLR19.2一阶电路的零输入响应9.3一阶电路的零状态响应uCiUSt=0RCuLiLUSt=0RLuC(0¯)=0ViL(0¯)=0A零输入响应：

输入为零时，由初始状态产生的响应，仅与初始状态有关，而与外加激励无关。零状态响应：初始状态为零时，由外加激励产生的响应，仅与激励有关，而与初始状态无关。全响应：

由外加输入和储能元件初始储能共同作用在电路中产生的响应。求特解：求通解：正弦激励uCiuSSt=0RCuLiLuSSt=0RL稳态响应，用相量法求解,A待定系数UCIUSSR-jXC当

时：RXCjquCiuSSt=0RC全解：带入初始条件：uC(0+)=uC(0-)=U0注意：A为电容电压的初始值和其在0时刻的稳态解值之差。jqfuS|f|U0wtu正弦稳态解0qA暂态分量关于AU0wtu0AA9.5

三要素法式中:xS(t)―稳态分量;

A―待求系数;τ―时间常数。三要素：稳态解—xS(t)，初值—x(0+)

，时间常数—τ目录一阶电路中uC(t)

、iL

(t)

的微分方程为：带入初值：推广：其中：x(t)可以是一阶电路中任意支路的电压或电流解如果是直流稳态电路，则稳态解xS(t)记为x(∞),三要素公式为：对于RC电路，时间常数为：对于RL电路，时间常数为：目录例1

图示电路原已稳定，开关S在t=0时合上，求电压u(t).目录t→∞t=0+①求u(0+)②求u(∞)③求时间常数④代入三要素公式求响应戴维南等效电路戴维南定理与全响应的关系三要素法全响应法目录例2

图示电路原已稳定.已知：A

,US=20V,L=0.1H,R1=12Ω,R2=6Ω,r=4Ω,求开关闭合后的u、i。目录i易错点：1、f(0+)的求取。应当严格按照3.1节电路初始值的求解方法求取。通常：f(0+)=f(0-)。(除uC、iL外）2、t的求取。在换路后的等效电路中，以储能元件C或L为端口，求戴维南等效电阻R。不能以待求变量所在支路为端口；也不能在换路前的电路中求解。目录例9-6电路如图9-21所示。已知时开关K合上求换路后的电感电流.当电流源单独作用时当电压源单独作用时求稳态解9-17电路及参数如图所示，求t≥0

时的电感电流和电压。t=0-+uL-iLt=0++uL(0+)-例3图示的电路中，开关S原已打开时电路处于稳态，t=0时将S闭合，t=t1=1ms时又将S打开，求电压u0,并画出其波形.已知C=1μF,R2=R3=R4=2kΩ,US=10V,R1=1kΩ。令补充微分电路与积分电路当满足条件：(1)时间常数τ<<tw；(2)输出电压从电阻两端取出。1微分电路目录——RC串联，输入矩形脉冲信号2积分电路条件：(1)时间常数τ>>tw；(2)输出电压从电容两端取出。目录RC串联，输入矩形脉冲信号9.6RLC串联二阶电路的动态响应9.6.1RLC串联零输入响应设电容元件的初始电压为U0，开关在t=0时刻闭合，分析闭合后电路的响应。思考：在二阶暂态电路或更高阶暂态电路中换路定则是否成立？目录解二阶微分方程可以得到电路响应。电路方程：特征方程：令：初步分析：a

w0

、a

w0

、a

w0三种情况。目录特征根：代入初值：uC(0+)=U0

，i(0+)=0A，有：1、a

w0

时，0

p1

p2，为两个互异的负实根目录为便于分析设：p1=-3，p2=-5A1，A2为待定系数。补充：可以求得：通解：

非振荡过程称为:

过阻尼放电思考：响应uC(t)、i(t)、uL(t)的变化趋势。目录设：p1=-3，p2=-5，目录i(t)的波形uL(t)的波形总结：整个暂态过程中，电容元件始终是放电状态，输出电能；电阻元件始终吸收电能；电感元件先吸收电能，后释放电能。ii2、a

=w0

时，

p1=

p2=-a

临界振荡过程电路初始条件：uC(0+)=U0

，i(0+)=0A，代入响应表达式，可以求得：响应uC(t)、i(t)、uL(t)的曲线。思考：目录3、a

w0

时，

p1、

p2为一对共轭复数原特征根：即：记为：由电路初始条件：uC(0+)=U0

，i(0+)=0A，可以求得：目录令：cosq

sinqqqi(t)uC(t)目录

振荡过程称为:

欠阻尼放电思考：①响应过程的能流变化。②当R→0时，响应uC(t)、i(t)、uL(t)的形式。②当R→0时，响应uC(t)、i(t)、uL(t)的形式。已求得的响应目录9.6.2RLC恒定输入响应解二阶线性非齐次微分方程。构建相应的齐次微分方程。设齐次微分方程的解为：则：非齐次微分方程的解为：重点讨论阻尼振荡过程。目录特征方程：特征根：阻尼振荡过程。a

w0目录当R→0时，响应uC(t)、i(t)、uL(t)的形式。思考：过电压目录 9.6.3RLC二阶暂态响应特性的利用1、串联谐振逆变主电路2、并联谐振逆变主电路可以在电阻上获得近似正弦的电压。可以得到关于电感电流的二阶微分方程，求解.9.6RLC串联二阶电路的动态响应9.6.1RLC串联零输入响应设储能元件的初始储能均为零，开关在t=0时刻闭合，分析闭合后电路的响应。思考：在二阶暂态电路或更高阶暂态电路中换路定则是否成立？目录电路方程：解二阶线性非齐次微分方程。构建相应的齐次微分方程。设齐次微分方程的解为：则：非齐次微分方程的解为：特征方程：令：特征根：初步分析：a

w0

、a

w0

、a

w0三种情况。1、a

w0

时，0

p1

p2，为两个互异的负实根2、a

=w0

时，

p1=

p2=-a

临界振荡过程3、a

w0

时，

p1、

p2为一对共轭复数电路初始条件：uC(0+)=0V，i(0+)=0A，代入响应表达式，可以求得：1、a

w0

时，0

p1

p2，为两个互异的负实根令：因为：0<w<a，所以:A1<0,A2>02、a

=w0

时，

p1=

p2=-a

临界振荡过程电路初始条件：uC(0+)=0，i(0+)=0A，代入响应表达式，可以求得：响应uC(t)、i(t)、uL(t)的曲线。思考：目录

总结：本章主要内容1、暂态