实数的教案和讲义

第二章实数【知识网络】【知识梳理】一．数的开方主要知识点：【平方根】如果一个数x的平方等于a，那么，这个数x就叫做a的平方根；也即，当时，我们称x是a的平方根，记做：。因此：1.当a=0时，它的平方根只有一个，也就是0本身；2.当a＞0时，也就是a为正数时，它有两个平方根，且它们是互为相反数，通常记做：。3.当a＜0时，也即a为负数时，它不存在平方根。例1.〔1〕的平方是64，所以64的平方根是；〔2〕的平方根是它本身。〔3〕假设的平方根是±2，那么x=；的平方根是〔4〕当x时，有意义。〔5〕一个正数的平方根分别是m和m-4，那么m的值是多少？这个正数是多少？【算术平方根】：〔1〕如果一个正数x的平方等于a，即，那么，这个正数x就叫做a的算术平方根，记为：“〞，读作，“根号a〞，其中，a称为被开方数。特别规定：0的算术平方根仍然为0。〔2〕算术平方根的性质：具有双重非负性，即：。〔3〕算术平方根与平方根的关系：算术平方根是平方根中正的一个值，它与它的相反数共同构成了平方根。因此，算术平方根只有一个值，并且是非负数，它只表示为：；而平方根具有两个互为相反数的值，表示为：。例2.〔1〕以下说法正确的选项是〔〕A．1的立方根是；B．；〔C〕、的平方根是；〔D〕、0没有平方根；〔2〕以下各式正确的选项是〔〕A、B、C、D、〔3〕的算术平方根是。〔4〕假设有意义，那么___________。〔5〕△ABC的三边分别是且满足，求c的取值范围。〔6〕：A=是的算术平方根，B=是的立方根。求A－B的平方根。〔7〕〔提高题〕如果x、y分别是4－EQ\R(,3)的整数局部和小数局部。求x－y的值.【立方根】〔1〕如果x的立方等于a，那么，就称x是a的立方根，或者三次方根。记做：，读作，3次根号a。注意：这里的3表示的是根指数。一般的，平方根可以省写根指数，但是，当根指数在两次以上的时候，那么不能省略。〔2〕平方根与立方根：每个数都有立方根,并且一个数只有一个立方根；但是，并不是每个数都有平方根，只有非负数才能有平方根。例3.〔1〕64的立方根是〔2〕假设，那么b等于〔〕A.1000000B.1000C.10D.10000〔3〕以下说法中：①都是27的立方根，②，③的立方根是2，④。其中正确的有〔〕A、1个B、2个C、3个D、4个【无理数】〔1〕无限不循环小数叫做无理数；它必须满足“无限〞以及“不循环〞这两个条件。在初中阶段，无理数的表现形式主要包含以下几种：〔1〕特殊意义的数，如：圆周率以及含有的一些数，如：2-，3等；〔2〕开方开不尽的数，如:等；〔3〕特殊结构的数：如：2.01001000100001…〔两个1之间依次多1个0〕等。应当要注意的是：带根号的数不一定是无理数，如：等；无理数也不一定带根号，如：〔2〕有理数与无理数的区别：〔1〕有理数指的是有限小数和无限循环小数，而无理数那么是无限不循环小数；〔2〕所有的有理数都能写成分数的形式〔整数可以看成是分母为1的分数〕，而无理数那么不能写成分数形式。例4.〔1〕以下各数：①3.141、②0.33333……、③、④π、⑤、⑥、⑦0.3030003000003……〔相邻两个3之间0的个数逐次增加2〕、其中是有理数的有＿＿＿＿＿＿＿；是无理数的有＿＿＿＿＿＿＿。〔填序号〕〔2〕有五个数:0.125125…,0.1010010001…,-,,其中无理数有()个A2B3C4D5【实数】〔1〕有理数与无理数统称为实数。在实数中，没有最大的实数，也没有最小的实数；绝对值最小的实数是0，最大的负整数是-1，最小的正整数是1.〔2〕实数的性质：实数a的相反数是-a；实数a的倒数是〔a≠0〕；实数a的绝对值|a|=，它的几何意义是：在数轴上的点到原点的距离。〔3〕实数的大小比拟法那么：实数的大小比拟的法那么跟有理数的大小比拟法那么相同：即正数大于0，0大于负数；正数大于负数；两个正数，绝对值大的就大，两个负数，绝对值大的反而小。〔在数轴上，右边的数总是大于左边的数〕。对于一些带根号的无理数，我们可以通过比拟它们的平方或者立方的大小。〔4〕实数的运算：在实数范围内，可以进行加、减、乘、除、乘方、开方六种运算。运算法那么和运算顺序与有理数的一致。例5.〔1〕以下说法正确的选项是〔〕；A、任何有理数均可用分数形式表示；B、数轴上的点与有理数一一对应；C、1和2之间的无理数只有；D、不带根号的数都是有理数。〔2〕①a，b在数轴上的位置如下图，那么以下各式有意义的是()b0ab0aA、B、C、D、②〔2023山东省聊城，10，3分〕如右图所示的数轴上，点B与点C关于点A对称，A、B两点对应的实数是和-1，那么点C所对应的实数是〔〕A.1+B.2+C.2-1D.2+1③〔2023·湖南省张家界市·6题·3分〕实数、在轴上的位置如下图，且，那么化简的结果为〔〕A．B.C.D.〔3〕比拟大小(填“>〞或“<〞).3，，，，〔4〕将以下各数：，用“＜〞连接起来；______________________________________。〔5〕假设，且，那么：=。〔6〕计算：〔7〕：，求代数式的值。例6.〔提高题〕观察以下等式：答复以下问题：①②③，……〔1〕根据上面三个等式的信息，请猜测的结果；〔2〕请按照上式反响的规律，试写出用n表示的等式，并加以验证。【常见题型训练】：一、易考题：－1的相反数的倒数是｜a+3|+EQ\R(,b+1)＝0，那么实数〔a+b〕的相反数数－3．14与－的大小关系是和数轴上的点成一一对应关系的是和数轴上表示数－3的点A距离等于2．5的B所表示的数是在实数中,－EQ\F(2,5),0,EQ\R(,3),－3．14,EQ\R(,4)无理数有〔〕〔A〕1个〔B〕2个〔C〕3个〔D〕4个7．一个数的绝对值等于这个数的相反数，这样的数是〔〕〔A〕非负数〔B〕非正数〔C〕负数〔D〕正数8．假设x＜－3，那么｜x＋3｜等于〔〕〔A〕x＋3〔B〕－x－3〔C〕－x＋3〔D〕x－39．以下说法正确是〔〕有理数都是实数〔B〕实数都是有理数带根号的数都是无理数〔D〕无理数都是开方开不尽的数10．实数在数轴上的对应点的位置如图，比拟以下每组数的大小：c-b和d-abc和ad二、考点训练：*1．判断题：〔1〕如果a为实数，那么－a一定是负数；〔〕〔2〕对于任何实数a与b,|a－b|=|b－a|恒成立；〔〕〔3〕两个无理数之和一定是无理数；〔〕〔4〕两个无理数之积不一定是无理数；〔〕〔5〕任何有理数都有倒数；〔〕〔6〕最小的负数是－1；〔〕〔7〕a的相反数的绝对值是它本身；〔〕〔8〕假设|a|=2,|b|=3且ab>0，那么a－b=－1；〔〕2．把以下各数分别填入相应的集合里－|－3|，21．3，－1．234，－EQ\F(22,7),0，－EQ\R(,9),－EQ\R(3,\f(－1,8)),－EQ\F(Л,2),EQ\R(,8),(EQ\R(,2)－EQ\R(,3))0，3－2，1.2121121112．．．．．．中无理数集合｛｝负分数集合｛｝整数集合｛｝非负数集合｛｝*3．1<x<2，那么|x－3|+EQ\R(,(1-x)2)等于〔〕〔A〕－2x〔B〕2〔C〕2x〔D〕－24．以下各数中，哪些互为相反数？哪些互为倒数？哪些互为负倒数？－3,EQ\R(,2)－1，3，－0．3，3－1，1+EQ\R(,2)，3EQ\F(1,3)互为相反数：；互为倒数：互为负倒数：*5．ｘ、ｙ是实数，且〔X－EQ\R(,2)〕2和｜ｙ＋2｜互为相反数，求ｘ，y的值6.假设ａ,b互为相反数，c,d互为倒数，m的绝对值是2，那么EQ\F(|a+b|,2m2+1)+4m-3cd=。*7．EQ\F(〔ａ－3ｂ〕2＋｜ａ2－4｜,\R(,a+2))＝0，那么ａ＋ｂ=。三、解题指导：1．以下语句正确的选项是〔〕〔A〕无尽小数都是无理数〔B〕无理数都是无尽小数〔C〕带拫号的数都是无理数〔D〕不带拫号的数一定不是无理数。2．和数轴上的点一一对应的数是〔〕〔A〕整数〔B〕有理数〔C〕无理数〔D〕实数3．零是〔〕最小的有理数〔B〕绝对值最小的实数〔C〕最小的自然数〔D〕最小的整数4.如果a是实数，以下四种说法：〔1〕ａ2和｜ａ｜都是正数；〔2〕｜ａ｜＝－ａ，那么ａ一定是负数，〔3〕ａ的倒数是EQ\F(1,a)；〔4〕ａ和－ａ的两个分别在原点的两侧，几个是正确的〔〕〔A〕0〔B〕1〔C〕2〔D〕3*5．比拟以下各组数的大小：〔1〕EQ\F(3,4)EQ\F(4,5)(2)EQ\F(3,2)EQ\R(,3)EQ\R(,12)(3)a<b<0时,EQ\F(1,a)EQ\F(1,b)6．假设a,b满足EQ\F(|4-a2|+\r(,a+b),a+2)=0,那么EQ\F(2a+3b,a)的值是*7．实数a,b,c在数轴上的对应点如图，其中O是原点，且|a|=|c|判定a+b,a+c,c-b的符号化简|a|-|a+b|+|a+c|+|c-b|*8．数轴上点A表示数－1，假设AB＝3，那么点B所表示的数为9．x<0,y>0，且y<|x|，用"<"连结x，－x，－|y|，y。10．最大负整数、最小的正整数、最小的自然数、绝对值最小的实数各是什么？11．〔2023广东茂名，9，3分〕对于实数、，给出以下三个判断：①假设，那么．②假设，那么．③假设，那么．其中正确的判断的个数是〔〕A．3B．2C．1D．012．〔2023江苏省淮安市，16，3分〕假设的值在两个整数a与a+1之间，那么a=．*13.数轴上作出表示EQ\R(,2)，EQ\R(,3)，－EQ\R(,5)的点。四．独立训练：1．0的相反数是，3－л的相反数是，EQ\R(3,－8)的相反数是；－л的绝对值是，0的绝对值是，EQ\R(,2)－EQ\R(,3)的倒数是2．数轴上表示－3．2的点它离开原点的距离是。A表示的数是－EQ\F(1,2)，且AB＝EQ\F(1,3)，那么点B表示的数是。3－EQ\R(3,3),л,(1－EQ\R(,2))º,－EQ\F(22,7),0．1313…,2cos60º,－3－1,1．101001000…(两1之间依次多一个0),中无理数有，整数有，负数有。4.假设a的相反数是27，那么｜a|＝；5．假设|a|＝EQ\R(,2)，那么a=5．假设实数x，y满足等式〔x＋3〕2＋｜4－y｜＝0，那么x＋y的值是6．实数可分为〔〕〔A〕正数和零〔B〕有理数和无理数〔C〕负数和零〔D〕正数和负数*7．假设2a与1－a互为相反数，那么a等于〔〕〔A〕1〔B〕－1〔C〕EQ\F(1,2)〔D〕EQ\F(1,3)8．当a为实数时，EQ\R(,a2)=－a在数轴上对应的点在〔〕(A)原点右侧〔B〕原点左侧〔C〕原点或原点的右侧〔D〕原点或原点左侧*9．代数式EQ\F(ａ,｜ａ｜)＋EQ\F(ｂ,｜ｂ｜)＋EQ