高三数学《随机事件的概率》

第四节随机事件的概率

1.了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义，了解频率与概率的区别．2．了解两个互斥事件的概率加法公式．

1．事件的分类(1)一般地，我们把在条件S下，

的事件，叫做相对于条件S的必然事件，简称

(2)一般地，我们把在条件S下，

的事件，叫做相对于条件S的不可能事件，简称

一定会发生必然事件．一定不会发生不可能事件．(3) 统称为相对于条件S确实定事件，简称 (4) 的事件，叫做相对于条件S的随机事件，简称 (5) 和 统称为事件，一般用大写字母A，B，C，…表示．必然事件与不可能事件确定事件．在条件S下可能发生也可能不发生随机事件．确定事件随机事件2．概率对于给定的随机事件A，如果随着试验次数的增加，事件A发生的频率fn(A)稳定在 上，把这个 记作P(A)，称为事件A的概率，简称A的概率．3．事件的关系与运算(1)对于事件A与事件B，如果事件A发生那么事件B ，这时称事件B包含事件A(或称 )，记作 (或 )．某个常数常数一定发生事件A包含于事件BB⊇AA⊆B(2)假设 ，且 ，那么称事件A与事件B相等，记作(3)假设某事件发生当且仅当事件A发生或事件B发生，那么称此事件为事件A与B的并事件(或 )，记作A∪B(或 )．(4)假设某事件发生当且仅当A发生且事件B发生，那么称此事件为事件A与事件B的交事件(或 )，记作 (或 )．(5)假设A∩B为不可能事件(A∩B＝Ø)，那么称事件A与事件B ，其含义是：事件A与事件B在任何一次试验中不会同时发生．B⊇AA⊇BA＝B和事件A＋B积事件A∩BAB互斥(6)假设A∩B为 ，A∪B为 ，那么称事件A与事件B互为对立事件，其含义是：事件A与事件B在任何一次试验中有且仅有一个发生．4．概率的几个性质(1)概率的取值范围是： .(2)必然事件的概率为 .(3)不可能事件的概率为 .不可能事件必然事件0≤P(A)≤110(4)互斥事件概率的加法公式如果事件A与事件B互斥，那么P(A∪B)＝ 特别的，假设事件B与事件A互为对立事件，那么P(A)＝ P(A)＋P(B)．1－P(B)．解析：该题考查频率和概率的定义及频率与概率的关系．答案：A2．某运发动每次投篮命中的概率都为40%，现采用随机模拟的方法估计该运发动三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1,2,3,4表示命中，5,6,7,8,9,0表示不命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果．经随机模拟产生了如下20组随机数：907966191925271932812458569683431257393027556488730113537989据此估计，该运发动三次投篮恰有两次命中的概率为()A．0.35B．0.25C．0.20D．0.15答案：B3．某台纺纱机在1小时内发生0次、1次、2次断头的概率分别是0.8,0.12,0.05，那么这台纺纱机在1小时内断头不超过两次的概率和断头超过两次的概率分别为________，________.解析：P1＝0.8＋0.12＋0.05＝0.97.P2＝1－P1＝1－0.97＝0.03.该题考查互斥事件、对立事件的概率及相应事件概率的求法．答案：0.970.035．在平面直角坐标系中，从五个点A(0,0)，B(2,0)，C(1,1)，D(0,2)，E(2,2)中任取三个，这三点能构成三角形的概率是________．(结果用分式表示)热点之一事件与事件的关系判断一个事件是必然事件、不可能事件，还是随机事件的依据是在一定条件下，所要求的结果是否一定出现，不可能出现或可能出现也可能不出现．随机事件发生的概率等于事件发生所包含的结果数与该试验包含的所有结果数的比．[例1]

(1)在标准大气压下，把水加热到100℃，沸腾；(2)导体通电，发热；(3)同性电荷，互相吸引；(4)实心铁块丢入水中，铁块浮起；(5)买一张福利彩票，中奖；(6)掷一枚硬币，正面朝上．上述事件中是确定性事件的是________，是随机事件的是________．[思路探究]随机事件的判断方法是看这个事件是否一定发生或者一定不发生，如果不能肯定，那么就是随机事件．[课堂记录]根据物理知识(1)(2)必然事件，(3)(4)是不可能事件，故(1)(2)(3)(4)为确定性事件；买一张彩票可能中奖也可能不中奖，掷一枚硬币，可能正面朝上，也可能反面朝上，故(5)(6)是不确定性事件，是随机事件．即时训练某入伍新兵在打靶练习中，连续射击2次，那么事件“至少有1次中靶〞的互斥事件是()A．至多有1次中靶 B．2次都中靶C．2次都不中靶 D．只有1次中靶解析：事件“至少有1次中靶〞包括“中靶1次〞和“中靶2次〞两种情况，由互斥事件的定义，可知“2次都不中靶〞与之互斥．答案：C热点之二随机事件的频率与概率概率可看作频率在理论上的期望值，它从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小，它是频率的科学抽象，当试验次数越来越多时频率向概率靠近．只要次数足够多，所得频率就近似地当做随机事件的概率．[例2]某中学局部学生参加全国高中数学竞赛取得了优异成绩，指导老师统计了所有参赛同学的成绩(成绩都为整数，试题总分值120分)，并且绘制了“频数分布直方图〞如以下图，请答复：(1)该中学参加本次数学竞赛的学生有多少人？(2)如果90分以上(含90分)获奖，那么获奖的概率大约是多少？[课堂记录]由概率的定义，我们可以看出，概率是可以通过频率来“测量〞的，或者说频率是概率的一种近似．[思维拓展]此题利用直方图求出获奖频率，作为概率的近似值．通过大量的重复试验，用这个事件发生的频率近似地作为它的概率是求一个事件的概率的根本方法．注意频率是随机的、变化的，而概率是一个常数，频率在其附近摆动．即时训练某篮球运发动在最近几场大赛中罚球投篮的结果如下：(1)计算表中进球的频率；(2)这位运发动投篮一次，进球的概率是多少？[例3]一盒中装有大小和质地均相同的12个小球，其中5个红球，4个黑球，2个白球，1个绿球．从中随机取出1球，求(1)取出的小球是红球或黑球的概率；(2)取出的小球是红球或黑球或白球的概率．[课堂记录]记事件A＝{任取1球为红球}；B＝{任取1球为黑球}；C＝{任取1球为白球}；D＝{任取1球为绿球}，即时训练在大小相同的6个球中，2个是红球，4个是白球，假设从中任取3个，那么所选的3个球中至少有一个红球的概率是多少？解：从6个球中任取3个，可以按顺序来取，第一步有6种，第二步有5种，第三步有4种，共有6×5×4＝120种．但对(1,2,3)这3个球来说，(1,2,3)，(1,3,2)，(2,3,1)，(2,1,3)，(3,1,2)，(3,2,1)是同一种情况，所以从6个球中取3个球共有本节主要考查随机事件的概率和互斥事件的概率加法公式，以及对立事件，题型多以选择题、填空题为主，有时也有解答题．考查内容多与实际生活中的问题紧密结合，难度一般不大．[例4](2021·山东高考)一个袋中装有四个形状大小完全相同的球，球的编号分别为1,2,3,4.(1)从袋中随机取两个球，求取出的球的编号之和不大于4的概率；(2)先从袋中随机取一个球，该球的编号为m，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为n，求n<m＋2的概率．[解](1)从袋中随机取两个球，其一切可能的结果组成的根本领件有1和2,1和3,1和4,2和3,2和4,3和4，共6个．从袋中取出的球的编号之和不大于4的事件有1和2,1和3，共两个．1．(2021·广东高考)某电视台在一次对收看文艺节目和新闻节目观众的抽样调查中，随机抽取了100名电视观众，相关的数据如下表所示：文艺节目新闻节目总计20至40岁401858大于40岁152742总计5545100(1)由表中数据直观分析，收看新闻节目的观众是否与年龄有关？(2)用分层抽样方法在收看新闻节目的