平面向量运算数乘

第六章6.2.3向量的数乘运算本资料分享自高中数学同步资源大全QQ群483122854专注收集同步资源期待你的加入与分享联系QQ309000116加入百度网盘群2500G一线老师必备资料一键转存，自动更新，一劳永逸1.通过实例分析，掌握平面向量数乘运算及运算法则，理解其几何意义，理解两个平面向量共线的含义.2.了解平面向量线性运算的性质及其几何意义.课标要求素养要求通过向量数乘运算知识的形成过程，体会数学抽象在概念及性质的产生发展过程中的作用，进一步提升数学运算素养及数学抽象素养.课前预习课堂互动分层训练内容索引课前预习知识探究11.向量的数乘运算(1)定义：一般地，我们规定实数λ与向量a的积是一个______，这种运算叫做向量的数乘，记作λa，它的长度与方向规定如下：①____________.②当λ>0时，λa的方向与a的方向______；当λ<0时，λa的方向与a的方向______；当λ＝0时，λa＝____.向量|λa|＝|λ||a|相同相反0点睛(2)设λ，μ为实数，则有：①λ(μa)＝________；②(λ＋μ)a＝____________；③λ(a＋b)＝____________.特别地，有(－λ)a＝－(λa)＝λ(－a)，λ(a－b)＝λa－λb.λμaλa＋μaλa＋λb2.向量共线定理

向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使__________.b＝λa点睛规定0向量与任意向量共线.

3.向量的线性运算

向量的______________运算统称为向量的线性运算.对于任意向量a，b，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)＝____________________.加、减、数乘λμ1a±λμ2b1.思考辨析，判断正误×(1)若λa＝0，则a＝0(其中λ为实数).(

)(2)若b＝λa，则a与b共线(其中λ为实数).(

)(3)若向量b与a共线，则存在唯一的实数λ使b＝λa.(

)提示(1)若λa＝0，则a＝0或λ＝0.(3)当b＝0，a＝0时，实数λ不唯一.当a＝0，b≠0时，不存在实数λ.√×2.已知非零向量a，b满足a＝4b，则(

) A.|a|＝|b| B.4|a|＝|b| C.a与b的方向相同

D.a与b的方向相反

解析∵a＝4b，4>0，∴|a|＝4|b|. ∵4b与b的方向相同，∴a与b的方向相同.CCA，B，D∴A，B，D三点共线.课堂互动题型剖析2题型一向量的线性运算9a1.向量的线性运算类似于实数的运算，其化简的方法与代数式的化简类似，可以进行加、减、数乘等运算，也满足运算律，可以进行去括号、移项、合并同类项等变形手段.2.向量也可以通过列方程来解，把所求向量当作未知数，利用解代数方程的方法求解，同时在运算过程中要多注意观察，恰当运用运算律，简化运算.思维升华B0(2)由题设得2x－a－b＝x－a－b，则x＝0.题型二向量共线的判定及应用(2)解∵8a＋kb与ka＋2b共线，∴存在实数λ，使得8a＋kb＝λ(ka＋2b)，即(8－λk)a＋(k－2λ)b＝0.思维升华(2)解∵ka＋b与a＋kb共线，∴存在实数λ，使ka＋b＝λ(a＋kb)，即ka＋b＝λa＋λkb，∴(k－λ)a＝(λk－1)b.∵a，b是不共线的两个非零向量，∴k－λ＝λk－1＝0，∴k2－1＝0，∴k＝±1.题型三用已知向量表示其他向量1.用图形中的已知向量表示所求向量，应结合已知和所求，联想相关的法则和几何中的有关定理，将所求向量反复分解，直到可以用已知向量表示，其实质是向量的线性运算的应用.2.若直接表示向量较困难时，可考虑设出未知向量，表示已知向量，建立向量的等量关系，求解关于所求量的方程.思维升华课堂小结分层训练素养提升3

一、选择题1.下列说法中正确的是(

) A.λa与a的方向不是相同就是相反(λ为实数) B.若a，b共线，则b＝λa(λ为实数) C.若|b|＝2|a|，则b＝±2a D.若b＝±2a，则|b|＝2|a|

解析显然当b＝±2a时，必有|b|＝2|a|.D2.下列各式计算正确的有(

) ①(－7)6a＝－42a；②7(a＋b)－8b＝7a＋15b；③a－2b＋a＋2b＝2a；④4(2a＋b)＝8a＋4b. A.1个

B.2个

C.3个

D.4个

解析①③④正确，②错，7(a＋b)－8b＝7a＋7b－8b＝7a－b.CBCB2-2解析因为点P在直线AB上，三、解答题9.计算：解(1)原式＝18a－12b－18a＋9b＝－3b.(3)原式＝6a－6b＋6c－4a＋8b－4c＋4a－2c＝(6a－4a＋4a)＋(8b－6b)＋(6c－4c－2c)＝6a＋2b.解

法一如图所示，在▱ABCD中，设AC交BD于O点，则O平分AC和BD.∴N为O