2023年广东省汕尾市陆河外国语学校中考三模数学试卷（解析版）

2023年陆河外国语学校初中毕业生学业模拟考试数学科试题考试用时90分钟，满分为120分．一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请将所选选项的字母填涂在答题卡中对应题号的方格内）1.数，，0，中，最小的数是（）A.1 B. C.0 D.【答案】B【解析】【分析】根据实数比较大小的方法：正数大于0，0大于负数，正数大于负数，即可求解．【详解】解：∵∴最小的数是故选：B．【点睛】本题考查实数的比较大小，解题的关键是掌握实数比较大小的方法．2.某市开辟了“空中课堂”，开设了学科齐全的线上学习课程，深受广大师生欢迎，其中某节数学课的点击观看次数约899000次，则数据899000用科学记数法表示为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数．【详解】解：，故选C．【点睛】此题考查科学记数法，注意n的值的确定方法，当原数绝对值大于等于10时，n等于原数的整数数位个数减1，当原数绝对值小于1时，n等于原数的第一个不为0的数字前的0的个数的相反数．3.点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】A【解析】【分析】由题意可确定，再根据平面直角坐标系中各个象限的点的坐标的符号特点可知：点位于第一象限．【详解】∵，∴点位于第一象限．故选A．【点睛】本题考查平方的非负性，平面直角坐标系中各个象限的点的坐标的符号特点，掌握四个象限的符号特点分别是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限是解题关键．4.下列四个立体图形中，主视图为圆是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【详解】解：因为圆柱的主视图是矩形，圆锥的主视图是等腰三角形，球的主视图是圆，正方体的主视图是正方形，所以，主视图是圆的几何体是球．故选B．考点：简单几何体的三视图．5.关于x的方程有两个相等的实数根，则k的值为（）A.9 B.6 C. D.【答案】D【解析】【分析】利用一元二次方程的根的判别式即可得求解．【详解】解：关于x的方程有两个相等的实数根，解得：．故选D．【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式，解题的关键是掌握：对于一般形式，当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．6.一个不透明的盒子中装有2个黑球和4个白球，这些球除颜色外其他均相同，从中任意摸出3个球，下列事件为必然事件的是（）A.至少有1个白球 B.至少有2个白球C.至少有1个黑球 D.至少有2个黑球【答案】A【解析】【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可．【详解】解：一个不透明的袋子中只有2个黑球和4个白球，这些球除颜色外无其他差别，随机从袋子中一次摸出3个球，A、3个球中至少有1个白球，是必然事件，故本选项符合题意；B、3个球中至少有2个白球，是随机事件，故本选项不符合题意；C、3个球中至少有1个黑球，是随机事件，故本选项不符合题意；D、3个球中至少有2个黑球，是随机事件，故本选项不符合题意；故选：A．【点睛】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．7.如图，已知四边形是的内接四边形，点在的延长线上，若是等边三角形，则的度数为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据圆内接四边形的性质求得再利用等边三角形的性质及圆周角定理即可求解．【详解】解：∵四边形是的内接四边形，∴∵∴∵是等边三角形，∴∴故选C．【点睛】本题主要考查了圆内接四边形的性质、等边三角形的性质及圆周角定理，熟练掌握圆内接四边形的性质、等边三角形的性质是解题的关键．8.在平面直角坐标系中，函数与的图象交于点（，），则代数式的值是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据函数与的图象交于点（，），得出，，代入求解．【详解】解：函数与的图象交于点（，），∴，，∴，∴；故选：B【点睛】本题考查反比例函数、一次函数图象上点的坐标特征，图象上点的坐标适合解析式是解题的关键．9.如图，在矩形ABCD中，E是AD边的中点，BE⊥AC，垂足为点F，连接DF，下列结论：①△AEF∽△CAB；②CF=2AF；③tan∠CAD=．其中正确的结论有（）A.3个 B.2个 C.1个 D.0个【答案】B【解析】【分析】①正确．只要证明∠EAC=∠ACB，∠ABC=∠AFE=90°即可；②正确．由AD∥BC，推出△AEF∽△CBF，推出，由AE=AD=BC，推出=，即CF=2AF；④错误，设AE=a，AB=b，则AD=2a，由△BAE∽△ADC，有，即b=a，可得tan∠CAD==即可得．【详解】如图，过D作DM∥BE交AC于N，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∠ABC=90°，AD=BC，∵BE⊥AC于点F，∴∠EAC=∠ACB，∠ABC=∠AFE=90°，∴△AEF∽△CAB，故①正确；∵AD∥BC，∴△AEF∽△CBF，∴，∵AE=AD=BC，∴=，∴CF=2AF，故②正确；设AE=a，AB=b，则AD=2a，由△BAE∽△ADC，有，即b=a，∴tan∠CAD===，故③错误，所以正确的有2个，故选B．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质以及解直角三角形的综合应用，正确的作出辅助线构造平行四边形是解题的关键．解题时注意：相似三角形的对应边成比例．10.如图，抛物线对称轴为直线，与轴的一个交点坐标为，其图象如图所示，下列结论：①；②方程的两个根为和3；③；④当时，x的取值范围是；⑤当时，y随x的增大而增大．其中错误的有（）个A.4 B.3 C.2 D.1【答案】B【解析】【分析】利用抛物线与轴的交点个数可对①进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线与轴的一个交点坐标为，则可对②进行判断；由对称轴方程得到，然后根据时函数值为0可得到，则可对③进行判断；根据抛物线在轴上方所对应的自变量的范围可对④进行判断；根据二次函数的性质对⑤进行判断．【详解】解：抛物线与轴有2个交点，，，故①错误；抛物线的对称轴为直线，而点关于直线的对称点的坐标为，方程的两个根是，，故②正确；，即，而时，，即，，即，故③错误；抛物线与轴的两点坐标为，，当时，的取值范围是，故④错误；抛物线的对称轴为直线，当时，随增大而增大，当时，随增大而增大，故⑤正确；所以其中结论正确有①③④，共3个．故选：B．【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数，二次项系数决定抛物线的开口方向和大小：当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口；一次项系数和二次项系数共同决定对称轴的位置：当与同号时（即，对称轴在轴左；当与异号时（即，对称轴在轴右；常数项决定抛物线与轴交点位置：抛物线与轴交于；抛物线与轴交点个数由△决定：时，抛物线与轴有2个交点；时，抛物线与轴有1个交点；时，抛物线与轴没有交点．二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分，请将下列各题的正确答案填写在答题卡相应的位置上）11因式分解：_________．【答案】【解析】【分析】先提取公因式a，再利用平方差公式分解因式即可．【详解】解：，故答案为：．【点睛】本题主要考查了分解因式，熟知分解因式的方法是解题的关键．12.把二次函数的图象向右平移2个单位后，再向上平移3个单位，所得的函数解析式为________．【答案】【解析】【分析】根据函数的平移规律代入运算，即可得出平移后的函数解析式．【详解】解：由题意根据函数平移的规律左加右减，上加下减可得，，即，故答案为：．【点睛】本题主要考查二次函数的几何变换，主要是函数平移的规律左加右减，上加下减．13.如图，在中，，，，若为的中点，则的长为_________．【答案】5【解析】【分析】根据解直角三角形得出，再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答即可．【详解】∵在中，，，，∴，∵点为中点，∴．故答案为：5．【点睛】本题考查了直角三角形的性质，关键是利用解直角三角形得出．14.如图，在平行四边形中，，若，则的面积为______．【答案】16【解析】【分析】根据题意可得：，根据相似的性质可得：，且，即可求得的面积为16．【详解】∵在中，，∴，∴，∵，∴，∴，∴，且，∴，故答案为：16．【点睛】本题主要考查了利用相似比求面积，理解相似比的特征是解决本题的关键．15.如图，点G是内的一点，且，是等边三角形，若，则的最大值为______．【答案】【解析】【分析】如图，作的外接圆，连接，，，过点作于点．说明，，，四点共圆，求出，利用三角形三边关系可得结论．【详解】解：如图，作的外接圆，连接，，，过点作于点．∵是等边三角形，∴，，∵，∴点在的外接圆上，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴的最大值为．故答案为：．【点睛】本题考查等边三角形的性质，解直角三角形，圆的有关知识等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造辅助圆解决问题，属于中考常考题型．三、解答题（一）本大题共3小题，每小题8分，共24分）16.计算：．【答案】【解析】【分析】依次计算“0次方”、、负整数指数幂、化简等，再进行合并同类项即可．【详解】解：原式=．【点睛】本题综合考查了非零数的零次幂、特殊角的三角函数、负整数指数幂以及二次根式的化简等内容，解决本题的关键是牢记相关计算公式等，本题易错点为对的化简，该项出现的“-”较多，因此符号易出错，因此要注意．17.先化简，再求值：，其中．【答案】，．【解析】【分析】先将原式化简，再将代入求值即可．【详解】解：，当时，原式．【点睛】本题主要考查分式的化简求值，熟练掌握分式的化简方法求出正确的值是解题的关键．18.如图，已知四边形是矩形，点E是中点，连接．（1）作点关于直线的对称点（用尺规作图，不写作法和证明）；（2）在（1）所作的图形中，连接和．请判断四边形的形状，并说明理由．【答案】（1）作图见解析；（2）四边形是菱形，理由见解析．【解析】【分析】（1）先过点作于点，再在射线上取点，使得，则点即为所求作的点；（2）先证，得，再根据轴对称的性质即可得解．【小问1详解】解：如图，点即为所求作的点；【小问2详解】解：四边形是菱形，理由如下：如图，∵四边形是矩形，∴，，∵点是的中点，∴，∴，∴，∵点与点关于直线成轴对称，∴，，∴，∴四边形菱形．【点睛】本题主要考查了尺规作图之作垂线与作一条线段等于已知线段以及矩形的性质以及菱形的判定，熟练掌握作垂线的方法以及菱形的判定方法是解题的关键．四、解答题(二)（本大题共3小题，每小题9分，共27分）19.如图，大楼底右侧有一障碍物，在障碍物的旁边有一幢小楼DE，在小楼的顶端D处测得障碍物边缘点C的俯角为30°，测得大楼顶端A的仰角为45°（点B，C，E在同一水平直线上）．已知AB＝80m，DE＝10m，求障碍物B，C两点间的距离．（结果保留根号）【答案】（70﹣10）m．【解析】【分析】过点D作DF⊥AB于点F，过点C作CH⊥DF于点H．通过解得到DF的长度；通过解得到CE的长度，则【详解】如图，过点D作DF⊥AB于点F，过点C作CH⊥DF于点H．则DE=BF=CH=10m，在中，∵AF=80m−10m=70m，∴DF=AF=70m．在中，∵DE=10m，∴∴答：障碍物B，C两点间的距离为20.为落实“五育并举”校本课程方案，红兴中学组织本校师生参加红色研学实践活动，现租用甲、乙两种型号的客车共10辆（每种型号至少一辆）送492名学生和10名教师参加此次实践活动，甲、乙两种型号客车的载客量和租金如下表所示：甲型客车乙型客车载客量（人/辆）4055租金（元/辆）600700（1）求最多可以租用多少辆甲型大客车？（2）有哪几种租车方案？哪种租车方案最省钱？【答案】（1）最多可以租用3辆甲型客车（2）有三种方案：方案一：租用甲型客车1辆，乙型客车9辆；方案二：租用甲型客车2辆，乙型客车8辆；方案三：租用甲型客车3辆，乙型客车7辆；方案三最省钱，需要租金元.【解析】【分析】（1）设租用x辆甲型客车，则租用辆乙型客车，根据题意列出一元一次不等式解答即可；（2）由（1）题的结果可得租车方案，进而可得最省钱的方案.【小问1详解】解：设租用x辆甲型客车，则租用辆乙型客车，根据题意，得：，解得：，∵x为整数，∴x最大为3，即最多可以租用3辆甲型客车；答：最多可以租用3辆甲型客车【小问2详解】解：由（1）得：，∵x为整数，∴，∴共有3种租车方案，分别是：方案一：租用甲型客车1辆，乙型客车9辆；需要租金：（元）；方案二：租用甲型客车2辆，乙型客车8辆；需要租金：（元）；方案三：租用甲型客车3辆，乙型客车7辆；需要租金：（元）；∴租用甲型客车3辆，乙型客车7辆时最省钱，需要租金元．【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用，正确理解题意、找准不等关系是解题的关键．21.我市某中学举行“校园好声音”歌手大赛，初、高中根据初赛成绩各选出5名选手组成初中代表队和高中代表队参加学校决赛，两个队各选出的5名选手的决赛成绩（满分100）如图所示：根据图示信息，整理分析数据如表：平均数（分）中位数（分）众数（分）初中部a85c高中部85b100（1）求出表格中a、b、c．（2）小明同学已经算出高中代表队决赛成绩的方差是160，请你计算出初中代表队决赛成绩的方差，并判断哪一个代表队选手成绩较为稳定．【答案】（1）a=85，b=80，c=85；（2）初中代表队决赛成绩的方差为70，初中代表队选手成绩较为稳定【解析】【分析】（1）直接利用平均数、中位数、众数的定义分别求出a、b、c即可；（2）利用方差公式求出初中代表队决赛成绩的方差，然后根据方差的意义即可得出结论．【详解】解：（1）a=（75＋80＋85＋85＋100）÷5=85将高中部5名选手的决赛成绩从小到大排列为：70、75、80、100、100∴b=80初中部5名选手的决赛成绩中，85出现的次数多∴c=85（2）初中代表队决赛成绩的方差为，∵70＜160∴初中代表队选手成绩较为稳定．【点睛】此题主要考查了平均数公式、众数、中位数的定义和方差公式及意义，正确把握相关定义、公式及方差的意义是解题关键．五、解答题(三)（本大题共2小题，每小题12分，共24分）22.如图，是的直径，是的弦，，垂足是点，过点作直线分别与，的延长线交于点，，且．（1）求证：是的切线；（2）如果，，①求的长；②求的面积．【答案】（1）证明过程见详解（2）①；②

【解析】【分析】（1）连接OC、BC，根据垂径定理得到AB平分弦CD，AB平分，即有∠BAD=∠BAC=∠DCB，再根据∠ECD=2∠BAD，证得∠BCE=∠BCD，即有∠BCE=∠BAC，则有∠ECB=∠OCA，即可得∠ECB+∠OCB=90°，即有CO⊥FC，则问题得证；（2）①利用勾股定理求出OH、BC、AC，在Rt△ECH中，，在Rt△ECO中，，即可得到，则问题得解；②过F点作FP⊥AB，交AE的延长线于点P，先证△PAF∽△HAC，再证明△PEF∽△HEC，即可求出PF，则△PEF的面积可求．【小问1详解】连接OC、BC，如图，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，AO=OB，∵AB⊥CD，∴AB平分弦CD，AB平分，∴CH=HD，，∠CHA=90°=∠CHE，∴∠BAD=∠BAC=∠DCB，∵∠ECD=2∠BAD，∴∠ECD=2∠BAD=2∠BCD，∵∠ECD=∠ECB+∠BCD，∴∠BCE=∠BCD，∴∠BCE=∠BAC，∵OC=OA，∴∠BAC=∠OCA，∴∠ECB=∠OCA，∵∠ACB=90°=∠OCA+∠OCB，∴∠ECB+∠OCB=90°，∴CO⊥FC，∴CF是⊙O的切线；【小问2详解】①∵AB=10，CD=6，∴在（1）结论中有AO=OB=5，CH=HD=3，∴在Rt△OCH中，，同理利用勾股定理，可求得，，∴BH=OB-OH=5-4=1，HA=OA+OH=4+5=9，即HE=BH+BE，在Rt△ECH中，，∵CF是⊙O的切线，∴∠OCB=90°，∴在Rt△ECO中，，∴，解得：，∴，②过F点作FP⊥AB，交AE的延长线于点P，如图，∵