中考河南·专题：类比与探究题

专题类比与探究题类比与探究题的主要考查类型有：几何图形的类比拓展探究；几何图形变换的类比拓展探究等．考查的知识点有：三角形的性质、平行四边形的性质、相似、全等、折叠性质、图形变换和勾股定理等．基本解题思路：审清题干中各种信息，分析和观察图形，学会分解和组合图形，明确图形中的变化信息，类比模仿、从特殊到一般的方法求解证明问题.解决此类问题要注意灵活掌控、发散思维、以静制动，建立相应的数学模型．类比与探究题是河南省中考数学中的必考题，均在第22题以解答题形式呈现，分值为10分，设问数均3问．河南省中考对此问题的考查：2013年、2015年、2016年、2017年中考试题第22题均以解答题的形式考查了几何图形变化的类比拓展探究，2014年以解答题的形式考查了几何图形的类比拓展探究．类型一几何图形的类比拓展探究这类问题通常是先给一特殊图形，通过观察、归纳特殊图形对应的线段或角的性质，然后再在一般图形中判断结论是否成立，最后利用总结结论解决更一般图形中的相关问题．解决这类题目的关键是掌握从特殊到一般的研究方法，再类比模仿探究．例1(2014·河南)(1)问题发现如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE.填空：①∠AEB的度数为

；②线段AD，BE之间的数量关系为

．(2)拓展探究如图2，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，点A，D，E在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE.请判断∠AEB的度数及线段CM，AE，BE之间的数量关系，并说明理由．(3)解决问题如图3，在正方形ABCD中，CD＝.若点P满足PD＝1，且∠BPD＝90°，请直接写出点A到BP的距离．【分析】(1)由条件易证△ACD≌△BCE，利用全等三角形的性质可以求出∠AEB的度数；(2)仿照(1)中的解法可求出∠AEB的度数，利用全等三角形和等腰直角三角形的性质可求出线段CM，AE，BE之间的数量关系；(3)利用圆的有关性质及分类讨论思想求解．【自主解答】(1)①60°②AD＝BE(2)∠AEB＝90°，AE＝2CM＋BE.理由：∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB－∠DCB＝∠DCE－∠DCB，即∠ACD＝∠BCE，∴△ACD≌△BCE.∴AD＝BE，∠BEC＝∠ADC＝135°.∴∠AEB＝∠BEC－∠CED＝135°－45°＝90°.在等腰直角三角形DCE中，CM为斜边DE上的高，∴CM＝DM＝ME，∴DE＝2CM.∴AE＝DE＋AD＝2CM＋BE.(3)1．(2017·郑州一模)如图，长方形ABCD中，P是AD上一动点，连接BP，过点A作BP的垂线，垂足为F，交BD于点E，交CD于点G.(1)当AB＝AD，且P是AD的中点时，求证：AG＝BP；(2)在(1)的条件下，求的值；(3)类比探究：若AB＝3AD，AD＝2AP，则的值为

．(直接填答案)(1)证明：∵BP⊥AG，∴∠AFB＝90°，∴∠ABF＋∠BAF＝90°.∵∠BAF＋∠DAG＝90°，∴∠ABF＝∠DAG.∵∠BAP＝∠ADG＝90°，AB＝DA，∴△ABP≌△DAG.∴AG＝BP.(2)解：∵△ABP≌△DAG，∴AP＝DG.∵AP＝AD，∴DG＝AD＝AB.∵AB∥CD，∴△DGE∽△BAE.∴.(3)2．(2017·许昌一模)我们把两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”．例如图1，图2，图3中，AF，BE是△ABC的中线，AF⊥BE，垂足为P，像△ABC这样的三角形均为“中垂三角形”．设BC＝a，AC＝b，AB＝c.【特例探索】(1)如图1，当∠ABE＝45°，c＝2时，a＝

，b＝

；如图2，当∠ABE＝30°，c＝4时，a＝

，b＝

；【归纳证明】(2)请你观察(1)中的计算结果，猜想a2，b2，c2三者之间的关系，用等式表示出来，请利用图3证明你发现的关系式；【拓展应用】(3)如图，在▱ABCD中，点E，F，G分别是AD，BC，CD的中点，BE⊥EG，AD＝2，AB＝3，求AF的长．解：(1)(2)猜想：a2，b2，c2三者之间的关系是a2＋b2＝5c2.证明：如图，连接EF.∵AF，BE是△ABC的中线，∴EF是△ABC的中位线，∴EF∥AB，且∴设PF＝m，PE＝n，则PA＝2m，PB＝2n.在Rt△APB中，(2m)2＋(2n)2＝c2；①在Rt△APE中，(2m)2＋n2＝()2；②在Rt△BPF中，m2＋(2n)2＝()2.③由①得m2＋n2＝，由②＋③得5(m2＋n2)＝，∴a2＋b2＝5c2.(3)如图，设AF，BE交于点P，取AB的中点H，连接FH，AC.∵E，G分别是AD，CD的中点，F是BC的中点，∴EG∥AC∥FH.又∵BE⊥EG，∴FH⊥BE.∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，∴AE＝BF，AE∥BF，∴AP＝FP，∴△ABF是“中垂三角形”，∴AB2＋AF2＝5BF2，即32＋AF2＝5×()2，∴AF＝4.类型二几何图形变换的类比拓展探究这类问题通常是先给一特殊图形，通过观察、归纳特殊图形对应的线段或角的性质，然后通过图形变换改变图形位置，再判断结论是否成立，最后利用总结结论解决更一般图形变换后的相关问题．解决这类题目的关键是掌握从特殊到一般的研究方法，再类比模仿探究．例2(2013·河南)如图1，将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合放置，其中∠C＝90°，∠B＝∠E＝30°.(1)操作发现如图2，固定△ABC，使△DEC绕点C旋转，当点D恰好落在AB边上时，填空：①线段DE与AC的位置关系是

；②设△BDC的面积为S1，△AEC的面积为S2，则S1与S2的数量关系是

．(2)猜想论证当△DEC绕点C旋转到如图3所示的位置时，小明猜想(1)中S1与S2的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了△BDC和△AEC中BC，CE边上的高，请你证明小明的猜想．(3)拓展探究已知∠ABC＝60°，点D是角平分线上一点，BD＝CD＝4，DE∥AB交BC于点E(如图4)．若在射线BA上存在点F，使S△DCF＝S△BDE，请直接写出相应的BF的长．【分析】(1)①根据旋转的性质、等边三角形的性质及平行线的判定进行解答；②根据直角三角形的性质、等边三角形的性质及三角形的面积公式进行解答；(2)首先证明△ACN和△DCM全等，然后类比(1)的解答过程进行证明；(3)类比(2)中的结论求解，注意分类讨论．【自主解答】(1)①DE∥AC②S1＝S2(2)∵△DEC是由△ABC绕点C旋转得到，∴BC＝CE，AC＝CD.∵∠ACN＋∠BCN＝90°，∠DCM＋∠BCN＝180°－90°＝90°，∴∠ACN＝∠DCM.在△ACN和△DCM中，∴△ACN≌△DCM，∴AN＝DM，∴△BDC的面积和△AEC的面积相等，即S1＝S2.3．(2017·濮阳一模)(1)【问题发现】如图1，在Rt△ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝90°，点D为BC的中点，以CD为一边作正方形CDEF，点E恰好与点A重合，则线段BE与AF的数量关系为

；(2)【拓展研究】在(1)的条件下，如果正方形CDEF绕点C旋转，连接BE，CE，AF，线段BE与AF的数量关系有无变化？请仅就图2的情形给出证明；(3)【问题发现】当正方形CDEF旋转到B，E，F三点共线时候，直接写出线段AF的长．解：(1)BE＝AF(2)无变化．证明如下：在Rt△ABC中，∵AB＝AC＝2，∴∠ABC＝∠ACB＝45°，∴sin∠ABC＝.在