实数全章导学案学生版

第十三章实数13.1平方根（1）【学习内容】课本P68-72【学习目标】了解数的算术平方根的定义，会用根号表示一个数的算术平方根，并理解算术平方根的双重非负性能利用算术平方根的定义求一个非负数的算术平方根【学习重点】了解算术平方根的概念、性质、会用根号表示一个正数的算术平方根【学习难点】理解算术平方根的双重非负性［探究研讨］【活动1】学校要举行金秋美术作品比赛，小欧很高兴，他想裁出一块面积为25dm2的正方形画布，画上自己的得意之作参加比赛，这块正方形画布的边长应取多少dm?正方形的面积19163635边长这个问题实际上是已知一个正数的平方，求这个正数的问题（问题导入）自学教材，回答问题：一般地，如果一个—数x的平方等于a，即x2=a，那么这个叫做a的.a的算术平方根记为，•云，读作“根号a”，a叫做被开方数.规定：的算术平方根是0.记作7。=由以上定义可知如果x2=a，那么x就叫a的算术平方根吗？判断下列语句是否正确？①5是25的算术平方根（） ②-6是36的算术平方根（ ）③0.01是0.1的算术平方根（ ）④-5是-25的算术平方根（ ）3.3的算术平方根可表示为，4的算术平方根可表示为，你还能表示出那些数的算术平方根？写在下面，和同座交流一下 4.试一试：你能根据等式：122=144说出144的算术平方根是多少吗？并用等式表示出来.【活动2】例：求下列各数的算术平方根：（1）100；（2）49；（3）0.0001:⑷0；64［跟踪训练］1、1.非负数a的算术平方根表示为—,225的算术平方根是,-0.64的算术平方根,0的算术平方根是.1彳的算术平方根是（11A^— B.二16 8若x是49的算术平方根A.7B.—71C.2则x=（C.49D.D.—494.小明房间的面积为10.8米2房间地面恰好由120块相同的正方形地砖铺成，每块地砖的边长是 .［变式训练］想一想：下列式子表示什么意思？你能求出它们的值吗？(1)(0.16 (1)(0.16 ⑵［跟踪训练］2^16的算术平方根是,若\日二4=7，则x的算术平方根是（ ）A.49B.53 C.7D<53.【活动3】思考：一4有算术算术平方根吗？为什么？总结：1.正数有 的算术平方根0的算术平方根 负数 2.对于Ja:a 0 -一 卜具有双重非负性Ja0,［跟踪训练］下列哪些数有算术平方根?10.03,-6,n,0, （-3）2,（-1）3下列各式中无意义的是（）A.-目B.百C.Q D.-47力下列运算正确的是（ ）A.|一3|=3 B.|一3|=-3C.\；'9=±\：'3 D.\；'9=—3若下列各式有意义，在后面的横线上写出x的取值范围：（1）5⑵*._若a一2+db-3=0，贝ija=,b=,a2—b=.［提升能力］一个自然数的算术平方根为a，那么与这个自然数相邻的下一个自然数的算术平方根是一个正方形的面积扩大为原来的4倍，它的边长变为原来的—倍，面积扩大为原来的9倍，它的边长变为原来的—倍，面积扩大为原来的n倍，它的边长变为原来的—倍.如图： 1I 1 0ab那么，v；a-b有意义吗？要使代数式美一2有意义，则x的取值范围是（）A.x。2B.x>2C.x>2D.x<2若x—1+（"3）22+"z=0，求乙北乙的值。［反思归纳］算术平方根的定义、表示方法和性质求一个非负数的算术平方根v'a的双重非负性

13.1平方根（2）【学习内容】课本P72-74【学习目标】理解有些非负数的算术平方根不是一个有理数能用逼近法估算十君（a不是完全平方数）的算术平方根的大小，增强数感【学习重点】能用逼近法估算《万（a不是完全平方数）的算术平方根的大小【学习难点】通过估算能比较类似、•方（a不是完全平方数）的数的大小［知识回顾］1、算术平方根的意义及表示方法。2、说出下列各数的算术平方根。100 0.0049 36 42 v-'2525［探究研讨］某同学用一张正方形纸片折小船，但他手头上没有现成的正方形纸片，于是他撕下一张作业本上的纸，按照如图，沿AE对折使点B落在点F的位置上，再把多余部分FECD剪下，如果他事先量得矩形ABCD的面积为90cm2，又测量剪下的多余的矩形纸片的面积为40cm2.请根据上述条件算出剪出的正方形纸片的边长是多少厘米B E C【活动1】怎样用两个面积为1的正方形拼成一个面积为2的大正方形动手画一画，若确实不会，则学生间进行交流。问题1：画出拼成的大正方形的草图。问题2：你能求出大正方形的边长吗？（动动脑）

讨论：2有多大?思考：你对正数a的算术平方根4折的结果有怎样的认识呢？［巩固练习］1.你能快速的说出下列各数的算术平方根吗？⑴121 ⑵土⑶7 ⑷881你能求出7的算术平方根的值吗？它是一个 的数，近似值为（精确到0.1）2.估算v'3 v'5 <10技37的大小（全部精确到0.1），你还能估算出哪些数的大小？根据你估算的结果，用“〉”把这些数字连接起来（也较大/较小）总结：由上可知（也较大/较小）TOC\o"1-5"\h\z= .= :了比较大小：⑴《。—⑶ ⑵臼—\侦⑶点凄 ⑷_（6 、而5 6【活动2】例3小丽想用一块面积为400cm2的正方形纸片，沿着边的方向剪出一块面积为300cm2的长方形纸片，她可以怎样剪？若用上述正方形纸片剪出面积为300cm2的长方形纸片，且其长宽之比为3:2她又该怎样剪?只要利用面积大的纸片一定能剪出面积小的纸片吗？［提升能力］<31 1比较%—与的大小若a是。30的整数部分，b是、'3。的小数部分，试确定a、b的值。某人开辟了一块长方形的荒地，新建一个以环保为主题的公园.已知这块荒地的长是宽的2.5倍，它的面积为60000米2.（1） 试估算这块荒地的宽约为多少米？（误差小于1米）（2） 若在公园中建一个圆环喷水池，其面积为80米2,该水池的半径是多少？（精确到0.01）［反思归纳］当a不是一个完全平方数时，能用逼近法求,打的近似值通过求近似值比较大小。规律：被开方数越大，算术平方根越大体会数学来自生活，又用之生活的思想13.1平方根（3）【学习内容】教材P72-74【学习目标】理解平方根的概念，了解平方与开平方的关系。学会平方根的表示法和求非负数的平方根。运用平方根的知识解决实际问题体会从一般到特殊的数学思想方法【学习重点】平方根的概念和表示方法【学习难点】求一个非负数的平方根【学习过程】［知识回顾］...（ ）2=81 .•.81的算术平方根（对算术平方根概念的回忆）求下列各数的算术平方根，、4 ，、 ，、 ，、，、⑴& ⑵0.25 ⑶225 ⑷（-5）2（为例4做准备；体会不同形式的数字的算术平方根的求法；回忆算术平方根的性质）求下列各式的值（1）*'009 ⑵（⑶-•:宓（为例5做准备）［探究研讨］【问题1】如果一个数的平方等于9,这个数是多少？（引导学生和上节课的问题作对比，看两者之间有什么区别和联系）填表X21916X总结平方根的概念： 例4：根据平方根的概念求下列各数的平方根（1）100 （⑵-9 （⑶0.25你还能举出其它的例子吗？【问题2】：求一个数的平方根的运算，叫做开平方。开平方运算和平方运算有什么关系？，可以用什么方法求一个数的平方根？（认识开平方运算，理解开平方运算和平方运算之间的互逆关系）【问题3】通过对例4的解答，你认为正数的平方根有什么特点？0的平方根呢？负数呢？总结平方根的性质：正数有个平方根，它们0的平方根是—负数 【问题4】用什么方法来表示正数的两个平方根呢？阅读课本P74“归纳”下面的一段话，回答下列问题：在平方根的表示方法中，根号前面为什么会有两个性质符号？①被开方数a为什么要大于或等于0②在数字下面的横线上，表示该数的平方根0004［巩固练习］⑴10的平方根可表示为；算术平方根为；负的平方根可表示为⑵(-4)2的平方根可表示为；算术平方根可表示为；负的平方根克表示为 例5：说出下列各式表示的意义，并求值⑴、../144 ⑵-\,'0?81 ⑶土寸122/196［拓展延伸］1、 课本P751-3题2、 判断下列说法是否正确TOC\o"1-5"\h\z(1)5是25的算术平方根 ()25_人十一⑵2是我的一个平方根()\o"CurrentDocument"36(—4)2的平方根是—4 ()⑷0的平方根与算术平方根都是0 ()2、(1)J1212、(1)J121=,⑵一J1.69=3、若写‘X=7，则x=,x的平方根是［能力提升］x为何值时，下列各式有意义？(D%衣(2)气一x (3)*x+1(4)、1一x+*X下列各数有平方根吗？如果有，求出它的平方根，如果没有，说明理由.⑴-64 (2)0 ⑶144 ⑷H⑸(-、,而)2 (6)\日81如果一个正数的两个平方根为a+1和2a—7，请你求出这个正数

解方程 3x2-27=05.讨论：（1）（t'0.01）2=，（眼5）2=（2）v'162=,、.：（-16）2=，、:（―5）2=通过计算你有什么发现？［反思归纳］本节课学习内容⑴平方根的概念（注意和算术平方根概念的区别和联系）⑵认识开平方运算（清楚和平方运算互为逆运算）⑶平方根的性质（正数的两个平方根互为相反数：正的平方根即为算术平方根；如果给出其中的一个平方根，另一个平方根即可知）⑷平方根的表示方法：±而（aN0）（不能丢符号）13.2立方根【学习内容】教材P77-79【学习目标】1.了解立方根的概念，能用根号表示一个数的立方根；了解开立方与立方互为逆运算，会用立方运算求某些数的立方根；理解两个互为相反数的立方根的关系2体会一个数的立方根的惟一性；分清一个数的立方根与平方根的区别3.渗透特殊----一般----特殊的思想方法。【学习重点】立方根的概念和求法。【学习难点】立方根与平方根的区别。【学习过程】［知识回顾］说出下列各式表示的意义，并求值8116土:100

8116土:100［探究研讨］【活动1】要制作一种容积为27m3的正方体形状的包装箱，这种包装箱的边长应该是多少？由以上问题，有x3=27，即x3=a的形式，和上节课学习的平方根(x2=a)有什么区别？【活动2】阅读课本P77-78“探究”以上的内容，理解以下知识立方根(三次方根)的概念什么是开立方运算？和立方运算有什么关系？立方根有什么性质？与平方根有什么不同？数的立方根用什么符号表示？与平方根有什么区别？［随学随练］1.8有个立方根，是 ，可以表示为，即：:(考察数的立方根的性质和表示方法)如果x3=8，那么x= 立方根等于本身的数为-3是 的平方根，的立方根表示，并求出下列数的立方根⑷-0.008(B)-8的立方根是-2(D)125的立方根为±5(D)-|TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"⑷-0.008(B)-8的立方根是-2(D)125的立方根为±5(D)-|下列说法中不正确的是( )(A)8史立方根是2(C) •••拓4的立方根为23巨7的绝对值是( )(A) 3 (B)-3 (C)3【活动3】例：说出下列各式表示的意义并求值■'^7⑷一厂64［巩固练习］1.求下列各式的值⑴一\」-才 ⑵3|729+3云【活动4】探究因为3—8= T京= ,所以3-8_38因为3—27= ,—327= ，所以3—27—327你能把发现的结论用含字母a的式子表示出来吗？［巩固练习］同学甲在计算上面例题的第2小题3''—125时，用了这种方法：3'T25=_37王=一5,你认为这种方法 (正确/不正确)，不正确的话怎样改正？\jn同学乙在计算上面例题的第4小题时，用了这样的方法：364=-3：24=—4你认为这种方法 (正确/不正确)，不正确的话怎样改正？同学丙认为把立方根的性质3•二a=—如，扩展到平方根中也会有类似的性质，即\Ta=—'a，你认为正确吗？为什么？计算30.027—3-吉+3-0.001［提升能力］当X时，有意义；当X时，3'4x有意义下列等式成立的是( )(A)31=1 (B)3«225=15 (C)3—125=—5 (D)3—9=—3-(64的立方根是，¥(-8»的平方根是—，3匚位的立方根下列计算或命题中正确的有()①±4都是64的立方根 ②3x3=x ③应的立方根是3 ④3(±8)2=±4(A)1个 (B)2个(C)3个(D)4个

5.求下列各式中的5.求下列各式中的x⑴8x3+125=0(2)(x+3)3+27=06.已知16x3=9,y3=8，求x+y的值7.已知一个数的两个平方根分别是3a+1和a+11,求这个数的立方根计算下列两组式子，看看你会有什么发现？3= (1)(32)3= (9/0.1)3=3= ⑵3(^2)3= 3^01)3=你的发现是： 回忆：平方根有类似的性质吗？［反思归纳］立方根的概念、表示方法和性质体会立方根从概念、表示方法和性质等方面的区别两个规律性的计算3二方=一戒；(3a)3=3岳体会从特殊---一般----特殊的数学学习方法13.3实数（1）【学习内容】课本P82-84【学习目标】了解无理数和实数的概念会对实数按照一定的标准进行分类；知道实数和数轴上的点的关系.能估算无理数的大小了解实数范围内相反数和绝对值的意义【学习重点】正确理解实数的概念【学习难点】理解实数的概念；体会数轴上的点与实数是一一对应的.【学习过程】【知识回顾】1、什么是有理数?如何分类？2豆是这样的数么？【合作交流，解读探究】【活动1】探究：使用计算器计算，把下列有理数写成小数的形式，你有什么发现？_3 47 9 11 53， —5，T，11，V，9我们发现，上面的有理数都可以写成有限小数或者无限循环小数的形式，即3=3.0，-3=—0.6，47=5.875，—=0.8i，11=1.2，5=0.55 8 11 9 9归纳：任何一个有理数都可以写成有限小数或无限循环小数的形式。反过来，任何有限小数或无限循环小数也都是有理数.（板书）讨论:'豆是不是有理数呢？为什么？归纳：、'''2不是整数，不是有限小数，也不是无限循环小数，所以、,2不是有理数.<2是无限不循环小数（板书：无限不循环小数）.定义：无限不循环小数又叫无理数，兀=3.14159265…也是无理数结论：有理数和无理数统称为实数学生举例：有理数无理数整数〕 整理：实数有理数5，数r有限小数或无限循环小数分数J整理：实数有理数5无理数-无限不循环小数正实数正有理数正无理数负实数正实数正有理数正无理数负实数负有理数负无理数试探练习，回授调节:n 二.，二 6 一.一填空：在-19，3.878787…，§，\：'6，气：16，1.414，寸27，--，一寸4这些数中，TOC\o"1-5"\h\z2 7有理数是；无理数是;判断对错：对的画“J”，错的画“X”.（1） 无理数都是无限小数. （ ）（2） 无限小数都是无理数. （ ）（3） ＜曲是无理数. （ ）（4） v'15是无理数. （ ）（5） 带根号的数都是无理数. （ ）（6）有理数都是实数. （ ）【活动2】我们知道，每个有理数都可以用数轴上的点来表示。无理数是否也可以用数轴上的点来表示呢？探究1.如图所示，直径为1个单位长度的圆从原点沿数轴向右滚动一周，圆上的一点由原点到达点O'，点O'的坐标是多少？2.O O’2.乂如，以单位长度为边氏画一个正方形（图10.3-2）.以原点为圆心，正方形对角线为半径画孤,*岫，*"号项14.：/丁札，5* （为什么？）总结：①事实上，每一个无理数都可以用数轴上的表示出来，这就是说，数轴上的点有些表示，有些表示当从有理数扩充到实数以后，实数与数轴上的点就是 的，即每一个实数都可以用数轴上的来表示；反过来，数轴上的都是表示一个实数②与有理数一样，对于数轴上的任意两个点，右边的点所表示的实数总比左边的点表示的实数讨论：当数从有理数扩充到实数以后，有理数关于相反数和绝对值的意义同样适合于实数吗？J2的相反数是•I—穴的相反数是・。的相反数是:I再I=,I一江I=.]0I=•总结数a的相反数是 ，这里a表示任意。一个正实数的绝对值是 ；一个负实数的绝对值是它的；0的绝对值是 【学以致用】1、 一. 的相反数是，绝对值2、 绝对值等于打 的数是，-石 的平方是3、 比较大小.. ■... … - —4、 求绝对值|片卜|峥卜普已知实数a、 b、c在数轴上的位置如图所示：cao b

化简所-^+C—b―下列说法正确的有( )⑴不存在绝对值最小的无理数⑶不存在与本身的算术平方根相等的数⑸非负实数中最小的数是0A,2个B.3个 C.4个【能力提升】：⑵不存在绝对值最小的实数⑷比正实数小的数都是负实数D.5个有理数集合｛整数集合｛实数集合｛无理数集合(⑵不存在绝对值最小的实数⑷比正实数小的数都是负实数D.5个有理数集合｛整数集合｛实数集合｛无理数集合(分数集合｛2、下列各数中，是无理数的是()A.-1.732B.1.414C.、甘D.3.143、已知四个命题，正确的有((1)有理数与无理数之和是无理数⑵有理数与无理数之积是无理数(3)无理数与无理数之积是无理数⑷无理数与无理数之积是无理数(5)所有的有理数都可以在数轴上表示，反过来，数轴上所有的点都表示有理数。( )A.1个B.A.1个B.2个C.3个D.4个4、若实数a满足回=-1，aC.a>0D.a<0C.a>0D.a<0【总结反思】：无理数的特征：圆周率二及一些含有二的数开不尽方的数有一定的规律，但不循环的无限小数注意:带根号的数不一定是无理数13.3实数（2）【学习内容】课本P85【学习目标】了解实数的运算法则及运算律，会进行实数的运算。会用计算器进行实数的运算。进一步感受实数与数轴上的点一一对应的关系，体验数形结合的优越性。发展学生的类比与归纳能力。【学习重点】实数的有关性质及利用实数的性质解决相关问题【学习难点】能准确无误地进行实数运算【学习过程】【知识回顾】1.每一个无理数都可以用数轴上的 表示出来，这就是说，数轴上的点有些表示有理数，有些表示 .实数与数轴上的点就是的，即每一个实数都可以用上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都是表示一个 .2、侦2的相反数.—n