第07章-1-一阶电路的时域分析

第七章一阶电路和二阶电路的时域分析2.一阶电路的零输入响应、零状态响应和全响应重点1.动态电路方程的建立及初始条件确实定含有动态元件电容或电感的电路称为动态电路。1.动态电路7.1动态电路的方程及其初始条件例+-uSR1R2（t=0）i0ti过渡期为零电阻电路K未动作前，电路处于稳定状态。i=0,uC=0i=0,uC=USK+–uCUSRCi(t=0)K接通电源后很长时间，电容充电完毕，电路到达新的稳定状态。+–uCUSRCi(t→

)前一个稳定状态过渡状态新的稳定状态t1USuct0?i有一过渡期电容电路动态电路状态发生改变时需要经历一个变化过程才能达到新的稳定状态。这个变化过程称为电路的过渡过程。动态电路特点过渡过程产生的原因电路内部含有储能元件

L、C，电路在换路时能量发生变化，而能量的储存和释放都需要一定的时间来完成。即能量不会发生跃变。电路结构、状态发生变化换路支路接入或断开电路参数改变过渡过程：电路从一个稳态到另一个稳态的过程称为过渡过程。应用KVL和电容的VCR得：+–uCuS

RCi(t>0)2.动态电路的方程+–uLuSRLi(t>0)有源电阻电路一个动态元件一阶电路应用KVL和电感的VCR得：一阶电路一阶电路中只有一个动态元件,描述电路的方程是一阶线性微分方程。描述动态电路的电路方程是以时间为自变量的线性常微分方程。结论：二阶电路二阶电路中有二个动态元件,描述电路的方程是二阶线性微分方程。复频域分析法时域分析法〔2〕求解微分方程。经典法状态变量法数值法卷积积分拉普拉斯变换法状态变量法付氏变换本章采用动态电路的分析方法是：〔1〕根据KCL、KVL和VCR建立微分方程。(1)t=0＋与t=0－的概念认为换路在

t=0时刻进行0－

换路前最终时刻0＋

换路后最初时刻3.电路的初始条件初始条件〔初始值〕：电路中的电压或电流在t=0＋时刻的值。0－0+0tf(t)换路经历的时间为0-

到0+t=0+时刻当i为有限值时iuCC+-q

(0+)=q

(0－)uC

(0+)=uC

(0－)换路瞬间，假设电容电流保持为有限值，那么电容电压〔电荷〕换路前后保持不变。(2)电容的初始条件0q

=CuC电荷守恒结论当u为有限值时

L(0＋)=

L

(0－)iL(0＋)=iL(0－)iuL+-L(3)电感的初始条件t=0+时刻0磁链守恒换路瞬间，假设电感电压保持为有限值，那么电感电流〔磁链〕换路前后保持不变。结论

L

(0+)=

L

(0－)iL(0+)=iL(0－)q

(0+)=q

(0－)uC

(0+)=uC

(0－)〔4〕换路定那么〔1〕电容电流和电感电压为有限值是换路定律成立的条件。说明:换路瞬间，假设电感电压保持为有限值，那么电感电流〔磁链〕换路前后保持不变。换路瞬间，假设电容电流保持为有限值，那么电容电压〔电荷〕换路前后保持不变。〔2〕换路定律〔实质〕反映了能量不能跃变。〔3〕uC(0+)和iL(0+)称为独立初始条件，其它的称为非独立初始条件。5.电路初始条件确实定(2)由换路定那么uC

(0+)=uC

(0－)=8V+-10ViiC+8V-10k0+等效电路(1)由0－电路求uC(0－)+-10V+uC-10k40kuC(0－)=8V(3)由0+等效电路求iC(0+)iC(0－)=0iC(0+)例1求iC(0+)+-10ViiC+uC-k10k40k电容开路电容用电压源替代

iL(0+)=iL(0－)=2A例2t=0时闭合开关K,求uL(0+)iL+uL-L10VK1

4

+uL-10V1

4

0+等效电路2A〔2〕由换路定那么:电感用电流源替代10V1

4

电感短路(1)由0－电路求iL(0－)〔3〕由0+等效电路求uL(0+)求初始值的步骤:1.由换路前电路〔一般为稳定状态〕求uC(0－)和iL(0－)；2.由换路定那么求uC(0+)和iL(0+)。3.画0+等效电路。4.由0+电路求所需各变量的0+值。b.电容〔电感〕用电压源〔电流源〕替代。a.换路后的电路〔取0+时刻值，方向与原假定的电容电压、电感电流方向相同〕。iL(0+)=iL(0－)=ISuC(0+)=uC(0－)=RISuL(0+)=-RIS求iC(0+),uL(0+)例3K(t=0)+–uLiLC+–uCLRISiC解0+电路uL+–iCRISRIS+–0－电路RIS由0－电路得：由0＋电路得：例3iL+uL-LK2

+-48V3

2

C求K闭合瞬间各支路电流和电感电压解由0－电路得：12A24V+-48V3

2

+-iiC+-uL由0+电路得：iL2

+-48V3

2

+－uC例4求K闭合瞬间流过它的电流值。iL+200V-LK100+uC100

100

C－解〔1〕确定0－值〔2〕画出0＋等效电路1A+200V-100+100V100

100

－+uL－iC7.2一阶电路的零输入响应换路后外加鼓励为零，仅由动态元件初始储能所产生的电压和电流。1.

RC电路的零输入响应uC(0－)=U0特征根特征方程RCp+1=0则uR=Ri零输入响应iK(t=0)+–uRC+–uCR代入初始值uC

(0+)=uC(0－)=U0A=U0tU0uC0I0ti0令=RC,称

为一阶电路的时间常数，单位为秒。〔1〕电压、电流是随时间按同一指数规律衰减的函数；从以上各式可以得出：连续函数跃变〔2〕响应与初始状态成线性关系，其衰减快慢与RC有关；时间常数

的大小反映了电路过渡过程时间的长短

=RC

大→过渡过程时间长

小→过渡过程时间短电压初值一定R大〔C一定〕i=u/R放电电流小放电时间长U0tuc0

小

大C大〔R一定〕W=Cu2/2储能大物理含义工程上认为,经过3

－5

,过渡过程结束。

：电容电压衰减到原来电压36.8%所需的时间。＝t2－t1

t1时刻曲线的斜率等于I0tuC0

t1t2U00.368U00.135U00.05U00.007U0t0

2

3

5

U0

U0e

-1

U0e

-2

U0e

-3

U0e

-5

次切距的长度〔3〕能量关系电容不断释放能量被电阻吸收,直到全部消耗完毕.设uC(0+)=U0电容发出能量：电阻吸收〔消耗〕能量：uCR+－C例图示电路中的电容原本充有24V电压，求K闭合后，电容电压和各支路电流随时间变化的规律。解这是一个求一阶RC零输入响应问题，有：i3K3+uC2

6

5F－i2i1+uC4

5F－i1t>0等效电路分流得：2.

RL电路的零输入响应特征方程Lp+R=0特征根代入初始值i(0+)=I0A=i(0+)=I0iK(t=0)USL+–uLRR1t>0iL+–uLR-RI0uLttI0iL0从以上式子可以得出：连续函数跃变〔1〕电压、电流是随时间按同一指数规律衰减的函数；〔2〕响应与初始状态成线性关系，其衰减快慢与L/R有关；令

=L/R

,称为一阶RL电路时间常数L大W=Li2/2起始能量大R小

P=Ri2放电过程消耗能量小放电慢

大

大→过渡过程时间长

小→过渡过程时间短物理含义时间常数

的大小反映了电路过渡过程时间的长短

=L/R电流初值i(0)一定：〔3〕能量关系电感不断释放能量被电阻吸收,直到全部消耗完毕.设iL(0+)=I0电感发出能量：电阻吸收〔消耗〕能量：iL+–uLRiL

(0+)=iL(0－)=1AuV

(0+)=－10000V造成V损坏。例1t=0时,翻开开关K，求uv。现象：电压表坏了电压表量程：50V解iLLR10ViLK(t=0)+–uVL=4HR=10

VRV10k

10V例2t=0时,开关K由1→2，求电感电压和电流及开关两端电压u12。解iLK(t=0)+–24V6H3

4

4

6

+－uL2

12t>0iL+–uLR小结4.一阶电路的零输入响应和初始值成正比，称为零输入线性。一阶电路的零输入响应是由储能元件的初值引起的响应,都是由初始值衰减为零的指数衰减函数。2.衰减快慢取决于时间常数

RC电路

=RC,

RL电路

=L/RR为与动态元件相连的一端口电路的等效电阻。3.同一电路中所有响应具有相同的时间常数。iL(0+)=iL(0－)uC

(0+)=uC

(0－)RC电路RL电路动态元件初始能量为零，换路后由电路中外加鼓励的作用所产生的响应。列方程：iK(t=0)US+–uRC+–uCRuC(0－)=07.3一阶电路的零状态响应非齐次线性常微分方程解形式为：1.

RC电路的零状态响应零状态响应齐次方程通解非齐次方程特解与外加鼓励的变化规律有关，为电路的稳态分量变化规律由电路参数和结构决定，为电路的瞬态分量全解uC

(0+)=A+US=0A=－US由初始条件uC

(0+)=0确定积分常数A的通解通解（自由分量，瞬态分量）特解（强制分量，稳态分量）的特解-USuC‘uC“UStuC0〔1〕电压、电流是随时间按同一指数规律变化的函数；电容电压由两局部构成：从以上式子可以得出：连续函数稳态分量〔强制分量〕瞬态分量〔自由分量〕+〔2〕响应变化的快慢，由时间常数＝RC决定；大，充电慢，小充电就快。〔3〕响应与外加鼓励成线性关系；〔4〕能量关系电容储存：电源提供能量：电阻消耗RC+-US电源提供的能量一半消耗在电阻上，一半转换成电场能量储存在电容中。例t=0时,开关K闭合，uC〔0－〕=0，求〔1〕电容电压和电流，〔2〕uC＝80V时的充电时间t。解500

10

F+-100VK+－uCi〔1〕RC电路零状态响应〔2〕设经过t1秒，uC＝80V2.RL电路的零状态响应iLK(t=0)US+–uRL+–uLRiL(0－)=0，电路方程为：tuLUStiL00例t=0时,开关K翻开，求t>0后iL、uL的变化规律。解RL电路零状态响应iLK+–uL2HR80

10A200

300

iL+–uL2H10AReqt>07.4一阶电路的全响应电路的初始状态不为零，同时又有外加鼓励作用时电路中产生的响应。iK(t=0)US+–uRC+–uCR解答为uC(t)=uC'+uC"uC

(0－)=U0以RC电路为例，电路微分方程：

=RC1.全响应全响应稳态分量uC'=US瞬态分量uC

(0+)=A+US=U0

A=U0-U