八章立体几何初步直线与平面垂直二

数学第八章立体几何初步8．6.2直线与平面垂直(二)01预习案自主学习02探究案讲练互动03自测案当堂达标04应用案巩固提升学习指导核心素养1.从相关定义和基本事实出发，借助长方体，通过直观感知，了解空间中直线与平面的垂直关系．2．归纳出直线与平面垂直的性质定理．3．了解直线与平面、平面与平面间的距离．1.直观想象、逻辑推理：直线与平面垂直的性质定理的理解及应用．2．数学抽象、数学运算：直线与平面、平面与平面间的距离的理解及计算．1．直线与平面垂直的性质定理平行a∥b2.线面距与面面距(1)一条直线与一个平面平行时，这条直线上__________到这个平面的距离，叫做这条直线到这个平面的距离．(2)如果两个平面平行，那么其中一个平面内的__________到另一个平面的距离都______，我们把它叫做这两个平行平面间的距离．任意一点任意一点相等垂直于同一平面的两条直线一定共面吗？提示：共面．由线面垂直的性质定理可知这两条直线是平行的，能确定一个平面，两直线一定共面．1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)垂直于同一条直线的两个平面平行．(

)(2)若直线a∥平面α，直线b⊥平面α，则直线b⊥直线a.(

)(3)若α∥β，l为平面α内任意一条直线，则直线l到平面β的距离等于两个平面间的距离．(

)√√√2．若空间四边形ABCD的四边相等，则它的两对角线AC，BD的关系是(

)A．垂直且相交 B．相交但不一定垂直C．垂直但不相交 D．不垂直也不相交解析：取BD的中点O，连接AO，CO，则BD⊥AO，BD⊥CO，故BD⊥平面AOC，BD⊥AC.又BD，AC异面，故选C.√3．若直线AB∥平面α，且点A到平面α的距离为2，则点B到平面α的距离为________．答案：24.如图，已知AF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，且AF＝DE，AD＝6，则EF＝________．答案：6探究点1线面垂直的性质定理的应用

如图，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD是矩形，AB⊥平面PAD，AD＝AP，E是PD的中点，M，N分别在AB，PC上，且MN⊥AB，MN⊥PC.证明：AE∥MN.【证明】

因为AB⊥平面PAD，AE⊂平面PAD，所以AE⊥AB，又AB∥CD，所以AE⊥CD.因为AD＝AP，E是PD的中点，所以AE⊥PD.又CD∩PD＝D，CD，PD⊂平面PCD，所以AE⊥平面PCD.因为MN⊥AB，AB∥CD，所以MN⊥CD.又因为MN⊥PC，PC∩CD＝C，PC，CD⊂平面PCD，所以MN⊥平面PCD，所以AE∥MN.关于线面垂直性质定理的应用在证明与垂直相关的平行问题时，可以考虑线面垂直的性质定理，利用已知的垂直关系构造线面垂直，关键是确定与要证明的两条直线都垂直的平面．如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，M是AB上一点，N是A1C的中点，MN⊥平面A1DC，求证：MN∥AD1.证明：因为四边形ADD1A1为正方形，所以AD1⊥A1D.又因为CD⊥平面ADD1A1，AD1⊂平面ADD1A1，所以CD⊥AD1.因为A1D∩CD＝D，A1D，CD⊂平面A1DC，所以AD1⊥平面A1DC.又因为MN⊥平面A1DC，所以MN∥AD1.探究点2线面距离与面面距离[问题探究]空间中，是不是任意的直线与平面、平面与平面间都有距离？探究感悟：不是，只有当直线与平面平行、平面与平面平行时才涉及距离问题．则直线AC1与平面BED的距离为1.空间中距离的转化(1)利用线面、面面平行转化：利用线面距离、面面距离的定义，转化为直线或平面上的某一点到平面的距离．(2)利用中点转化：如果条件中具有中点条件，将一个点到平面的距离，借助中点(等分点)，转化为另一点到平面的距离．(3)通过换底转化：一是直接换底，以方便求几何体的高；二是将底面扩展(分割)，以方便求底面积和高．√探究点3直线与平面垂直关系的综合应用

如图所示，四边形ABCD为正方形，SA⊥平面ABCD，过A且垂直于SC的平面分别交SB，SC，SD于点E，F，G.求证：AE⊥SB.【证明】

因为SA⊥平面ABCD，所以SA⊥BC.因为四边形ABCD是正方形，所以AB⊥BC.因为SA∩AB＝A，所以BC⊥平面SAB.因为AE⊂平面SAB，所以BC⊥AE.因为SC⊥平面AGFE，所以SC⊥AE.又因为BC∩SC＝C，所以AE⊥平面SBC.而SB⊂平面SBC，所以AE⊥SB.(变条件)本例中“过A且垂直于SC的平面分别交SB，SC，SD于点E，F，G”改为“过A作AF⊥SC于点F，过点F作EF⊥SC交SB于点E”，结论不变，如何证明？证明：因为SA⊥平面ABCD，所以SA⊥BC.因为四边形ABCD是正方形，所以AB⊥BC.因为SA∩AB＝A，所以BC⊥平面SAB.因为AE⊂平面SAB，所以BC⊥AE.因为AF⊥SC，EF⊥SC，AF∩EF＝F，所以SC⊥平面AEF，所以SC⊥AE.又因为BC∩SC＝C，所以AE⊥平面SBC.而SB⊂平面SBC，所以AE⊥SB.综合应用线面垂直的判定、性质证明线线垂直时，一是根据已知的垂直关系，确定需要证明的直线和平面；二是思路调整，比如要证明直线a垂直于平面α内的直线b，往往需要证明直线b垂直于直线a所在的平面β.已知斜边为AB的直角三角形ABC，PA⊥平面ABC.AE⊥PB，AF⊥PC，E，F分别为垂足，如图．(1)求证：EF⊥PB；(2)若直线l⊥平面AEF，求证：PB∥l.证明：(1)因为PA⊥平面ABC，所以PA⊥BC.因为△ABC为直角三角形，所以BC⊥AC.因为PA∩AC＝A，所以BC⊥平面PAC.因为AF⊂平面PAC，所以BC⊥AF.又AF⊥PC，且PC∩BC＝C，所以AF⊥平面PBC.因为PB⊂平面PBC，所以AF⊥PB.又AE⊥PB，且AE∩AF＝A，所以PB⊥平面AEF.又EF⊂平面AEF，所以EF⊥PB.(2)由(1)知，PB⊥平面AEF，而l⊥平面AEF，所以PB∥l.1．已知平面α∥平面β，a是直线，则“a⊥α”是“a⊥β”的(

)A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件√2．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，直线l与B1B所在直线不重合，直线l⊥平面A1C1，则有(

)A．B1B⊥l B．B1B∥lC．B1B与l异面 D．B1B与l相交解析：因为B1B⊥平面A1C1，l⊥平面A1C1，所以l∥B1B.√3．在四棱台ABCD­A1B1C1D1中，若点A1到平面ABCD的距离为4，则平面ABCD到平面A1B1C1D1的距离为________．解析：平面ABCD∥平面A1B1C1D1且点A1到平面ABCD的距离为4.所以所求距离为4.答案：44．如图，在四棱锥P­ABCD中，PA⊥平面ABCD，且四边形ABCD是矩形，AE⊥PD于点E，l⊥平面PCD.求证：l∥AE.证明：因为PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，