数学建模第三章详解

3.1传染病模型描述传染病的传播过程.分析受感染人数的变化规律.预报传染病高峰到来的时刻.预防传染病蔓延的手段.不是从医学角度分析各种传染病的特殊机理,而是按照传播过程的一般规律建立数学模型.背景与问题传染病的极大危害(艾滋病、SARS、

)基本方法第一页第二页，共49页。时刻t已感染人数(病人)i(t)每个病人每天“有效接触”(足以使人致病)人数为

模型1假设若有效接触的是病人,则不能使病人数增加必须区分已感染者(病人)和未感染者(健康人)建模×第二页第三页，共49页。模型2区分已感染者(病人)和未感染者(健康人)假设1）总人数N不变，病人和健康人的比例分别为.2）每个病人每天有效接触人数为

,且使接触的健康人致病.建模

~日接触率SI模型第三页第四页，共49页。模型21/2tmii010ttm~传染病高峰到来时刻

(日接触率)tm

logistic模型病人可以治愈！t=tm,di/dt最大×第四页第五页，共49页。模型3传染病无免疫性——病人治愈成为健康人，健康人可再次被感染.增加假设SIS模型3）病人每天治愈的比例为

~日治愈率建模

~日接触率1/

~感染期

~一个感染期内每个病人的有效接触人数，称为接触数.mls/=第五页第六页，共49页。模型3i0i0接触数

=1~阈值感染期内有效接触使健康者感染的人数不超过原有的病人数1-1/

i0idi/dt01>10ti>11-1/

i0t

1di/dt<0>1,i0<1-1/

i(t)按S形曲线增长接触数

(感染期内每个病人的有效接触人数)i(t)单调下降第六页第七页，共49页。模型4传染病有免疫性——病人治愈后即移出感染系统，称移出者.SIR模型假设1）总人数N不变，病人、健康人和移出者的比例分别为.2）病人的日接触率

,日治愈率

,

接触数=/建模需建立的两个方程.第七页第八页，共49页。模型4SIR模型用MATLAB求数值解无法求出的解析解第八页第九页，共49页。模型4SIR模型预防传染病蔓延的手段

(日接触率)卫生水平

(日治愈率)

医疗水平传染病不蔓延的条件——s0<1/

降低s0提高r0提高阈值1/

降低

(=

/

)

,

群体免疫第九页第十页，共49页。模型4预防传染病蔓延的手段降低日接触率

提高日治愈率

提高移出比例r0以最终未感染比例s

和病人比例最大值im为度量指标.

1/

s0i0s

im10.30.30.980.020.03980.34490.60.30.50.980.020.19650.16350.50.51.00.980.020.81220.02000.40.51.250.980.020.91720.020010.30.30.700.020.08400.16850.60.30.50.700.020.30560.05180.50.51.00.700.020.65280.02000.40.51.250.700.020.67550.0200

,

s0(r0

)s

,im

s

,im

第十页第十一页，共49页。传染病模型模型1模型2(SI)模型3(SIS)模型4(SIR)区分病人和健康人考虑治愈模型3,4:描述传播过程,分析变化规律,预报高峰时刻,预防蔓延手段.第十一页第十二页，共49页。3.2经济增长模型发展经济增加投资增加劳动力提高技术建立产值与资金、劳动力之间的关系.研究资金与劳动力的最佳分配，使投资效益最大.调节资金与劳动力的增长率，使经济(生产率)增长.1.道格拉斯(Douglas)生产函数产值Q(t)F为待定函数资金K(t)劳动力L(t)技术f(t)=f0(常数)第十二页第十三页，共49页。模型假设静态模型每个劳动力的产值每个劳动力的投资z随着y的增加而增长，但增长速度递减yg(y)01.Douglas生产函数Douglas生产函数产值Q,资金K,劳动力L,技术f0第十三页第十四页，共49页。

~资金在产值中的份额1-

~劳动力在产值中的份额更一般的道格拉斯(Douglas)生产函数1.Douglas生产函数~单位资金创造的产值~单位劳动力创造的产值第十四页第十五页，共49页。w,r,

K/L

求资金与劳动力的分配比例K/L(每个劳动力占有的资金)，使效益S最大.资金和劳动力创造的效益资金来自贷款，利率r劳动力付工资w2）资金与劳动力的最佳分配（静态模型）第十五页第十六页，共49页。3)经济(生产率)增长的条件(动态模型)要使Q(t)或Z(t)=Q(t)/L(t)增长,K(t),L(t)应满足的条件模型假设投资增长率与产值成正比(用一定比例扩大再生产)劳动力相对增长率为常数第十六页第十七页，共49页。Bernoulli方程3)经济增长的条件第十七页第十八页，共49页。产值Q(t)增长dQ/dt>03)经济增长的条件

~劳动力相对增长率第十八页第十九页，共49页。每个劳动力的产值Z(t)=Q(t)/L(t)增长dZ/dt>03)经济增长的条件劳动力增长率小于初始投资增长率第十九页第二十页，共49页。稳定性模型对象仍是动态过程，而建模目的是研究时间充分长以后过程的变化趋势——平衡状态是否稳定.不求解微分方程，而是用微分方程稳定性理论研究平衡状态的稳定性.第二十页第二十一页，共49页。3.3军备竞赛竞赛描述双方国家军备竞赛过程.解释(预测)双方军备竞赛的结局.假设1）由于相互不信任，一方军备越大，另一方军备增加越快；2）由于经济实力限制，一方军备越大，对自己军备增长的制约越大；3）由于相互敌视或领土争端，每一方都存在增加军备的潜力.进一步假设1）2）的作用为线性；3）的作用为常数.目的第二十一页第二十二页，共49页。建模军备竞赛的结局微分方程的平衡点及其稳定性x(t)~甲方军备数量，y(t)~乙方军备数量,~本方经济实力的制约；k,l~对方军备数量的刺激；g,h~本方军备竞赛的潜力.t时的x(t)，y(t)第二十二页第二十三页，共49页。线性常系数微分方程组的平衡点及其稳定性平衡点P0稳定平衡点P0不稳定p>0且q>0p<0或q<0平衡点P0(x0,y0)~代数方程的根记系数矩阵第二十三页第二十四页，共49页。平衡点稳定性判断系数矩阵平衡点(x0,y0)稳定的条件模型军备竞赛第二十四页第二十五页，共49页。模型的定性解释双方军备稳定的条件双方经济制约大于双方军备刺激时，军备竞赛才会稳定，否则军备将无限扩张.平衡点2)若g=h=0,则x0=y0=0,在

>kl下x(t),y(t)

0,即友好邻国通过裁军可达到永久和平.(如:美,加)模型,~本方经济实力的制约；k,l~对方军备数量的刺激；g,h~本方军备竞赛的潜力.第二十五页第二十六页，共49页。模型的定性解释,~本方经济实力的制约；k,l~对方军备数量的刺激；g,h~本方军备竞赛的潜力.模型3）在初始时刻，x=y=0，此时若g,h不为零，则x和y都不会保持为0.即便双方一时和解，也会重整军备.第二十六页第二十七页，共49页。4）即使某时一方(由于战败或协议)军备大减,如x(t)=0，也会因使该方重整军备，即存在互不信任()或固有争端()的单方面裁军不会持久.（如：一战后的德国）模型的定性解释,~本方经济实力的制约；k,l~对方军备数量的刺激；g,h~本方军备竞赛的潜力.模型第二十七页第二十八页，共49页。3.4种群的相互竞争一个自然环境中有两个种群生存，它们之间的关系：相互竞争；相互依存；弱肉强食.当两个种群为争夺同一食物来源和生存空间相互竞争时，常见的结局是，竞争力弱的灭绝，竞争力强的达到环境容许的最大容量.建立数学模型描述两个种群相互竞争的过程，分析产生这种结局的条件.第二十八页第二十九页，共49页。模型假设有甲乙两个种群，它们独自生存时数量变化均服从logistic规律;两种群在一起生存时，乙对甲增长的阻滞作用与乙的数量成正比;甲对乙有同样的作用.对于消耗甲的资源而言，乙(相对于N2)是甲(相对于N1)的

1倍.对甲增长的阻滞作用，乙大于甲.乙的竞争力强模型第二十九页第三十页，共49页。模型分析(平衡点及其稳定性)二阶非线性自治方程的平衡点及其稳定性平衡点P0(x10,x20)~代数方程的根.模型第三十页第三十一页，共49页。判断P0(x10,x20)稳定性的方法平衡点P0稳定p>0且q>0平衡点P0不稳定p<0或q<0第三十一页第三十二页，共49页。仅当

1,

2<1或

1,

2>1时，P3才有意义.模型第三十二页第三十三页，共49页。平衡点稳定性分析平衡点Pi稳定条件：p>0且q>0第三十三页第三十四页，共49页。种群竞争模型的平衡点及稳定性不稳定平衡点

2>1,

1<1

1>1,

2<1P1,P2是一个种群存活而另一灭绝的平衡点P3是两种群共存的平衡点

1<1,

2<1P4不稳定

?稳定条件第三十四页第三十五页，共49页。结果解释对于消耗甲的资源而言，乙(相对于N2)是甲(相对于N1)的

1倍.对甲增长的阻滞作用，乙小于甲乙的竞争力弱.P1(N1

,0)稳定的条件：

1<1,

2>1

2>1甲的竞争力强甲达到最大容量，乙灭绝

P2(0,N2

)稳定的条件：

1>1,

2<1

P3稳定的条件：

1<1,

2<1第三十五页第三十六页，共49页。3.5种群的相互依存种群甲可以独自生存，种群乙不能独自生存；甲乙一起生存时相互提供食物、促进增长.自然界中处于同一环境中的两个种群相互依存而共生.受粉的植物与授粉的昆虫.以植物花粉为食物的昆虫不能离开植物独立生存，而昆虫的授粉又可以提高植物的增长率.人类与人工饲养的牲畜.第三十六页第三十七页，共49页。模型假设甲可以独自生存，数量变化服从logistic规律;甲乙一起生存时乙为甲提供食物、促进增长.乙不能独自生存；甲乙一起生存时甲为乙提供食物、促进增长；乙的增长又受到本身的阻滞作用(服从logistic规律).模型乙为甲提供食物是甲消耗的

1倍甲为乙提供食物是乙消耗的

2倍第三十七页第三十八页，共49页。种群依存模型的平衡点及稳定性P2是甲乙相互依存而共生的平衡点不稳定稳定条件平衡点第三十八页第三十九页，共49页。结果解释

2>1~甲必须为乙提供足够的食物.

1<1~为在

2>1条件下

1

2<1成立,

1必须足够小——限制乙向甲提供食物，防止甲过分增长.

P2稳定(甲乙相互依存)条件：甲可以独自生存乙不能独立生存乙为甲提供食物是甲消耗的

1倍.甲为乙提供食物是乙消耗的

2倍.

1<1,

2>1,

1

2<1第三十九页第四十页，共49页。甲乙两种群的相互依存还有其他形式种群甲可以独自生存，种群乙不能独自生存；甲乙一起生存时相互提供食物、促进增长.甲乙均可以独自生存；甲乙一起生存时相互提供食物、促进增长.甲乙均不能独自生存；甲乙一起生存时相互提供食物、促进增长.种群的相互依存第四十页第四十一页，共49页。3.6种群的弱肉强食(食饵-捕食者模型)种群甲靠丰富的天然资源生存，种群乙靠捕食甲为生，形成食饵-捕食者系统，如食用鱼和鲨鱼，美洲兔和山猫，害虫和益虫.

模型的历史背景——一次世界大战期间地中海渔业的捕捞量下降(食用鱼和鲨鱼同时捕捞)，但是其中鲨鱼的比例却增加，为什么？第四十一页第四十二页，共49页。食饵(甲)数量x(t),

捕食者(乙)数量y(t)甲独立生存的增长率r乙使甲的增长率减小，减小量与y成正比乙独立生存的死亡率d甲使乙的死亡率减小，减小量与x成正比方程(1),(2)无解析解食饵-捕食者模型(Volterra)a~捕食者掠取食饵能力b~食饵供养捕食者能力第四十二页第四十三页，共49页。Volterra模型的平衡点及其稳定性平衡点稳定性分析P点稳定性不能判定p=0,q>0P:临界状态q<0P´不稳定第四十三页第四十四页，共49页。tx(t)y(t)020.00004.00000.10