小升初专题训练学生版

小升初名校真题专项测试-----计算测试时间：15分钟姓名_________测试成绩_________1、计算：39×＋148×＋48×=____________________.〔06年清华附中入学测试题〕2、计算〔03年三帆中学入学测试题〕3、计算+＋＋……＋的值为。4、=_______________________.〔06年清华附中入学测试题〕5、一串分数：其中的第2000个分数是.〔06年西城实验中学入学测试题〕6、下面方阵中所有数的和是________．

1900

1901

1902

1903

…

1949

1901

1902

1903

1904

…

1950

1902

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…

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…

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………………

1948

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1950

1951

…

1997

1949

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1951

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…

1998

7、六年三班有40名同学，每人都向希望工程捐了款.其中有一名同学捐了2.80元。但是统计数字时把这个数字搞错了，结果计算出的全班平均每人捐款数比实际平均每人捐款数高了0.63元。统计数字时把这个数字当成了元.〔06年三帆中学入学测试题〕第一讲小升初专项训练-----计算及其规律小升初选拔的试卷，考察学生的计算能力是必不可少的，近两年来又以考察分数的计算和巧算为明显趋势〔分值大体在5分～12分〕，学员应针对两方面强化练习：一分数小数的混合计算；二繁分数的化简和简便运算；以下是总结的大家需要了解和掌握的常识，曾经在重要考试中用到过。

1．根本公式：2、[练习]：3、4、[练习]：2007×20062006-2006×20072007=____.5、[练习]：8-7+6-5+4-3+2-1____.6、……[练习]：化成小数后，小数点后面第2007位上的数字为____。化成小数后，小数点后假设干位数字和为1992，问n=____。7、1+2+3+4…〔n-1〕+n+〔n-1〕+…4+3+2+1=n8、[练习]1×(1+2+3+4…8+…4+3+2+1)是一个数的平方，那么这个数是_____9、等比数列求和偶尔会考[练习]：2+2+2……2=____[拓展]：2-2[练习]：12345679×450更多的知识需要大家活学活用，希望大家在学习过程中要注意总结归纳，不断充实和稳固自己的知识。典型例题解析一、填空：【例1】〔★★★〕某学生将乘以一个数a时，把误看成1.23，使乘积比正确结果减少0.3。那么正确结果应该是________。【来源】北京市第一届“迎春杯〞决赛第一题第9题【例2】〔★★★〕是三个最简真分数，如果这三个分数的分子都加上c，那么三个分数的和为6，求这三个真分数。【来源】第三届“从小爱数学〞邀请赛第2题【例3】如果1=1!1×2=2!1×2×3=3!……1×2×3×…×99×100=100!那么1!+2!+3!+…+100!的个位数字是________·【来源】北京市第四届“迎春杯〞决赛第二题第8题【例4】从1到1999这1999个自然数中，有_______个数与5678相加，至少发生一次进位．【来源】第十届《小数报》数学竞赛决赛第11题【例5】〔★★★〕所有分母小于30并且分母是质数的真分数相加，和是__________。【来源】第八届《小数报》数学竞赛决赛填空题第2题【例6】〔★★★〕分母为1996的所有最简分数之和是_________。【来源】北京市第二届“迎春杯〞初赛第二第6题二、各类速算〔请大家在做题过程中注意总结〕【例7】19+199+1999+……+=_________。【来源】第七届华杯赛复赛第7题【例8】〔★★÷3333333334【来源】第十届《小数报》数学竞赛决赛填空第1题【例9】〔★★★〕＝＿＿＿＿＿【来源】北京市第十届“迎春杯〞决赛第二题第2题【例10】〔★★★〕【来源】第三届祖冲之杯邀请赛填空题第12题【例11】〔★★〕=【来源】1989年小学数学奥林匹克初赛第1题【例12】〔★★〕，那么x=_________.【来源】2005小学数学奥林匹克预赛A卷第3题【例13】〔★★★〕【拓展】0.123456+0.876544+0.123456×0.876544×2=_________.【例14】〔★★★〕【来源】仁华学校2005～2006学年六年级展示题【例15】〔★★★★〕、下面是两个1989位整数相乘：111Λ11×111Λ111989个11989个1问：乘积的各位数字之和是多少?估算：【例16】〔★★★〕÷【例17】〔★★★〕数的整数局部是几？【例18】〔★★★〕、估算下面式子的整数局部作业1、〔★★★〕1995个8的连乘积减去1995个7的连乘积，差的个位数字是＿＿＿＿。【来源】第五届“祖冲之杯〞数学邀请赛填空题第7题2、〔★★〕有A、B两组数，每组数都按一定的规律排列着，并且每组都各有25个数。A组数中前几个是这样排列的1、6、11、16、21、……；B组数中最后几个是这样排列的……、105、110、115、120、125。那么，A、B这两组数中所有数的和是＿＿＿＿＿＿＿。【来源】第五届《小数报》数学竞赛初赛填空题第1题3、〔★★★〕有一串数它的前1996个数的和是多少？【来源】北京市第十三届“迎春杯〞初赛第三题第2题4、〔★★★〕任取一个4位数乘3456，用A来表示积的数字和，用B表示A的数字和，C表示B的数字和．那么C_______.【来源】1990年小学数学奥林匹克初赛第12题5、〔★★★〕【来源】北京市第十一届“迎春杯〞刊赛第24题6、〔★〕将右式写成分数7、〔★★〕【来源】北京市第八届“迎春杯〞决赛第一题第2题8、〔★★★〕名校真题测试卷2〔几何篇一〕时间：15分钟总分值5分姓名_________测试成绩_________1〔06年清华附中考题〕如图，在三角形ABC中，，D为BC的中点，E为AB上的一点，且BE=AB,四边形EDCA的面积是35，求三角形ABC的面积.2〔06年西城实验考题〕四个完全一样的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方(如图)如果小正方形面积是1平方米，大正方形面积是5平方米，那麽直角三角形中，最短的直角边长度是______米.3〔05年101中学考题〕一块三角形草坪前，工人王师傅正在用剪草机剪草坪．一看到小灵通，王师傅热情地招呼，说：“小灵通，听说你很会动脑筋，我也想问问你，这块草坪我把它分成东、西、南、北四局部(如图)．修剪西部、东部、南部各需10分钟，16分钟，20分钟．请你想一想修剪北部需要多少分钟？4〔05年三帆中学考题〕右图中AB=3厘米，CD=12厘米，ED=8厘米，AF=7厘米.四边形ABDE的面积是5(06年北大附中考题)三角形ABC中，C是直角，AC＝2，CD＝2,CB=3,AM=BM，那么三角形AMN〔阴影局部〕的面积为多少？第二讲小升初专项训练-----几何篇〔一〕小升初考试热点及命题方向几何问题是小升初考试的重要内容，分值一般在12-14分〔包含1道大题和2道左右的小题〕。尤其重要的就是平面图形中的面积计算，几何从内容方面，可以简单的分为直线形面积〔三角形四边形为主〕，圆的面积以及二者的综合。其中直线形面积近年来考的比拟多，值得我们重点学习。从解题方法上来看，有割补法，代数法等，有的题目还会用到有关包含与排除的知识。典型例题解析1等积变换在三角形中的运用首先我们来讨论一下和三角形面积有关的问题，大家都知道，三角形的面积=1/2×底×高因此我们有【结论1】等底的三角形面积之比等于对应高的比【结论2】等高的三角形面积之比等于对应底的比这2个结论看起来很显然，可大家小看它们，在许多和三角形面积比有关的题目中它们都能发挥巨大的作用，因为它们把三角形的面积比转化为了线段的比，我们来看下面的例题。【例1】〔★★〕如图，四边形ABCD中，AC和BD相交于O点，三角形ADO的面积=5，三角形DOC的面积=4，三角形AOB的面积=15，求三角形BOC的面积是多少？【总结】从这个题目我们可以发现，题目的条件和结论都是三角形的面积比，我们在解题过程中借助结论2，先把面积比转化成线段比，再把线段比用结论2转化成面积比，解决了问题。事实上，这2次转化的过程就相当于在条件和结论中搭了一座“桥梁〞，请同学们体会一下。【拓展】S△AOD×S△BOC=S△COD×S△AOB，也适用于任意四边形。【练习】如以下图，某公园的外轮廓是四边形ABCD，被对角线AC、BD分成四个局部，△AOB面积为1平方千米，△BOC面积为2平方千米，△COD的面积为3平方千米，公园陆地的面积是6.92平方千米，求人工湖的面积是多少平方千米？【例2】〔★★〕将以下图中的三角形纸片沿虚线折叠得到右图，其中的粗实线图形面积与原三角形面积之比为2:3。右图中3个阴影的三角形面积之和为1，那么重叠局部的面积为多少？【总结】份数在小升初中运用的相当广，一定要养成这个思想！燕尾定理在三角形中的运用下面我们再介绍一个非常有用的结论:【燕尾定理】:在三角形ABC中，AD,BE,CF相交于同一点O,那么S△ABO:S△ACO=BD:DC【证明】：根据结论2BD/DC=S△ABD/S△ADC=S△BOD/S△COD因此BD/DC=(S△ABD-S△BOD)/(S△ADC-S△COD)=S△ABO/S△ACO证毕上述定理给出了一个新的转化面积比与线段比的手段，因为△ABO和△ACO的形状很象燕子的尾巴，所以这个定理被称为燕尾定理。该定理在许多几何题目中都有着广泛的运用。【例3】〔★★★〕在△ABC中=2:1,=1:3，求=?【例4】〔★★★〕三角形ABC中，C是直角，AC＝2，CD＝2,CB=3,AM=BM，那么三角形AMN〔阴影局部〕的面积为多少？平行线定理在三角形中的运用〔热点★★★〕下面我们再来看一个重要定理：平行线的相关定理：〔即利用求面积来间接求出线段的比例关系〕同学们应该对以下图所示的图形非常熟悉了．相交线段AD和AE被平行线段BC和DE所截，得到的三角形ABC和ADE形状完全相似．所谓“形状完全相似〞的含义是：两个三角形的对应角相等，对应边成比例．表达在右图中，就是AB：AD=BC：DE=AC：CE=三角形ABC的高：三角形ADE的高．这种关系称为“相似〞，同学们上了中学将会深入学习．相似三角形对应边的比例关系在解几何问题的时候非常有用，要多加练习．在实际运用的时候，相似的三角形往往作为图形的一局部，有时还要经过翻转、平移等变化〔如右以下图〕，往往不易看出相似关系．如〔右以下图〕AB平行于DE，有比例式AB：DE=AC：CE=BC：CD，三角形ABC与三角形DEC也是相似三角形．以下图形状要牢记并且要熟练掌握比例式．【例5】〔★★〕如下图，BD，CF将长方形ABCD分成4块，△DEF的面积是4cm，△CED的面积是6cm。问：四边形ABEF的面积是多少平方厘米？【例6】〔★★★〕如右图，单位正方形ABCD，M为AD边上的中点，求图中的阴影局部面积。【例7】〔★★★〕如图，正方形ABCD的面积是120平方厘米，E是AB的中点，F是BC的中点，四边形BGHF的面积是________平方厘米。利用“中间桥梁〞联系两块图形的面积关系【例8】〔★★〕如图，正方形ABCD的边长是4厘米，CG=3厘米，矩形DEFG的长DG为5厘米，求它的宽DE等于多少厘米？【例9】〔★★〕如以下图所示，四边形ABCD与DEFG都是平行四边形，证明它们的面积相等。5差不变原理的运用【例10】〔★★★〕左以下图所示的ABCD的边BC长10cm，直角三角形BCE的直角边EC长8cm，两块阴影局部的面积和比△EFG的面积大10cm2，求CF的长。【例11】〔★★★〕如图，ABCG是4×7的长方形，DEFG是2×10的长方形，那么，三角形BCM的面积与三角形DCM的面积之差是多少？[总结]：对于公共局部要大胆的进行处理,这样可以把原来无关的面积联系起来,到达解题的目的.[拓展]：如图,圆的直径为20,S1-S2=12,求BD的长度?6其他常考题型【例12】〔★★〕以下图中，五角星的五个顶角的度数和是多少？【例13】用同样大小的22个小纸片摆成以下图所示的图形，小纸片的长是18厘米，求图中阴影局部的面积和。小结本讲主要接触到以下几种典型题型：1〕等积变换在三角形中的运用。参见例1，22〕燕尾定理在三角形中的运用。参见例3，43〕平行线定理在三角形中的运用。参见例5，6，74〕利用“中间桥梁〞联系两块图形的面积关系。参见例8，95〕差不变原理的运用。参见例10，116〕其他常考题型。参见例12，13【课外知识】春秋战国时代，一位父亲和他的儿子出征打战。父亲已做了将军，儿子还只是马前卒。又一阵号角吹响，战鼓雷鸣了，父亲庄严地托起一个箭囊，其中插着一只箭。父亲郑重对儿子说：“这是家袭宝箭，配带身边，力量无穷，但千万不可抽出来。〞那是一个极其精美的箭囊，厚牛皮打制，镶着幽幽泛光的铜边儿，再看露出的箭尾。一眼便能认定用上等的孔雀羽毛制作。儿子喜上眉梢，贪婪地推想箭杆、箭头的模样，耳旁仿佛嗖嗖地箭声掠过，敌方的主帅应声折马而毙。果然，配带宝箭的儿子英勇非凡，所向披靡。当鸣金收兵的号角吹响时，儿子再也禁不住得胜的豪气，完全背弃了父亲的叮嘱，强烈的欲望驱赶着他呼一声就拔出宝箭，试图看个究竟。骤然间他惊呆了。一只断箭，箭囊里装着一只折断的箭。我一直刳着只断箭打仗呢！儿子吓出了一身冷汗，仿佛顷刻间失去支柱的房子，轰然意志坍塌了。结果不言自明，儿子惨死于乱军之中。拂开蒙蒙的硝烟，父亲拣起那柄断箭，沉重地啐一口道：“不相信自己的意志，永远也做不成将军。〞把胜败寄托在一只宝箭上，多么愚蠢，而当一个人把生命的核心与把柄交给别人，又多么危险！比方把希望寄托在儿女身上；把幸福寄托在丈夫身上；把生活保障寄托在单位身上……温馨提示：自己才是一只箭，假设要它坚韧，假设要它锋利，假设要它百步穿杨，百发百中，磨砺它，拯救它的都只能是自己。作业题〔注：作业题--例题类型对照表，供参考〕题1，2—类型1；题3，4—类型5；题5，6—类型6；1、〔★★〕如右图所示，三角形ABC面积为1，延长AB至D，使BD=AB；延长BC至E，使CE=2BC；延长CA至F，使AF=3AC，求三角形DEF的面积。2、〔★★〕右图是一块长方形耕地，它由四个小长方形拼合而成，其中三个小长方形的面积分别为15、18、30公顷，问图中阴影局部的面积是多少？3、正方形ABFD的面积为100平方厘米，直角三角形ABC的面积，比直角三角形〔CDE的面积大30平方厘米，求DE的长是多少？4、〔★★★〕如以下图，D是BC的中点，E是CD的中点，F是AC的中点，且的面积比的面积大6平方厘米。△ABC的面积是多少平方厘米？5、〔★★〕长方形ABCD的面积为36平方厘米，E、F、G分别为边AB、BC、CD的中点，H为AD边上的任一点。求图中阴影局部的面积是多少？6、〔★★〕如图，甲、乙两图形都是正方形，它们的边长分别是10厘米和12厘米，求阴影局部的面积。名校真题测试卷3〔几何篇二〕时间：15分钟总分值5分姓名_________测试成绩_________1〔101中学考题〕求以下图中阴影局部的面积：2〔清华附中考题〕从一个长为8厘米，宽为7厘米，高为6厘米的长方体中截下一个最大的正方体，剩下的几何体的外表积是_________平方厘米.3〔三帆中学考试题〕有一个棱长为1米的立方体，沿长、宽、高分别切二刀、三刀、四刀后，成为60个小长方体(见左以下图).这60个小长方体的外表积总和是______平方米.4〔西城八中考题〕右上图中每个小圆的半径是1厘米，阴影局部的周长是_______厘米.〔＝3.14〕5(首师附中考题)一千个体积为1立方厘米的小正方体合在一起成为一个边长为10厘米的大正方体，大正方体外表涂油漆后再分开为原来的小正方体，这些小正方体至少有一面被油漆涂过的数目是多少个？第二讲小升初专项训练-----几何篇〔二〕小升初考试热点及命题方向圆和立体几何近两年虽然不是考试热点，但在小升初考试中也会时常露面。因为立体图形考察学生的空间想象能力，可以反映学生的本身潜能；而另一方面，初中很多知识点都是建立在空间问题上，所以可以说学校考察立体也是为初中选拔知识链接性好的学生。典型例题解析1与圆和扇形有关的题型【例1】〔★★〕如以下图，等腰直角三角形ABC的腰为10厘米；以A为圆心，EF为圆弧，组成扇形AEF；阴影局部甲与乙的面积相等。求扇形所在的圆面积。【例2】〔★★★〕草场上有一个长20米、宽10米的关闭着的羊圈，在羊圈的一角用长30米的绳子拴着一只羊〔见左以下图〕。问：这只羊能够活动的范围有多大？【例3】〔★★〕在右图中，两个四分之一圆弧的半径分别是2和4，求两个阴影局部的面积差。【例4】〔★★★〕如图，ABCD是正方形，且FA=AD=DE=1，求阴影局部的面积。〔取π＝3〕【例5】〔★★★〕如以下图，AB与CD是两条垂直的直径，圆O的半径为15厘米，与立体几何有关的题型小学阶段，我们除了学习平面图形外，还认识了一些简单的立体图形，如长方体、正方体〔立方体〕、直圆柱体，直圆锥体、球体等，并且知道了它们的体积、外表积的计算公式，归纳如下。见以下图。在数学竞赛中，有许多几何趣题，解答这些趣题的关键在于精巧的构思和恰当的设计，把形象思维和抽象思维结合起来。2求不规那么立体图形的外表积与体积【例6】〔★★〕用棱长是1厘米的正方块拼成如以下图所示的立体图形，问该图形的外表积是多少平方厘米？【例7】〔★★★〕在边长为4厘米的正方体木块的每个面中心打一个边与正方体的边平行的洞．洞口是边长为1厘米的正方形，洞深1厘米〔如以下图〕．求挖洞后木块的外表积和体积．【例8】〔★★★〕如图是一个边长为2厘米的正方体。在正方体的上面的正中向下挖一个边长为1厘米的正方体小洞；接着在小洞的底面正中再向下挖一个边长为1/2厘米的小洞；第三个小洞的挖法与前两个相同，边长为1/4厘米。那么最后得到的立体图形的外表积是多少平方厘米？3水位问题【例9】〔★★〕一个酒精瓶，它的瓶身呈圆柱形〔不包括瓶颈〕，如以下图．它的容积为26.4π立方厘米．当瓶子正放时，瓶内的酒精的液面高为6厘米．瓶子倒放时，空余局部的高为2厘米【例10】〔★★〕一个高为30厘米，底面为边长是10厘米的正方形的长方体水桶，其中装有容积的水，现在向桶中投入边长为2厘米2厘米3厘米的长方体石块，问需要投入多少块这种石块才能使水面恰与桶高相齐？4计数问题【例11】有甲、乙、丙3种大小的正方体，棱长比是1：2：3。如果用这三种正方体拼成尽量小的一个正方体，且每种都至少用一个，那么最少需要这三种正方体共多少？5三维视图的问题【例12】现有一个棱长为1cm的正方体，一个长宽为1cm高为2cm的长方体，三个长宽为1cm高为3cm的长方体。以下图形是把这五个图形合并成某一立体图形时，从上面、前面、侧面所看到的图形。试利用下面三个图形把合并成的立体图形〔如例〕的样子画出来，并求出其外表积。例：6其他常考题型【例13】〔★★★〕有两种不同形状的纸板，一种是正方形的，另一种是长方形的，正方形纸板的总数与长方形纸板的总数之比是1∶2.用这些纸板做成一些竖式和横式的无盖纸盒.正好将纸板用完.问在所做的纸盒中，竖式纸盒的总数与横式纸盒的总数之比是多少？【例14】左以下图是一个正方体，四边形APQC表示用平面截正方体的截面。请在右下方的展开图中画出四边形APQC的四条边。小结本讲主要接触到以下几种典型题型：1〕与圆和扇形有关的题型。参见例1，2，3，4，52〕求不规那么立体图形的外表积与体积。参见例6，7，83〕水位问题。参见例9，104〕计数问题。参见例11，125〕三维视图的问题。参见例136〕其他常考题型。参见例14，15【课外知识】剪正方体此题旨在培养同学们的空间想象力和动手能力

将一个正方体〔图1〕剪开可以展成一些不同的平面图形〔图2〕。图1正方体〔1〕〔2〕

〔3〕

〔4〕

图2正方体的平面展开图其中的图2的〔1〕，〔2〕都是“带状图〞，好似是一条完整的削下来的苹果皮。仔细观察〔1〕，〔2〕两个图可以发现，图中的每个小正方形都有两个边与其它的正方形“共用〞，除了两头的两个正方形以外。再观察图〔3〕和图〔4〕，由于这两个图中每个都有一个正方形〔粉色〕有两条以上的边〔图〔3〕有3条，图〔4〕有4条〕与周围的正方形“共用〞。所以图〔3〕和图〔4〕都不是“带状图〞。

问题1：运用你的空间想象力或者动手将图2的四个图折成正方体。问题2：除了图〔1〕和图〔2〕以外还有两个正方体的平面展开图也是“带状图〞，你能找出来吗？答案：作业题〔注：作业题--例题类型对照表，供参考〕题1，2，3，4—类型1；题5—类型4；题6，7—类型2；题8—类型61、〔★★〕如以下图，求阴影局部的面积，其中OABC是正方形.2、〔★★★〕如以下图所示，求阴影面积，图中是一个正六边形，面积为1040平方厘米，空白局部是6个半径为10厘米的小扇形。3、〔★★★〕如右图，将直径AB为3的半圆绕A逆时针旋转60°，此时AB到达AC的位置，求阴影局部的面积〔取π=3〕.4、〔★★★〕如以下图，两个半径相等的圆相交，两圆的圆心相距正好等于半径，AB弦约等于17厘米，半径为10厘米，求阴影局部的面积。5、〔★★〕2100个边长为1米的正方体堆成一个实心的长方体.它的高是10米，长、宽都是大于10〔米〕的整数，问长方体长宽之和是几米？

6、〔★★〕有一个正方体，边长是5.如果它的左上方截去一个边长分别是5、3、2的长方体〔如以下图〕，求它的外表积减少的百分比是多少？7、〔★★〕如以下图，在棱长为3的正方体中由上到下，由左到右，由前到后，有三个底面积是1的正方形高为3的长方体的洞，求所得形体的外表积是多少？8、〔★★★〕现有一张长40厘米、宽20厘米的长方形铁皮，请你用它做一只深是5厘米的长方体无盖铁皮盒〔焊接处及铁皮厚度不计，容积越大越好〕，你做出铁皮盒容积是多少立方厘米？名校真题测试卷4〔行程篇一〕时间：15分钟总分值5分姓名_________测试成绩_________1〔清华附中考题〕大货车和小轿车从同一地点出发沿同一公路行驶，大货车先走1.5小时，小轿车出发后4小时后追上了大货车.如果小轿车每小时多行5千米，那么出发后3小时就追上了大货车.2〔西城实验考题〕小强骑自行车从家到学校去，平常只用20分钟。由于途中有2千米正在修路，只好推车步行，步行速度只有骑车的1/3，结果用了36分钟才到学校。小强家到学校有多少千米?3〔101中学考题〕小灵通和爷爷同时从这里出发回家，小灵通步行回去，爷爷在前的路程中乘车，车速是小灵通步行速度的10倍．其余路程爷爷走回去，爷爷步行的速度只有小灵通步行速度的一半，您猜一猜咱们爷孙俩谁先到家？4〔三帆中学考题〕客车和货车同时从甲、乙两城之间的中点向相反的方向相反的方向行驶，3小时后，客车到达甲城，货车离乙城还有30千米．货车的速度是客车的，甲、乙两城相距多少千米？5(人大附中考题)小明跑步速度是步行速度的3倍，他每天从家到学校都是步行。有一天由于晚出发10分钟，他不得不跑步行了一半路程，另一半路程步行，这样与平时到达学校的时间一样。那么小明每天步行上学需要时间多少分钟？第四讲小升初专项训练-----行程篇〔一〕小升初考试热点及命题方向行程问题是历年小升初的考试重点，各学校都把行程当压轴题处理，可见学校对行程的重视程度，由于行程题本身题干就很长，模型多样，变化众多，所以对学生来说处理起来很头疼，而这也是学校考察的重点，这可以充分表达学生对题目的分析能力。根本公式【根本公式】：路程＝速度×时间

【根本类型】相遇问题：速度和×相遇时间＝相遇路程；

追及问题：速度差×追及时间＝路程差；流水问题：关键是抓住水速对追及和相遇的时间不产生影响；顺水速度＝船速＋水速逆水速度＝船速－水速

静水速度＝〔顺水速度＋逆水速度〕÷2水速＝〔顺水速度－逆水速度〕÷2

〔也就是顺水速度、逆水速度、船速、水速4个量中只要有2个就可求另外2个〕其他问题：利用相应知识解决，比方和差分倍和盈亏；【复杂的行程】1、屡次相遇问题；2、环形行程问题；3、运用比例、方程等解复杂的题；典型例题解析1典型的相遇问题【例1】〔★★〕甲、乙两人沿400米环形跑道练习跑步，两人同时从跑道的同一地点向相反方向跑去。相遇后甲比原来速度增加2米／秒，乙比原来速度减少2米／秒，结果都用24秒同时回到原地。求甲原来的速度。提示：环形跑道的相遇问题。【例2】〔★★〕小红和小强同时从家里出发相向而行。小红每分走52米，小强每分走70米，二人在途中的A处相遇。假设小红提前4分出发，且速度不变，小强每分走90米，那么两人仍在A处相遇。小红和小强两人的家相距多少米？【例3】〔★★★〕甲、乙两车分别从A、B两地同时出发相向而行，6小时后相遇在C点。如果甲车速度不变，乙车每小时多行5千米，且两车还从A、B两地同时出发相向而行，那么相遇地点距C点12千米，如果乙车速度不变，甲车每小时多行5千米，且两车还从A、B两地同时出发相向而行，那么相遇地点距C点16千米。甲车原来每小时向多少千米？〔13届迎春杯决赛题〕2典型的追及问题【例4】〔★★★〕在400米的环行跑道上，A，B两点相距100米。甲、乙两人分别从A，B两点同时出发，按逆时针方向跑步。甲甲每秒跑5米，乙每秒跑4米，每人每跑100米，都要停10秒钟。那么甲追上乙需要时间是多少秒？相遇与追及的综合题型【例5】〔★★〕甲、乙两车的速度分别为52千米／时和40千米／时，它们同时从甲地出发到乙地去，出发后6时，甲车遇到一辆迎面开来的卡车，1时后乙车也遇到了这辆卡车。求这辆卡车的速度。【拓展】:甲、乙、丙三辆车同时从A地出发到B地去，甲、乙两车的速度分别为60千米／时和48千米／时。有一辆迎面开来的卡车分别在他们出发后6时、7时、8时先后与甲、乙、丙三辆车相遇。求丙车的速度。【拓展】:快、中、慢三辆车同时同地出发，沿同一公路去追赶前面一骑车人，这三辆车分别用6分、10分、12分追上骑车人。快、慢车的速度分别为24千米／时和19千米／时，求中速车的速度。屡次折返的行程问题【例6】〔★★★★〕一个圆的圆周长为1.26米，两只蚂蚁从一条直径的两端同时出发沿圆周相向爬行。这两只蚂蚁每秒钟分别爬行5.5厘米和3.5厘米，在运动过程中它们不断地调头。如果把出发算作第零次调头，那么相邻两次调头的时间间隔顺次是1秒、3秒、5秒、……，即是一个由连续奇数组成的数列。问它们相遇时，已爬行的时间是多少秒？5上山下山的行程问题【例7】〔★★★★〕甲、乙两人同时从山脚开始爬山，到达山顶后就立即下山，他们两人的下山速度都是各自上山速度的1.5倍，而且甲比乙速度快。两人出发后1小时，甲与乙在离山顶600米处相遇，当乙到达山顶时，甲恰好到半山腰。那么甲回到出发点共用多少小时？

6流水行船问题关键是抓住水速对追及和相遇的时间不产生影响；顺水速度＝船速＋水速逆水速度＝船速－水速

静水速度＝〔顺水速度＋逆水速度〕÷2水速＝〔顺水速度－逆水速度〕÷2必须熟练运用：水速顺度、逆水速度、船速、水速4个量中只要有2个量求另外2个量【例8】〔★★〕一艘轮船顺流航行120千米，逆流航行80千米共用16时；顺流航行60千米，逆流航行120千米也用16时。求水流的速度。【例9】〔★★★〕某河有相距45千米的上下两港，每天定时有甲乙两船速相同的客轮分别从两港同时出发相向而行，这天甲船从上港出发掉下一物，此物浮于水面顺水漂下，4分钟后与甲船相距1千米，预计乙船出发后几小时可与此物相遇。【拓展】甲轮船和自漂水流测试仪同时从上游的A站顺水向下游的B站驶去，与此同时乙轮船自B站出发逆水向A站驶来。7.2时后乙轮船与自漂水流测试仪相遇。甲轮船与自漂水流测试仪2.5时后相距31.25千米，甲、乙两船航速相等，求A，B两站的距离。【例10】〔★★★〕江上有甲、乙两码头，相距15千米，甲码头在乙码头的上游，一艘货船和一艘游船同时从甲码头和乙码头出发向下游行驶，5小时后货船追上游船。又行驶了1小时，货船上有一物品落入江中〔该物品可以浮在水面上〕，6分钟后货船上的人发现了，便掉转船头去找，找到时恰好又和游船相遇。那么游船在静水中的速度为每小时多少千米？【例11】〔★★★〕一只小船从甲地到乙地往返一次共用2时，回来时顺水，比去时每时多行驶8千米，因此第2时比第1时多行驶6千米。求甲、乙两地的距离。小结本讲主要接触到以下几种典型题型：1〕典型的相遇问题。参见例1，2，32〕典型的追及问题。参见例43〕相遇与追及的综合题型。参见例54〕屡次折返的行程问题。参见例65〕上山下山的行程问题。参见例76〕流水行船问题。参见例8，9，10，11【课外知识】美国作家欧；亨利在他的小说《最后一片叶子》里讲了个故事：病房里，一个生命垂危的病人从房间里看见窗外的一棵树，在秋风中一片片地掉落下来。病人望着眼前的萧萧落叶，身体也随之每况愈下，一天不如一天。她说：“当树叶全部掉光时，我也就要死了。〞一位老画家得知后，用彩笔画了一片叶脉青翠的树叶挂在树枝上。最后一片叶子始终没掉下来。只因为生命中的这片绿，病人竟奇迹般地活了下来。温馨提示：人生可以没有很多东西，却唯独不能没有希望。希望是人类生活的一项重要的价值。有希望之处，生命就生生不息！作业题〔注：作业题--例题类型对照表，供参考〕题1，6，7—类型1；题2，4，5—类型3；题3，8—类型2；1、〔★★★〕甲、乙、丙三人行路，甲每分钟走60米，乙每分钟走67.5米，丙每分钟走75米，甲乙从东镇去西镇，丙从西镇去东镇，三人同时出发，丙与乙相遇后，又经过2分钟与甲相遇，求东西两镇间的路程有多少米？2、〔★★〕在环形跑道上，两人都按顺时针方向跑时，每12分钟相遇一次，如果两人速度不变，其中一人改成按逆时针方向跑，每隔4分钟相遇一次,问两人各跑一圈需要几分钟？3、〔★★★〕晶晶每天早上步行上学，如果每分钟走60米，那么要迟到5分钟，如果每分钟走75米，那么可提前2分钟到校.求晶晶到校的路程？4、〔★★★〕小马虎上学忘了带书包，爸爸发现后立即骑车去追，把书包交给他后立即返回家。小马虎接到书包后又走了10分钟到达学校，这时爸爸也正好到家。如果爸爸的速度是小马虎速度的4倍，那么小马虎从家到学校共用多少时间？5、〔★★★〕某人沿公路前进，迎面来了一辆汽车，他问司机：“后面有骑自行车的人吗？〞司机答复：“10分钟前我超过一个骑自行车的人。〞这人继续走了10分钟，遇到了这个骑自行车的人。如果自行车的速度是人步行速度的3倍，那么，汽车速度是人步行速度的多少倍？6、〔★★〕甲、乙同时从A，B两地相向走来。甲每时走5千米，两人相遇后，乙再走10千米到A地，甲再走1.6时到B地。乙每时走多少千米？7、〔★★〕甲、乙两车同时从A，B两地相向而行，它们相遇时距A，B两地中心处8千米，甲车速度是乙车的1.2倍，求A，B两地的距离。8、〔★★★〕甲、乙、丙三辆车同时从A地出发到B地去，出发后6分甲车超过了一名长跑运发动，2分后乙车也超过去了，又过了2分丙车也超了过去。甲车每分走1000米，乙车每分走800米，丙车每分钟走多少米？名校真题测试卷5〔行程篇二〕时间：15分钟总分值5分姓名_________测试成绩_________1〔人大附中考题〕如图，ABCD是一个边长为6米的模拟跑道，甲玩具车从A出发顺时针行进，速度是每秒5厘米，乙玩具车从CD的中点出发逆时针行进，结果两车第二次相遇恰好是在B点，求乙车每秒走多少厘米?2〔清华附中考题〕甲车速度为每小时90千米，乙车速度为每小时60千米，甲乙两车分别从A,B两地同时出发相向而行，在途径C地时乙车比甲车早到10分钟；第二天甲乙分别从B,A两地出发同时返回原来出发地，在途径C地时甲车比乙车早到1个半小时，那么AB距离时多少？3〔十一中学考题〕甲、乙、丙三人步行的速度分别是：每分钟甲走90米，乙走75米，丙走60米。甲、丙从某长街的西头、乙从该长街的东头同时出发相向而行，甲、乙相遇后恰好4分钟乙、丙相遇，那麽这条长街的长度是米.4〔西城实验考题〕甲乙两人在A、B两地间往返散步，甲从A、乙从B同时出发；第一次相遇点距B处60米。当乙从A处返回时走了lO米第二次与甲相遇。A、B相距多少米?5(首师大附考题)甲，乙两人在一条长100米的直路上来回跑步，甲的速度3米/秒，乙的速度2米/秒。如果他们同时分别从直路的两端出发，当他们跑了10分钟后，共相遇多少次？第五讲小升初专项训练-----行程篇〔二〕小升初考试热点及命题方向屡次相遇的行程问题是近两年来各个重点中学非常喜爱的出题角度，这类题型往往需要学生结合六年级所学习的比例知识和分数百分数来分析题干条件，诸如人大附中，首师附中，西城四中，东城二中和五中都涉及了这一类题型，希望同学们扎实掌握。根本公式【根本公式】：路程＝速度×时间

【根本类型】相遇问题：速度和×相遇时间＝相遇路程；

追及问题：速度差×追及时间＝路程差；流水问题：关键是抓住水速对追及和相遇的时间不产生影响；顺水速度＝船速＋水速逆水速度＝船速－水速

静水速度＝〔顺水速度＋逆水速度〕÷2水速＝〔顺水速度－逆水速度〕÷2

〔也就是顺水速度、逆水速度、船速、水速4个量中只要有2个就可求另外2个〕其他问题：利用相应知识解决，比方和差分倍和盈亏；【复杂的行程】1、屡次相遇问题；2、环形行程问题；3、运用比例、方程等解复杂的题；典型例题解析1直线型的屡次相遇问题如果甲乙从A，B两点出发，甲乙第n次迎面相遇时，路程和为全长的2n-1倍，而此时甲走的路程也是第一次相遇时甲走的路程的2n-1倍〔乙也是如此〕。总结：假设两人走的一个全程中甲走1份总结：假设两人走的一个全程中甲走1份X米，那么两人走3个全程中甲就走3份X米。请自己总结追及，以及从同一起点出发的情况。【例1】〔★★〕湖中有A，B两岛，甲、乙二人都要在两岛间游一个来回。两人分别从A，B两岛同时出发，他们第一次相遇时距A岛700米，第二次相遇时距B岛400米。问：两岛相距多远？【例2】〔★★★〕甲、乙二人分别从A、B两地同时相向而行，乙的速度是甲的,二人相遇后继续行进，甲到B地、乙到A地后立即返回。二人第二次相遇的地点距第一次相遇的地点是20千米，那么，A、B两地相距＿＿＿千米。【来源】北京市第一届“迎春杯〞初赛第二题第5题【练习】甲、乙两车同时从A，B两地相向而行，在距B地54千米处相遇。他们各自到达对方车站后立即返回原地，途中又在距A地42千米处相遇。求两次相遇地点的距离。【例3】〔★★★〕甲、乙两车分别从A、B两地出发，在A、B之间不断往返行驶，甲车的速度是每小时15千米，乙车的速度是每小时35千米，并且甲、乙两车第三次相遇〔这里特指面对面的相遇〕的地点与第四次相遇的地点恰好相距100千米，那么，A、B两地之间的距离等于_________千米。【来源】1993年小学数学奥林匹克初赛A卷第12题【例4】〔★★★〕有一路电车的起点站和终点站分别是甲站和乙站。每隔5分钟有一辆电车从甲站出发开往乙站，全程要走15分钟。有一个人从乙站出发沿电车路线骑车前往甲站。他出发的时候，恰好有一辆电车到达乙站。在路上他又遇到了10辆迎面开来的电车，才到达甲站。这时候，恰好又有一辆电车从甲站开出。问他从乙站到甲站用了多少分钟?【来源】第一届“华杯赛〞初赛第16题2环形跑道的屡次相遇问题【例5】〔★★★〕在一圆形跑道上，甲从A点、乙从B点同时出发反向而行，6分后两人相遇，再过4分甲到达B点，又过8分两人再次相遇。甲、乙环行一周各需要多少分？【例6】〔★★★〕如右图，A，B是圆的直径的两端，甲在A点，乙在B点同时出发反向而行，两人在C点第一次相遇，在D点第二次相遇。C离A有80米，D离B有60米，求这个圆的周长。【例7】〔★★★〕甲、乙两名同学在周长为300米圆形跑道上从同一地点同时背向练习跑步，甲每秒钟跑3.5米，乙每秒钟跑4米，问：他们第十次相遇时，甲还需跑多少米才能回到出发点？【例8】〔★★★★〕甲、乙两名运发动在周长400米的环形跑道上进行10000米长跑比赛，两人从同一起跑线同时起跑，甲每分跑400米，乙每分跑360米，当甲比乙领先整整一圈时，两人同时加速，乙的速度比原来快【来源】第九届《小数报》数学竞赛决赛应用题第3题【例9】〔★★★〕右图中，外圆周长40厘米，画阴影局部是个“逗号〞，两只蚂蚁分别从A，B同时爬行。甲蚂蚁从A出发，沿“逗号〞四周顺时针爬行，每秒爬3厘米；乙蚂蚁从B出发，沿外圆圆周顺时针爬行，每秒爬行5厘米。两只蚂蚁第一次相遇时，乙蚂蚁共爬行了多少米？钟表问题【例10】〔★★★〕王叔叔有一只手表，他发现手表比家里的闹钟每小时快30秒。而闹钟却比标准时间每小时慢30秒，那么王叔叔的手表一昼夜比标准时间差＿＿秒。【来源】北京市第三届“迎春杯〞决赛第一题第8题与分数百分数相结合的行程问题【例11】〔★★〕一辆车从甲地开往乙地。如果车速提高20%，可以比原定时间提前一小时到达；如果以原速行驶120千米后，再将车速提高25%，那么可以提前40分钟到达。那么甲乙两地相距多少千米？【来源】92年小学数学奥林匹克竞赛决赛试题5其它常考的行程问题【例12】某城市东西路与南北路交汇于路口A，甲在路口A南边560米的B点，乙在路口A。甲向北，乙向东同时匀速行走。4分钟后二人距A的距离相等。再继续行走24分钟后，二人距A的距离恰又相等。问：甲、乙二人的速度各是多少？【来源】第六届“华杯赛〞决赛第7题【例13】〔★★★〕学校组织春游，同学们下午一点出发，走了一段平坦的路，爬了一座山，然后按原路返回，下午七点回到学校。他们的步行速度平地为4千米／时，上山为3千米／时，下山为6千米／时。问：他们一共走了多少路？【例14】〔★★★★〕如以下图所示，A至B是下坡，B至C是平路，C至D是上坡。小张和小王在上坡时步行速度是每小时4千米，平路时步行速度是每小时5千米，下坡时步行速度是每小时6千米。小张和小王分别从A和D同时出发，1小时后两人在E点相遇。E在BC上，并且E至C的距离是B至C距离的1/5。当小王到达A后9分钟，小张到达D。那么A至D全程长是多少千米？小结本讲主要接触到以下几种典型题型：1〕直线型的屡次相遇问题。参见例1，2，3，42〕环形跑道的屡次相遇问题。参见例5，6，7，8，93〕钟表问题。参见例104〕与分数百分数相结合的行程问题。参见例115〕其它常考的行程问题。参见例12，13，14【课外知识】断金链难题一位来自阿肯色州的年轻太太格罗丽亚,正在加利福尼亚州旅行.她想在旅馆租用一个房间,租期一周.办事员此时正心绪不佳.办事员:"房费每天20元,要付现钱.格罗丽亚:"很抱歉,先生,我没带现钱.但是我有一根金链,共7节,每节都值20元以上.办事员:"好吧,把金链给我."格罗丽亚:"现在不能给你.我得请珠宝匠把金链割断,每天给你一节,等到周末我有了现钱再把金链赎回.办事员终于同意了,但格罗丽亚必须决定如何断开金链的方法.格罗丽亚:"我该三思而行,因为珠宝匠是按照他所切割和以后重新连接的节数来索价的.格罗丽亚想了一下,悟到她不必把每一节都割断,因为她可以把一段段金链换进换出,以这种方式来付房费.当她算出需要请珠宝匠割断的节数时,她几乎不能自信.你想一想需要割开多少节?只需要割开一节.这一节应是从一端数起的第三节.把金链断开成1节,2节,4节这样三段后就能以换进换出的方式每天付给办事员一节作为房费.啊哈!领悟到以下两点才能解题.第一,至少需要有1节,2节,4节这样三段(即其节数成二重级数的一些段),这样才能以各种不同的组合方式组成1节,2节,3节,4节,5节,6节和7节.我们在药品混乱问题中已经知道,这就是作为二进制记数法根底的幂级数.第二,只需要割开一节就可以把金链分成符合要求的三段.关于这个问题,假设把金链的长度增加,那么可以想出一些新的问题.例如,假设格罗丽亚有一根63节的金链,她想把金链割开,以上面那种方式来付63天的房费(价格不变).要到达此种目的只需要割开三节.你想出来了吗?你能否根据金链的不同长度设计一个通用的解题程序,要求分割开的节数为最少?有一个有趣的变相问题:假设所经手的n节首尾相连的闭合回路,例如说格罗丽亚有一串金项链,由79节相连而成,假设每天房费为一节,试问最少需要分割开几节才能支付79天房费?这些问题使我们想到了二进制记数法.比方格罗丽亚的63节金项链如何分割?将63化成二进制表示:等于"111111"即63=1+2+4+8+16+32但是要把其中的2分成两个1，因为在4、8、16、32之间有三个间隔，这条金链子被分割成4段，也就从那三个间隔处割开了三节，所以63应该分成1、1、1、4、8、16、32。对于其他任意类型的数,却不能奏效,比方对于19节金项链,19的二进制记数法表示为"10011".即19=1+2+0+0+16,这样从1到3都能表示,可是从4到15都没法表示了。可以这样:你不是要求节数最少吗?假设n=a+b其中a是已经找到的最大的那一节数,b是比n小的已经解决了的金链问题,由于b已经解决,因此b的拆分能够表示从1,2,3,...b-1,b的所有金链节数,而再大一些的数就不能够表示了,比方b+1,所以必须要a参加进来,如果n是奇数,可令a=b+1,这样n=2b+1,所以b=(n-1)/2,a=(n+1)/2,这样就找到了最大的一节的节数a,然后对b=(n-1)/2继续应用如上的方法,即可解决问题.如果n是偶数,可令a=b,这样虽然a本身不能表示出b+1,但是可以从b的拆分中拿出一个1来(这个1是必须存在的,因为要表示从1,2,3,...b-1,b的所有数)与a组成a+1也就是b+1.所以n=a+b=2a=2b,a=b=n/2.这样也找到了n为偶数时最大的一节金链的节数.对于b继续如上的过程,就可以找到全部应该断开的金链节数,我算出了从1到16的所有拆分如下:1=12=1+13=1+1+14=1+1+25=1+1+36=1+2+37=1+2+48=1+1+2+49=1+1+2+510=1+1+3+511=1+1+3+612=1+1+2+3+513=1+1+2+3+614=1+1+1+4+715=1+1+1+4+816=1+1+2+4+8上面的分成偶数节数是这样分的，比方8=1+1+2+4，是将第三节、第四节割开。对于19节金链子,19+1=20,20/2=10,最大的一节是10节,19-10=9,9+1=10,10/2=5,又找到了一节是5,9-5=4,4的表示法如上已经列出来了:4=1+1+2.最后得到19节的金链子的分割法:1,1,2,5,10.过去我也碰到过一道类似的题,是23节金链子,也能够很容易地解决:23+1=24,24/2=12;23-12=11,11=1+1+3+6;所以23的分割法为:1,1,3,6,12.显然,对于2k-1类型的数,用这里的方法与用二进制记数法得出的结果是一致的.当然,一个数的拆分不是唯一的,例如把15这样分割,会得到:1,1,2,4,7.也能够满足付房费的要求.上面提到的都是对于金链子的分割问题，对于金项链这样闭环的情况，要增加一节，只要把第一个不为1的数分出去一个1即可到达目的。如上面提到的79节金项链,(79+1)/2=40,79-40=39,(39+1)/2=20,39-20=19,19=1+1+2+5+10，所以我们得到1，1，2，5，10，20，40，但是在2，5，10，20，40之间有4个空隙，要将2分成1+1，这样也满足闭环的分割要求了，最后得到1，1，1，1，5，10，20，40。作业题〔注：作业题--例题类型对照表，供参考〕题1，2—类型4；题3，4，6—类型5；题5—追及问题，题7—火车问题。1、〔★★★〕客车和货车同时从甲、乙两地相向开出，客车行完全程需10时，货车行完全程需15时。两车在中途相遇后，客车又行了90千米，这时客车行完了全程的80％，求甲、乙两地的距离。2、〔★★★〕甲、乙两车分别从A、B两地出发，相向而行。出发时，甲、乙的速度比是5：4，相遇后，甲的速度减少20%，乙的速度增加20%，这样，当甲到达B地时，乙离A地还有10千米。那么A、B两地相距多少千米？3、〔★★〕一位少年短跑选手，顺风跑90米用了10秒钟，在同样的风速下，逆风跑70米，也用了10秒钟。问：在无风的时候，他跑100米要用多少秒？4、〔★★★〕甲、乙两人同时从山脚开始爬山，到达山顶后就立即下山。他们两人下山的速度都是各自上山速度的2倍。甲到山顶时，乙距山顶还有400米；甲回到山脚时，乙刚好下到半山腰。求从山脚到山顶的距离。5、〔★★★〕甲、乙、丙三辆车先后从A地开往B地，乙比丙晚出发5分，出发后45分追上丙；甲比乙晚出发15分，出发后1时追上丙。甲出发后多长时间追上乙？6、〔★★★★〕游乐场的溜冰滑道如以下图。溜冰车上坡每分行400米，下坡每分行600米。从A点到B点需3.7分，从B点到A点只需2.5分。问：AC比BC长多少米？7、〔★★〕铁路旁的一条平等小路上，有一行人与一骑车人同时向南行进，行人速度为3.6千米/小时，骑车人速度为10.8千米/小时。这时，有一列火车从他们背后开过来，火车通过行人用22秒钟，通过骑车人用26秒钟。这列火车的车身总长是＿＿＿＿〔①386米②56米③781米④286米【来源】北京市第三届“迎春杯〞第二题第1题名校真题测试卷6〔找规律篇〕时间：15分钟总分值5分姓名_________测试成绩_________1〔清华附中考题〕如果将八个数14，30，33，35，39，75，143，169平均分成两组，使得这两组数的乘积相等，那么分组的情况是什么？2〔三帆中学考题〕观察1+3=4

；

4+5=9

；

9+7=16

；

16+9=25

；

25+11=36

这五道算式，找出规律，然后填写2001＋〔

〕＝2002〔西城实验考题〕一串分数：其中的第2000个分数是.4〔东城二中考题〕在2、3两数之间,第一次写上5,第二次在2、5和5、3之间分别写上7、8(如下所示),每次都在已写上的两个相邻数之间写上这两个相邻数之和.这样的过程共重复了六次,问所有数之和是多少?2……7……5……8……35(人大附中考题)请你从01、02、03、…、98、99中选取一些数，使得对于任何由0～9当中的某些数字组成的无穷长的一串数当中，都有某两个相邻的数字，是你所选出的那些数中当中的一个。为了到达这些目的。(1)请你说明：11这个数必须选出来；(2)请你说明：37和73这两个数当中至少要选出一个；(3)你能选出55个数满足要求吗？第六讲小升初专项训练-----找规律篇小升初考试热点及命题方向找规律问题在小升初考试中几乎每年必考，但考题的分值较低，多以填空题型出现。在刚刚结束的06年小升初选拔考试中，人大附中，首师附中，十一学校，西城实验，三帆，西外，东城二中和五中都涉及并考察了这一类题型。典型例题解析1与周期相关的找规律问题【例1】、〔★★〕化小数后，小数点后假设干位数字和为1992，求n为多少？【例2】、〔★★〕将八个数从左到右排成-行，从第3个数开始，每个数都恰好等于它前面两个数之和.如果第7个数与第8个数分别是81，131，那么第1个数是【来源】1993年小学数学奥林匹克初赛B卷第5题【例3】、〔★★★〕某人连续打工24天，赚得190元(日工资10元，星期六做半天工，发半工资，星期日休息，无工资).他打工是从1月下旬的某一天开始的，这个月的1号恰好是星期日.问：这人打工结束的那一天是2月几日?【来源】第五届“华杯赛〞初赛第16题2图表中的找规律问题【例4】、〔★★〕将自然数1，2，3，4，…按箭头所指方向顺序排列(如图)，依次在2，3，5，7，10，…等数的位置处拐弯.(1)如果2算作第-次拐弯处，那么，第45次拐弯处的数是.(2)从1978到2023的自然数中，恰在拐弯处的数是.【来源】北京市第十二届“迎春杯〞决赛第三题第3题【例5】〔★★★〕自然数如下表的规那么排列：求：〔1〕上起第10行，左起第13列的数；〔2〕数127应排在上起第几行，左起第几列？较复杂的数列找规律【例6】、〔★★★〕设1，3，9，27，81，243是6个给定的数。从这六个数中每次或者取1个，或者取几个不同的数求和〔每一个数只能取1次〕，可以得到一个新数，这样共得到63个新数。把它们从小到大一次排列起来是1，3，4，9，10，12，…，第60个数是______。【来源】1989年小学数学奥林匹克初赛第15题【例7】、〔★★★〕在两位数10，11，…，98，99中，将每个被7除余2的数的个位与十位之间添加-个小数点，其余的数不变.问：经过这样改变之后，所有数的和是多少?【来源】第五届“华杯赛〞初赛第15题【例8】、〔★★★〕小明每分钟吹-次肥皂泡，每次恰好吹出100个.肥皂泡吹出之后，经过1分钟有-半破了，经过2分钟还有没有破，经过2分半钟全部肥皂泡都破了·小明在第20次吹出100个新的肥皂泡的时候，没有破的肥皂泡共有个.【来源】1990年小学数学奥林匹克决赛第8题与斐波那契数列相关的找规律【引言】：有个人想知道，一年之内一对兔子能繁殖多少对？于是就筑了一道围墙把一对兔子关在里面。一对兔子每个月可以生一对小兔子，而一对兔子出生后在第二个月就开始生小兔子。假设一年内没有发生死亡现象，那么，一对兔子一年内能繁殖成多少对？现在我们先来找出兔子的繁殖规律，在第一个月，有一对成年兔子，第二个月它们生下一对小兔，因此有二对兔子，一对成年，一对未成年；到第三个月，第一对兔子生下一对小兔，第二对已成年，因此有三对兔子，二对成年，一对未成年。月月如此。第1个月到第6个月兔子的对数是：1，2，3，5，8，13。我们不难发现，上面这组数有这样一个规律：即从第3个数起，每一个数都是前面两个数的和。假设继续按这规律写下去，一直写到第12个数，就得：1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233。显然，第12个数就是一年内兔子的总对数。所以一年内1对兔子能繁殖成233对。在解决这个有趣的代数问题过程中，斐波那契得到了一个数列。人们为纪念他这一发现，在这个数列前面增加一项“1”后得到数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，……叫做“斐波那契数列〞，这个数列的任意一项都叫做“斐波那契数〞。【例9】〔★★〕数学家泽林斯基在一次国际性的数学会议上提出树生长的问题：如果一棵树苗在一年以后长出一条新枝，然后休息一年。再在下一年又长出一条新枝，并且每一条树枝都按照这个规律长出新枝。那么，第1年它只有主干，第2年有两枝，问15年后这棵树有多少分枝〔假设没有任何死亡〕？【例10】〔★★〕有一堆火柴共10根，如果规定每次取1～3根，那么取完这堆火柴共有多少种不同取法？【例11】〔★★★〕对一个自然数作如下操作：如果是偶数那么除以2，如果是奇数那么加1，如此进行直到得数为1操作停止。问经过9次操作变为1的数有多少个？【来源】仁华考题5有趣的猫捉耗子规律注：有一个很知名的游戏，猫捉耗子的游戏，一只猫让一群老鼠围成一圈报数，每次报单数的吃掉，有一只老鼠总不被吃掉，问这个老鼠站在哪个位置？因此我们称之为猫捉耗子的问题。【例12】、〔★★★〕50只耗子排成一排，1到50报号，奇数号的出列，剩下的偶数号再报号，再奇数列出列…一直这样，问最后一只剩下的是原来的几号？【拓展】123自然数列一直写到100，然后按数码编号，擦去奇数号，留下的数再编号，再擦去奇数号……这样请问最后留下的3个数字是＿＿＿。【例13】、〔★★★〕50枚棋子围成圆圈，编上号码1、2、3、4、……、50，每隔一枚棋子取出一枚，要求最后留下的一枚棋子的号码是42号，那么该从几号棋子开始取呢？【来源】03年圆明杯数学竞赛试题【例14】、〔★★★〕把1～1993这1993个自然数，按顺时针方向依次排列在一个圆圈上，如图12—1，从1开始沿顺时针方向，保存1，擦去2；保存3，擦去4；……〔每隔一个数，擦去一个数〕，转圈擦下去。求最后剩的是哪个数？练习按照例14的操作规那么〔1〕如果是1～900这900个自然数，最后剩的是哪个数？〔2〕如果是1～1949这1949个自然数，最后剩的是哪个数？把1～n这n个自然数，按顺时针方向依次排列在一个圆圈上，从1开始，顺时针方向，隔过1，擦去2，隔过3，擦去4，……〔每隔一个数，擦去一个数〕。最后剩下的数x是哪个数？【拓展】：如果还是上面例题，但改为保存1，擦去2；保存3，擦去4；……〔每隔一个数，擦去一个数〕，转圈擦下去。求最后剩的是哪个数？小结本讲主要接触到以下几种典型题型：1〕与周期相关的找规律问题参见例1，2，32〕图表中的找规律问题参见例4，53〕较复杂的数列找规律参见例6，7，84〕与斐波那契数列相关的找规律参见例，9，10，115〕有趣的猫捉耗子规律参见例12，13，14，15作业题〔注：作业题--例题类型对照表，供参考〕题1—类型3；题2，3，4—类型5；题5，6，7，8—类型2，１、〔★〕一串有规律的数：1，2/3，5/8，13/21，34/55，…。那么，在这串数中，从左往右数，第10个数是________。２、〔★★★〕在一个圆圈上，逆时针标上1、2、3、…、19，从某个数起取走该数，然后沿逆时针方向每隔一个数取走一个数，如果最后剩下数1。求从哪个数起？３.〔★★★〕把1～1992为1992个数，按逆时针方向排在一个圆圈上，从1开始逆时针方向，保存1，涂掉2；保存3，涂掉4，……。〔每隔一个数涂去一个数〕，求最后剩下哪个数？４.〔★★★〕把1～1987这1987个数，均匀排成一个大圆圈。从1开始数，隔过1，划掉2，3；隔过4，划掉5，6；……，〔每隔一个数，划掉两个数〕一直划下去，问最后剩下哪个数？５.〔★★〕如以下图，小方和小张进行跳格子游戏，小方从A跳到B，每次可跳1步或2步；小张从C跳到D，每次可跳1步、2步或3步。规定：谁跳到目标处的不同跳法最多，谁就获胜。问获胜方的跳法比另一方多种。ACBD6、〔★★〕如以下图，从A处穿过房间到达B处，如果要求只能从小号码房间走向大号码房间，那么共有多少种不同的走法？7、〔★★★〕如数表：第1行123…1415第2行302928…1716第3行313233…4445……第n行…………A………………第n＋1行…………B………………第n行有一个数A，它的下一行〔第n＋1行〕有一个数B，且A和B在同一竖列。如果A+B＝391，那么n=_______。【来源】1995年小学数学奥林匹克初赛A卷第7题、B卷第9题8、观察下面数表(横排为行)：根据前5行数所表达的规律，说明：这个数位于由上而下的第几行?在这-行中，它位于由左向右的第几个?【来源】第三届“华杯赛〞决赛-试第3题名校真题测试卷7〔工程篇〕时间：15分钟总分值5分姓名_________测试成绩_________1〔三帆中学考题〕原方案18个人植树，按方案工作了2小时后，有3个人被抽走了，于是剩下的人每小时比原方案多种1棵树，还是按期完成了任务.原方案每人每小时植______棵树.2〔首师附中考题〕一项工程，甲做10天乙20天完成，甲15天乙12也能完成。现乙先做4天，问甲还要多少天完成？〔人大附中考题〕一部书稿，甲单独打字要14小时完成，乙单独打字要20小时完成。如果先由甲打1小时，然后由乙接替甲打1小时，再由甲接替乙打1小时，……两人如此交替工作。那么，打完这部书稿时，甲、乙二人共用了多少小时？4〔西城四中考题〕如果用甲、乙、丙三那根水管同时在一个空水池里灌水，1小时可以灌满；如果用甲、乙两管，1小时20分钟可以灌满；如果用乙、丙两根水管，1小时15分钟可以灌满，那么，用乙管单独灌水的话，灌满这一池的水需要______小时。5(北大附中考题)一项工程，预计15个工人每天做4个小时，18天可以完成。为了赶工期，增加3人并且每天工作时间增加1小时，可以提前_______天完工。第七讲小升初专项训练-----工程篇小升初考试热点及命题方向罗巴切夫斯基是俄国数学家。曾经有一位承包商向他请教过一个工程问题：

某项工程，假设甲、乙单独去做，甲比乙多用4天完成；假设甲先做2天后，再和乙一起做，那么共用7天可完成，问甲、乙两人单独做此工程各需多少天完成？

答案：

设甲、乙两人每人完成该项工程的一半，以题意，甲、乙两人单独完成，甲比乙多用4天，所以每人单独完成一半时，甲比乙多用2天。

另外，甲先做2天，然后与乙合作，7天完成，这就是说，甲、乙共同完成全部工作时〔每人做一半〕，相差刚好2天，那么很明显，甲在7天中正好完成了工程的一半，而乙在5天中也完成了工程的一半。

这样，甲单独完成要14天，乙单独完成要10天。工程问题在历届考试中之所以难，是因为工程问题中比例和单位“1〞综合。还有就是学生欠缺一些固定的条件的理解和转化能力。知识要点在工程问题中，一般要出现三个量：工作总量、工作时间〔完成工作总量所需的时间〕和工作效率〔单位时间内完成的工作量〕。【根本公式】：这三个量之间有下述一些关系式：工作效率×工作时间＝工作总量；工作总量÷工作时间＝工作效率；工作总量÷工作效率＝工作时间。为表达方便，把这三个量简称工量、工时和工效。【规律总结】：不要求记忆，但要求能够理解和运用。〔1〕工效提高了a%,工作总量不变的前提下，工时那么变为原来的100/(100+a)。时间缩短了a/(100+a)。〔2〕工效降低了a%,工作总量不变的前提下，工时那么变为原来的100/(100-a)。时间延长了a/(100-a)。(3)工效提高了a/b,工作总量不变的前提下，工时那么变为原来的a/(a+b)。时间缩短了b/(a+b)。(4)工效降低了a/b,工作总量不变的前提下，工时那么变为原来的b/〔b-a〕。时间延长了a/(b-a)。(5)当出现甲工作了一段时间a，乙工作了一段时间b，那么通常是把条件处理为甲乙和干了a〔或b时间〕后甲单干〔a-b〕〔或乙单干〔b-a〕段时间〕典型例题解析1涉及二者的工程问题【例1】〔★★〕一项工程，甲单独做6天完成，乙单独做12天完成。现两人合作，途中乙因病休息了几天，这样用了4.5天才完成任务。乙因病休息了几天？【例2】〔★★〕有240个零件，平均分给甲、乙两个车间加工。乙车间有紧急任务，因此在甲车间开始加工了4小时之后才开始加工这批零件，而且比甲车间晚40分钟才完成任务。乙车间的效率是甲车间的3倍，那么甲车间每小时能加工多少个零件？2涉及三者的工程问题【例3】〔★★★〕一项工程，甲队单独做24天完成，乙队单独做30天完成。现在甲、乙两队先合做8天，剩下的由丙队单独做了6天完成了此项工程。如果从开始就由丙队单独做，需要几天？【例4】〔★★★〕某工程由甲、乙两个工程队合作需要12天完成。甲工程队工作3天后离开，同时乙、丙两个工程队参加，又工作了3天后，乙工程队离开，此时刚好完成工程的一半，那么剩下的工程如果由丙工程队单独完成，还需要几天？【例5】〔★★★〕马师傅和张师傅合伙加工一批零件，原方案马师傅每天比张师傅多加工8个零件，共用了15天完成。张师傅为了赶上马师傅的效率，叫了一个徒弟从一开始就来帮助，结果师徒俩每天反比马师傅还多加工4个零件，这样用了12天就完成了，那么马师傅每天加工多少个零件？【例6】〔★★★〕有甲、乙、丙三组工人，甲组4人的工作，乙组需要5人来完成；乙组的3人工作，丙组需要8人来完成。一项工作，需要甲组13人来完成，乙组15人3天来完成。如果让丙组10人去做，需要多少天来完成？涉及多者的工程问题【例7】〔★★〕一项工程，45人可以假设干天完成。现在45人工作6天后，调走9人干其他工作。这样，完成这项工程就比原来方案多用了4天。原方案完成这项工程用多少天？【例8】〔★★★〕A、B、C、D、E五个人干一项工作，假设A、B、C、D四人一起干需要6天完成；假设四人干，需要8天完工；假设A、E两人一起干，需要12天完工。那么，假设E一人单独干需要几天完工？【例9】〔★★★★〕某工程如果由第一、二、三小队合干需要12天都能完成；如果由第一、三、五小队合干需要7天完成；如果由第二、四、五小队合干需要8天都能完成；如果由第一、三、四小队合干需要42天都能完成。那么这五个小队一起合作需要多少天才能完成这项工程？水箱注水的工程问题【例10】〔★★★〕水池安装A、B、C、D、E五根水管，有的专门放水，有的专门进水。如果每次用两根水管同时工作，注满一池水所用时间如下表所示：A，BC，DE，AD，EB，C2610315如果选用一根水管注水，要尽快把空池注满，问应选用哪根水管？【例11】〔★★★〕有甲、乙两根水管，分别同时给两个大小相同的水池A和B注水，在相同时间内甲、乙两管注水量之比7：5。经过时，A、B两池中已注入水之和恰好是一池水。此后，甲管的注水速度提高25％，乙管的注水速度降低30％。当甲管注满A池时，乙管还需多长时间注满B池？5较复杂的工程问题【例12】〔★★★★〕一项工程，乙单独做需要17天完成；如果第一天由甲作，第二天乙做，这样交替轮流做，那么恰好整数天完工；如果第一天乙做，第二天甲做，这校交替轮流做，那么比上次轮流的做法要多