导数及其应用综合提升讲义

导数及其应用综合提升讲义一．考点整合1.导数：当趋近于零时，趋近于常数c。可用符号“〞记作：当时，或记作，符号“〞读作“趋近于〞。函数在的瞬时变化率，通常称作在处的导数，并记作。2.导函数：如果在开区间内每一点都是可导的，那么称在区间可导。这样，对开区间内每个值，都对应一个确定的导数。于是，在区间内，构成一个新的函数，我们把这个函数称为函数的导函数。记为或〔或〕。3.导数的四那么运算法那么：1〕函数和〔或差〕的求导法那么：设，是可导的，那么即，两个函数的和〔或差〕的导数，等于这两个函数的导数的和〔或差〕。2〕函数积的求导法那么：设，是可导的，那么即，两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘上第二个函数，加上第一个函数乘第二个函数的导数。3〕函数的商的求导法那么：设，是可导的，，那么4.复合函数的导数:设函数在点处有导数,函数在点的对应点处有导数,那么复合函数在点处有导数,且.5.几种常见函数的导数：(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)6.表示处的导数，即是函数在某一点的导数；表示函数在某给定区间内的导函数，此时是在上的函数，即是在内任一点的导数。7.导数与连续的关系假设函数在处可导，那么此函数在点处连续，但逆命题不成立，即函数在点处连续，未必在点可导，也就是说，连续性是函数具有可导性的必要条件，而不是充分条件。8.由于函数在处的导数，表示曲线在点处切线的斜率，因此，曲线在点处的切线方程可如下求得：〔1〕求出函数在点处的导数，即曲线在点处切线的斜率。〔2〕在切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程为：，如果曲线在点的切线平行于轴〔此时导数不存在〕时，由切线定义可知，切线方程为.9.极值：设函数在点附近有定义，且假设对附近的所有的点都有〔或〕，那么称为函数的一个极大〔小〕值，称为极大〔小〕值点.求可导函数极值的步骤:①求导数。求方程的根.②求方程的根.③检验在方程的根的左右的符号，如果在根的左侧附近为正，右侧附近为负，那么函数在这个根处取得极大值；如果在根的右侧附近为正，左侧附近为负，那么函数在这个根处取得极小值.10.函数的最大值和最小值〔1〕设是定义在区间上的函数，在内有导数，求函数在上的最大值与最小值，可分两步进行.①求在内的极值.②将在各极值点的极值与、比拟，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.假设函数在上单调增加，那么为函数的最小值，为函数的最大值；假设函数在上单调递减，那么为函数的最大值，为函数的最小值.11.微积分根本定理：如果，且在上可积.那么.其中叫做的一个原函数.由于，也是的原函数，其中为常数.二．典例详解1.f(x)在x=a处可导，且f′(a)=b，求以下极限：〔1〕；〔2〕分析：在导数定义中，增量△x的形式是多种多样，但不管△x选择哪种形式，△y也必须选择相对应的形式。利用函数f(x)在处可导的条件，可以将已给定的极限式恒等变形转化为导数定义的结构形式。解：〔1〕〔2〕2.,那么.解：设,,那么.〔注意对数求导法〕函数判断f(x)在x=1处是否可导？解：∴f(x)在x=1处不可导.点评：函数在某一点的导数，是一个极限值，即，△x→0，包括△x→0＋，与△x→0－，因此，在判定分段函数在“分界点〞处的导数是否存在时，要验证其左、右极限是否存在且相等，如果都存在且相等，才能判定这点存在导数，否那么不存在导数.3.在处可导，那么思路：在处可导，必连续∴∴4.求在点和处的切线方程。解：即过点的切线的斜率为4，故切线为：．设过点的切线的切点为，那么切线的斜率为，又，故，。即切线的斜率为4或12，从而过点的切线为：点评：要注意所给的点是否是切点．假设是，可以直接采用求导数的方法求；不是那么需设出切点坐标．5.〔2023北京理〕函数(),.(1)假设曲线与曲线在它们的交点(1,)处具有公共切线,求的值;(2)当时,求函数的单调区间,并求其在区间上的最大值.解:(1)由为公共切点可得:,那么,,,那么,,①又,,,即,代入①式可得:.(2),设那么,令,解得:,;,,原函数在单调递增,在单调递减,在上单调递增①假设,即时,最大值为;②假设,即时,最大值为③假设时,即时,最大值为.综上所述:当时,最大值为;当时,最大值为.6.〔2023山东理〕函数(为常数,是自然对数的底数),曲线在点处的切线与轴平行.(Ⅰ)求的值;(Ⅱ)求的单调区间;(Ⅲ)设,其中为的导函数.证明:对任意.解析:由f(x)=可得,而,即,解得;(Ⅱ),令可得,当时,;当时,.于是在区间内为增函数;在内为减函数.(Ⅲ),(1)当时,,.(2)当时,要证.只需证即可设函数.那么,那么当时,令解得,当时;当时,那么当时,且,那么,于是可知当时成立综合(1)(2)可知对任意x>0,恒成立.另证1:设函数,那么,那么当时,于是当时,要证,只需证即可,设,,令解得,当时;当时,那么当时,于是可知当时成立综合(1)(2)可知对任意x>0,恒成立.另证2:根据重要不等式当时,即,于是不等式,设,,令解得,当时;当时,那么当时,于是可知当时成立.7.函数在上是减函数，求的取值范围.解:，在上是减函数，在上恒成立，且，即且，.8.〔2023安徽文〕设定义在(0,+)上的函数(Ⅰ)求的最小值;(II)假设曲线在点处的切线方程为,求的值.【解析】(I)当且仅当时,的最小值为(II)由题意得:①②由①②得:9.求证以下不等式〔1〕〔相减〕〔2〕〔相除〕证：〔1〕∴为上∴恒成立∴∴在上∴恒成立〔2〕原式令∴∴∴10.〔2023新课标理〕函数满足满足;(1)求的解析式及单调区间;(2)假设,求的最大值.【解析】(1)令得:得:在上单调递增得:的解析式为且单调递增区间为,单调递减区间为(2)得①当时,在上单调递增时,与矛盾②当时,得:当时,令;那么当时,当时,的最大值为11.〔2023天津理〕函数的最小值为,其中.(Ⅰ)求的值;(Ⅱ)假设对任意的,有成立,求实数的最小值;(Ⅲ)证明.解：(1)的定义域为得：时，〔2〕设那么在上恒成立〔*〕①当时，与〔*〕矛盾②当时，符合〔*〕得：实数的最小值为(lfxlby)〔3〕由〔2〕得：对任意的值恒成立取：当时，得：〔lbylfx〕当时，得：12.函数的图象如下图．〔I〕求的值；〔II〕假设函数在处的切线方程为，求函数的解析式；〔III〕在〔II〕的条件下，函数与的图象有三个不同的交点，求的取值范围．解：函数的导函数为得〔II〕依题意且解得所以〔III〕．可转化为：有三个不等实根，即：与轴有三个交点；，+0-0+增极大值减极小值增．当且仅当时，有三个交点，故而，为所求．13.设，求函数的单调区间.解：.当时.〔i〕当时，对所有，有.即，此时在内单调递增.〔ii〕当时，对，有，即，此时在〔0，1〕内单调递增，又知函数在x=1处连续，因此，函数在〔0，+〕内单调递增〔iii〕当时，令，即.解得.因此，函数在区间内单调递增，在区间内也单调递增.令，解得.因此，函数在区间内单调递减.14.函数．〔I〕假设函数的图象过原点，且在原点处的切线斜率是，求的值；〔II〕假设函数在区间上不单调，求的取值范围．解析〔Ⅰ〕由题意得又，解得，或〔Ⅱ〕函数在区间不单调，等价于导函数在既能取到大于0的实数，又能取到小于0的实数即函数在上存在零点，根据零点存在定理，有，即：整理得：，解得15.设工厂到铁路线的垂直距离为20km,垂足为B.铁路线上距离B为100km处有一原料供给站C,现要在铁路BC之间某处D修建一个原料中转车站,再由车站D向工厂修一条公路.如果每千米的铁路运费与公路运费之比为3:5,那么,D应选在何处,才能使原料供给站C运货到工厂A所需运费最省?解：设BD之间的距离为km,那么|AD|=,|CD|=.如果公路运费为元/km,那么铁路运费为元/km.故从原料供给站C途经中转站D到工厂A所需总运费为:+,().对该式求导,得=+=,令,即得25=9(),解之得=15,=-15(不符合实际意义,舍去).且=15是函数在定义域内的唯一驻点,所以=15是函数的极小值点,而且也是函数的最小值点.由此可知,车站D建于B,C之间并且与B相距15km处时,运费最省.三．定积分和微积分根本定理16.=_________．解法1由定积分的几何意义知，等于上半圆周()与轴所围成的图形的面积．故=．解法2此题也可直接用换元法求解．令=〔〕，那么====17.求曲线与轴在区间上所围成阴影局部的面积S.解：根据等式求常数的值。1〕2〕解：1〕2〕18.一质点以速度沿直线运动。求在时间间隔上的位移。分析：变速求位移和变力求功一样都可以用定积分解决。解：答：位移为。19.求．解将区间等分，那么每个小区间长为，然后把的一个因子乘入和式中各项．于是将所求极限转化为求定积分．即==．四．不等式中恒成立问题的解法类型1：设，〔1〕上恒成立；〔2〕上恒成立。类型2：设〔1〕当时，上恒成立，上恒成立〔2〕当时，上恒成立上恒成立类型3：。类型4：1.变换主元法对于一次函数有：例.假设不等式对满足的所有都成立，求x的范围。解析：我们可以用改变主元的方法，将m视为主变元，即将元不等式化为：，；令，那么时，恒成立，所以只需即，所以x的范围是。2.判别式法对于一元二次函数有：〔1〕上恒成立；〔2〕上恒成立例.假设不等式的解集是R，求m的范围。解析：要想应用上面的结论，就得保证是二次的，才有判别式，但二次项系数含有参数m，所以要讨论m-1是否是0。〔1〕当m-1=0时，元不等式化为2>0恒成立，满足题意；〔2〕时，只需，所以，。3.函数最值〔或值域〕法〔1〕对任意x都成立；〔2〕对任意x都成立。简单计作：“大的大于最大的，小的小于最小的〞。由此看出，本类问题实质上是一类求函数的最值问题。例.在ABC中，恒成立，求实数m的范围。解析：由，，恒成立，，即恒成立，例.〔1〕求使不等式恒成立的实数a的范围。解析：由于函，显然函数有最大值，。如果把上题稍微改一点，那么答案又如何呢？请看下题：〔2〕求使不等式恒成立的实数a的范围。解析：我们首先要认真比照上面两个例题的区别，主要在于自变量的取值范围的变化，这样使得的最大值取不到，即a取也满足条件，所以。所以，我们对这类题要注意看看函数能否取得最值，因为这直接关系到最后所求参数a的取值。利用这种方法时，一般要求把参数单独放在一侧，所以也叫别离参数法。4.数形结合法对一些不能把数放在一侧的，可以利用对应函数的图象法求解。例.，求实数a的取值范围。解析：由，在同一直角坐标系中做出两个函数的图象，如果两个函数分别在x=-1和x=1处相交，那么由得到a分别等于2和0.5，并作出函数的图象，所以，要想