导数的单调性及极值问题

二轮复习导数〔一〕2023.02.07一、运用导数研究函数的单调性单调区间：求单调区间〔2〕单调区间〔3〕在某区间上不单调运用导数求函数单调区间的思维流程图：答题步骤：第一步：求定义域；第二步：求；第三步：令＝０，求相应的导函数零点值；〔是一次型还是二次型？是否有解？有几个解〕第四步：列表分析函数的单调性，〔列表实际上就是画数轴，也可以认为是穿根解不等式，首先要做的是比拟根的大小以及根于定义域边界的大小〕第五步：由表格写结论。例1：〔2023西城一模〕函数，其中.求的单调区间.解：，．……………6分①当时，令，解得．的单调递减区间为；单调递增区间为，．……8分当时，令，解得，或．②当时，的单调递减区间为，；单调递增区间为，．………10分③当时，为常值函数，不存在单调区间．…………11分④当时，的单调递减区间为，；单调递增区间为，．…………13分1〕分类讨论的特点：二次项系数不确定，一元二次方程根的大小确定。例2：〔2023-2023朝阳第一学期期末〕函数．求函数的单调区间.解：函数的定义域为．〔1〕当时，在上恒成立，那么在上恒成立，此时在上单调递减．……………4分〔2〕当时，，〔ⅰ〕假设，由，即，得或；………………5分由，即，得．………6分所以函数的单调递增区间为和，单调递减区间为．……7分〔ⅱ〕假设，在上恒成立，那么在上恒成立，此时在上单调递增．……8分2〕分类讨论的特点：二次项系数不确定，一元二次方程解的个数不确定。例3：2023年海淀期末函数().求函数的单调区间.解：，，.......................................2分令，得到，由可知，即....................5分即时，.所以,，............6分故的单调递减区间为.................................7分当时，，即，所以，在区间和上，；........8分在区间上，..........9分故的单调递减区间是和，单调递增区间是..........10分③当时，，所以，在区间上；................................11分在区间上，...............................12分故的单调递增区间是，单调递减区间是.............................13分综上讨论可得：当时，函数的单调递减区间是；当时，函数的单调递减区间是和，单调递增区间是；当时，函数的单调递增区间是，单调递减区间是.3〕分类讨论的特点：二次函数的开口已确定，两个根大小不确定〔相等和小于两种情况〕，一根是否在目标区域不确定，需要讨论。例4：函数.求的单调区间.对于导函数符号的讨论.由于是函数定义域的要求，可以将对符号的讨论进一步化简为只需讨论的符号了.而条件限定了，从而决定了函数的类型是一次函数或二次函数，也就决定了分类讨论标准分为两大类：和.当时，二次函数的讨论涉及零点和大小的比拟，还需分三种情况.解：，.当时，.所以，在区间上，；在区间上，.故得单调递增区间是，单调递减区间是.当时，由，得，所以，在区间和上，；在区间上，故得单调递增区间是和，单调递减区间是.当时，.故得单调递增区间是.当时，，得，.所以,在区间和上，；在区间上，.故得单调递增区间是和，单调递减区间是综上讨论可得：略4〕分类讨论的特点：二次项系数不确定，二次方程的两根大小不确定，需要讨论。例5：(2023年)函数〔Ⅰ〕求的单调区间；〔Ⅱ〕假设对于任意的，都有，求的取值范围.解：〔Ⅰ〕令，得.当k>0时，的情况如下：x()(,k)k+0-0+↗↘0↗所以，的单调递增区间是〔〕和；单调递减区间是.当k<0时，的情况如下：x()(,k)k-0+0-↘0↗↘所以，的单调递减区间是〔〕和；单调递增区间是.〔Ⅱ〕当k>0时，因为，所以不会有当k<0时，由〔Ⅰ〕知在〔0，+〕上的最大值是所以等价于解得.故当时，k的取值范围是5〕分类讨论的特点：二次项系数不确定，二次方程的两根大小不确定，需要讨论。当讨论二次项系数的符号时，就可进一步确定两个根的大小关系。二、含参函数在区间上的单调或不单调或存在单调区间，求参数的取值范围.练习：1.函数，假设在区间上单调递增，求的取值范围.2.函数，为常数，且在区间上单调递减，求的取值范围.3.函数，在区间上单调递增，求的取值范围.4.函数在(0，＋∞上不单调，求实数的取值范围。5.设函数，假设函数在[1，2]上存在单调递增区间，求实数的取值范围.例6：函数〔0＜a＜1〕，求证在[0，＋∞上不单调。三、函数的极值点.1.〔2023年湖北〕为常数,函数有两个极值点,那么〔〕A.B．C．D．2.〔2023北京文科〕设函数，，且方程的两个根分别为1,4.假设在内无极值点，求a的取值范围.3.设函数有两个极值点，且(1)求的取值范围，并讨论的单调性；〔II〕证明：4.[2023·山东卷]设函数f(x)＝eq\f(ex,x2)－keq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,x)＋lnx))(k为常数，e＝2.71828…是自然对数的底数)．(1)当k≤0时，求函数f(x)的单调区间；(2)假设函数f(x)在(0，2)内存在两个极值点，求k的取值范围．[2023·四川卷]函数f(x)＝ex－ax2－bx－1，其中a，b∈R，e＝2.71828…为自然对数的底数．(1)设g(x)是函数f(x)的导函数，求函数g(x)在区间[0，1]上的最小值；(2)假设f(1)＝0，函数f(x)在区间(0，1)内有零