随机变量及其分布课件

第二章随机变量的分布与数字特征§2.1随机变量及其分布一、随机变量的概念掷一颗骰子,任选一个人,记录某交叉路口在一批灯泡中任取一个,发射炮弹,观察其点数.测量其身高.在任意一个小时内通过的车辆数.测试其使用寿命.记录弹着点与目标的距离.有些随机试验，例如,Ω={正面,反面}于是事件

“硬币出现反面”就表示为虽然其结果但通过适当的规定，令ω=“反面”ω=“正面”就表示为没有直接表现为数量,抛掷一枚硬币一次,“硬币出现正面”也可以用数量表示.抛掷一枚硬币,反正,事件“反反反正”直到首次出现正面为止.正,反反正,反反反正,反反反反正,令X为则的取值范围为就表示为样本空间为抛掷的次数,定义2.1某一随机试验的如果对每一个样本点样本空间,这样就定义了一个定义域为Ω的称之为随机变量.有一个实数与之对应,例如,令ω=“反面”ω=“正面”Ω={正面,反面}，为随机变量.实值函数抛掷一枚硬币,设Ω为例如为随机变量.掷一颗骰子,令“掷出1点”“掷出2点”“掷出6点”例可以统一表示为有3个次品,从中任取2个,其中的次品数为是随机变量.的取值范围是10个产品中二、离散型随机变量的概率分布定义2.2离散型随机变量的特点是如“取到次品的个数”“掷骰子出现的点数”

“某电话交换台只可能取有限个如果随机变量或可数无穷多个值,离散型随机变量.则称是它的所有取值可以逐个一一列举出来.任一小时内收到的呼叫次数”定义2.3称(2.1)式它的一切可能设X取值为且取各个值的概率为的概率分布,的分布.有时也写成X的概率分布为简称记也可以用列表法表示：是离散型随机变量,证(1)概率分布的性质：1.非负性2.归一性例已知求c.解随机变量X的取值范围为且求p.解其中例已知随机变量X的取值范围为所有正偶数，且若离散型的概率分布为则对于集合的任一子集事件

“在中取值”,即“”的概率为例相互独立.规则是：投中后命中率为就停止投篮，“此人投篮设表示求的概率分布.设表示“第

次投中篮框”，解的次数”，或投了4次后某人投篮，例相互独立.规则是：投中后命中率为就停止投篮，“此人投篮设表示求的概率分布.设表示“第

次投中篮框”，解的次数”，或投了4次后某人投篮，例相互独立.规则是：投中后命中率为就停止投篮，“此人投篮设表示求的概率分布.设表示“第

次投中篮框”，解的次数”，或投了4次后某人投篮，或为偶数令X表示只有两种对立结果：“A发生”对于贝努利试验，与“A不发生”一次贝努利试验中，A发生的次数，设事件A发生的概率为则事件发生的概率为则即A不发生A发生称X服从0—1分布.例从中随机抽取一个抽到正品抽到次品用X表示即抽到的次品的个数，一批产品，抽取一次，次品率为例一般地,即具有离散均匀分布.编号为随机取一个设对应的号码为则的概率分布为若的概率分布是则称将26个英文字母字母,如掷一颗骰子五支签中有一支“好签”,出现的点数具有离散均匀分布.五个人依次抽取,不放回,表示第

个人抽到“好签”设服从离散均匀分布.三、分布函数定义2.4设

是称为随机变量的分布函数.任意一个随机变量,记为定义2.4设

是称为随机变量的分布函数.任意一个随机变量,如,电台每到整点报时,某人午觉醒来,X为他打开收音机,他等待报时的时间.[)[)记为解设服从0-1分布例求的分布函数.例求的分布函数.解已知随机变量X的概率分布为证（1）随机变量的分布函数具有如下性质:是

的即时,（2）即单调不减函数.时,随机变量的分布函数具有如下性质:是

的即时,单调不减函数.至多有可数多个间断点,且在其间断点处,即对任何实数有是右连续的,设随机变量的分布函数已知,则若随机变量的分布函数在点连续，则四、离散型随机变量的分布函数例出现的点数为求的分布函数.解123456

123456掷一颗骰子,

123456是一个阶梯形函数,它在X的可能取值点1,2,3,4,5,6处发生跳跃,跳跃的高度等于X取相应值的概率.任一离散型随机变量都具有这个特征.反之,若一随机变量X的分布函数是阶梯型函数,则X一定是离散型随机变量.的全部跳跃点而且就是X的全部取值点.在跳跃点处跳跃的高度等于X在相应取值点处的概率.的分布函数,例已知随机变量X的分布函数为解求X的分布.五、连续型随机变量及其概率密度定义2.5对于随机变量如果存在一个非负使得对任意实数有则称是称为的概率密度简称密度函数.记为的概率密度函数具有以下性质:可积函数连续型随机变量,函数,此时，即为X的密度函数，记为例在区间等可能地投入点，落点的坐标X是随机变量，设则X落在区间的概率为称随机变量X服从区间上的均匀分布.例在区间等可能地投入点，落点的坐标X令其它则X为连续型随机变量,为X的密度函数.对连续型随机变量设是任一实数,由于或或或连续型随机变量取值落入某一区间的概率与区间的开或闭无关.或例如,抛掷一枚硬币一次,出正面记为1,出反面出正面的次数,即用表示对离散型随机变量,此结论不成立.记为0牛顿—莱布尼兹公式由是的原函数当连续时由于连续型随机变量故对任一实数连续型随机变量在任一单