逆矩阵与初等变换

第二章矩阵代数第三节逆矩阵与矩阵的初等变换2.3.1逆矩阵则矩阵称为的可逆矩阵或逆阵.一、概念的引入在数的运算中，当数时，有其中为的倒数，

（或称的逆）；

在矩阵的运算中，单位阵相当于数的乘法运算中

的1，那么，对于矩阵，如果存在一个矩阵,使得二、逆矩阵的概念和性质

定义

对于阶矩阵，如果有一个阶矩阵,则说矩阵是可逆的，并把矩阵称为的逆矩阵.使得例设说明

若是可逆矩阵，则的逆矩阵是唯一的.若设和是的可逆矩阵，则有可得所以的逆矩阵是唯一的,即滤波器的频谱响应曲线滤波器性能参数：x1,x2,x3,x4,x5滤波器的一般结构a1,a2,a3,a4,a5结构参数：滤波器结构参数与性能参数之间的关系，B称为变换矩阵a1,a2,a3,a4,a5每个参数取3个值，将需要进行35=243次计算。计算量很大。假设结构参数为：a10,a20,a30,a40,a50

求出构造出变换矩阵B1=(bij(0)),求出x10,x20,x30,x40,x50比较x1,x2,x3,x4,x5与x10,x20,x30,x40,x50求利用求一组滤波器的结构参数a11,a21,a31,a41,a51相对误差1再利用构造出变换矩阵B2＝(bij(1)),求出x11,x21,x31,x41,x51比较x1,x2,x3,x4,x5与x11,x21,x31,x41,x51相对误差2比较，说明利用第二组结构参数获得的滤波器性能参数比第一组结构参数更接近要求。继续求出更接近要求的滤波器结构参数该方法称为迭代法直到滤波器性能参数的误差满足要求可以减少计算量例设解设是的逆矩阵,则利用待定系数法又因为所以定理1

矩阵可逆的充要条件是，且

证明若可逆，按逆矩阵的定义得证毕奇异矩阵与非奇异矩阵的定义推论证明逆矩阵的运算性质证明证明例1求方阵的逆矩阵.解三、逆矩阵的求法同理可得故解例2r2-2r1r3-r1例3设解于是例4例5解给方程两端左乘矩阵给方程两端右乘矩阵得给方程两端左乘矩阵得给方程两端右乘矩阵解例6解

例7四、小结逆矩阵的概念及运算性质.逆矩阵的计算方法逆矩阵存在思考题思考题解答答克拉默法则设线性方程组则称此方程组为非

非齐次线性方程组;此时称方程组为齐次线性方程组.非齐次与齐次线性方程组的概念一、克拉默法则如果线性方程组的系数行列式不等于零，即其中是把系数行列式中第列的元素用方程组右端的常数项代替后所得到的阶行列式，即那么线性方程组有解，并且解是唯一的，解可以表为证明再把个方程依次相加，得由代数余子式的性质可知,于是当时,方程组有唯一的一个解由于方程组与方程组等价,故也是方程组的解.定理

如果线性方程组的系数行列式则一定有解,且解是唯一的.例1

用克拉默法则解方程组解例2

用克拉默法则解方程组解1.用克拉默法则解方程组的两个条件(1)方程个数等于未知量个数;(2)系数行列式不等于零.2.克拉默法则建立了线性方程组的解和已知的系数与常数项之间的关系.三、小结思考题

当线性方程组的系数行列式为零时,能否用克拉默法则解方程组?思考题解答不能.2.3.2矩阵的初等变换引例一、消元法解线性方程组求解线性方程组分析：用消元法解下列方程组的过程．解用“回代”的方法求出解：于是解得（2）小结：1．上述解方程组的方法称为消元法．2．始终把方程组看作一个整体变形，用到如下三种变换（1）交换方程次序；（2）以不等于０的数乘某个方程；（3）一个方程加上另一个方程的k倍．（与相互替换）（以替换）（以替换）3．上述三种变换都是可逆的．由于三种变换都是可逆的，所以变换前的方程组与变换后的方程组是同解的．故这三种变换是同解变换．因为在上述变换过程中，仅仅只对方程组的系数和常数进行运算，未知量并未参与运算．若记则对方程组的变换完全可以转换为对矩阵B(方程组（1）的增广矩阵）的变换．定义1下面三种变换称为矩阵的初等行变换:二、矩阵的初等变换定义2矩阵的初等列变换与初等行变换统称为初等变换．

初等变换的逆变换仍为初等变换,且变换类型相同．

同理可定义矩阵的初等列变换(所用记号是把“r”换成“c”)．逆变换逆变换逆变换例如，两个线性方程组同解，就称这两个线性方程组等价用矩阵的初等行变换解方程组（1）：特点：（1）、可划出一条阶梯线，线的下方全为零；（2）、每个台阶只有一行，台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖线后面的第一个元素为非零元，即非零行的第一个非零元．注意：行最简形矩阵是由方程组唯一确定的，行阶梯形矩阵的行数也是由方程组唯一确定的．

行最简形矩阵再经过初等列变换，可化成标准形．例如，特点：

所有与矩阵等价的矩阵组成的一个集合，称为一个等价类，标准形是这个等价类中最简单的矩阵.三、小结1.初等行(列)变换初等变换的逆变换仍为初等变换,且变换类型相同．2.初等变换四、初等矩阵1、对I施以第（1）种初等变换得到的矩阵。1111002、对I施以第（2）种初等变换得到的矩阵。3、对I施以第（3）种初等变换得到的矩阵。k五、初等矩阵与初等变换的关系对矩阵施行一次初等行（列）变换，就相当于在A的左（右）边乘上一个相应的m（

n）阶初等矩阵。六、初等矩阵的基本性质（1）初等矩阵是可逆矩阵，而且它们的逆矩阵也是初等矩阵。（2）初等矩阵的转置仍是初等矩阵。例1对A施以第3种初等列变换：552相当于七、用初等变换求逆矩阵

定义如果B可以由A经过一系列初等变换得到，则称矩阵A与B等价。定理的矩阵等价。解例2 化A为D的形式：定理A为n阶可逆矩阵它能表示成一些初等矩阵的乘积。n阶可逆矩阵A与I等价。设可逆，使所以求逆矩阵的方法：例3解0-3-80-21所以也可用初等列变换小结A可表示为一些初等矩阵的乘积。求逆矩阵