经济数学（第三版） 课件 第四章 经济函数的最优化分析

第四章

经济函数的最优化分析目

录CONTENTS1经济函数的最值问题及解决方案OptimizationofEconomicFunction2使用MathStudio讨论极值问题UsingMathStudiotoDiscussExtremumProblem3进一步学习的数学知识：导数的应用Furthermathematicsknowledge：ApplicationsofDerivatives经济函数的最值问题及解决方案OptimizationofEconomicFunction1一、问题引入(2)在商品不积压,且不考虑其他因素的条件下,销售价格为多少时,才能使每月获得最大利润?每月的最大利润是多少?进货成本：16元/件销售单价：小于或等于32元/件经验：售价20元/件，销量360件售价25元/件，销量210件假定：每月销售件数

y(件)是价格x

(元/件)的一次函数.(1)求y与x之间的函数关系式;案例：

解得

则(2)总利润L=总收益－成本

显然,当时,L有最大值.

(1)设,则解

最大利润为1920元.答：销售价格:24元/件,利润最大,

一、问题引入定义4.1

f(x)在x0附近有定义,任取x(x≠x0)(1)若,则称是的一个极大值.

(2)若,则称是的一个极小值.

极大值与极小值统称为极值,使函数取得极值的点,称为函数的极值点.如图:

f(x0),f(x2),f(x4)为极大值如图:

f(x1),f(x3),f(x5)为极小值(1)极值是函数的局部性质,极大值可能比极小值小，如f(x2)<f(x5).

(2)如果函数在极值点x0处可导,则有.二、函数的极值与最值1.函数的极值

定理4.1(极值的必要条件)设函数在点处可导,且在点处取得极值,

那么.注意：连续函数f(x)的可能极值点只能是其驻点或不可导点

通常，使函数的导数值等于0的驻点.

的点称为函数反之不成立.二、函数的极值与最值1.函数的极值

(1)由负变正,那么f(x)在点

x0

处取得极小值;

定理4.2(极值存在的充分条件)设函数f(x)在点

x0

处连续,在点x0的某一空心邻域内可导.当x由小到大经过点

x0时,如果

(2)

由正变负,那么f(x)在点

x0

处取得极大值;(3)不变号,那么点

x0不是极值点.

(1)

(2)

(3)(曲线由递减变为递增)(曲线由递增变为递减)(曲线增减性不变)二、函数的极值与最值1.函数的极值例4.1求函数

的极值.

,得驻点.

令解函数的定义域为(-∞,+∞),

x(－∞,1)1(1,3)3(3,+∞)f’(x)+0－0+f(x)

73由定理4.2可知:f(1)=7为函数

f(x)的极大值f(3)=3为函数f(x)的极小值二、函数的极值与最值1.函数的极值求函数最值的方法:区间(a,b)内的极值点或区间端点是连续函数f(x)在区间[a,b]上可能的最值点.(1)找出三类点:驻点、函数f(x)导数不存在的点和区间端点.

(2)计算这三类点的函数值，得

最大值：最小值：

二、函数的极值与最值2.函数的最值情形一:闭区间上连续函数的最值

令,得驻点.且

例4.2

求函数在上的最大值和最小值.

在区间

上连续,因为,解

函数

比较可得函数的最大值为,最小值为

二、函数的极值与最值2.函数的最值(1)当f(x)在[a,b]内只有一个可能极值点时,(2)当f(x)在[a,b]上单调时,最值必在端点处达到.若在此点取极大值,则也是最大值.(小)(3)对应用问题,有时可根据实际意义判别求出的可能极值点是否为最大值点或最小值点.(小)二、函数的极值与最值2.函数的最值情形二:实际问题型

例4.3一个厂商的近期生产函数为，其中Q表示产量，L表示劳动投入量，试求产量的最大值.

二、函数的极值与最值2.函数的最值三、经济函数的最值

对于经济学中的大多数例子，局部极大(小)值点和全局最大(小)值点是一致的，即对于任意的经济函数在点

处满足，则

在点

处处取得最大(小)值的判别方法一般有两种:

三、经济函数的最值得唯一驻点.解

总收益，

例4.4

设每日生产某产品的总成本函数为产品单价为60元,每日产量为多少时可获得最大利润?因为令，

即，

(元).所以,当日产量为时，总利润最大.

根据问题的实际意义,总利润最大值一定存在.三、经济函数的最值如果平均成本函数可导,

假设某种产品的总成本为C(Q),一般讨论单位成本(即平均成本)最小的问题.生产的平均成本为则要使最小,产量Q须满足条件即上式表明：产出的边际成本等于平均成本时,平均成本最小.

三、经济函数的最值例4.5设某产品的总成本函数为，2.最小成本问题

试求平均成本最小时的产量.令,得

,(舍去),解因为所以,当产量Q=3时可使平均成本最小.使用MathStudio讨论极值问题UsingMathStudiotoDiscussExtremumProblem2一、以价格优势抢占市场份额平均成本最低典型问题1

天虹彩电为了在市场竞争中以价格优势抢占市场份额,在集团内实施“以平均成本最低为目标”的经营策略,根据以往的统计资料,生产总成本C(单位:百万元)是月产量Q(单位:万台)的函数.问:月产量应为多少台,才能实现平均成本最低的目标?每台彩电的平均成本为多少元?

解决方案本例以平均成本函数为目标函数，由总成本函数得平均成本函数为

第一步：求导数。在MathStudio命令框中输入

一、以价格优势抢占市场份额平均成本最低

如下图所示一、以价格优势抢占市场份额平均成本最低第三步：画图。单击【Plot】，并在绘图函数中输入需绘图的函数：

再次单击【Plot】可画出函数图像，在图上双击，可得函数图像如图4-5所示图4-5一、以价格优势抢占市场份额平均成本最低

一、以价格优势抢占市场份额平均成本最低二、薄利多销以使收益最大化典型问题2爱心牌衬衣,若定价为每件50元,一周可售出1000件,市场调查显示,每件售价每降低2元,一周的销售量可增加100件.问:每件售价定为多少元时,能使商家的销售额最大,最大销售额是多少?

由上式，当P=0时，Q=2500，即因降价最多可销售2500件。这时，总收益函数为售价与销售件数的乘积，即

二、薄利多销以使收益最大化第一步：求导数。在MathStudio命令框中输入

图4-6二、薄利多销以使收益最大化

图4-7二、薄利多销以使收益最大化

二、薄利多销以使收益最大化

图4-8二、薄利多销以使收益最大化三、确定组团人数以使旅行社利润最大典型问题3某旅行社举办风景区旅行团,若每团人数不超过30人,飞机票每张收费900元;若每团人数多于30人,则给予优惠,每多1人,飞机票每张收费减少10元,直至每张飞机票收费降到450元为止.每团乘飞机,旅行社需付给航空公司包机费15000元.问:每团人数为多少时,旅行社可获得最大利润?最大利润为多少?解决方案这是求利润最大值问题,依题意,对旅行社而言,机票收入是收益,付给航空公司的包机费是成本.

三、确定组团人数以使旅行社利润最大第一步：求导数。在MathStudio命令框中分布输入

三、确定组团人数以使旅行社利润最大图4-9第二步：画图。单击【Plot】并在绘图函数中输入如下命令：

再次单击【Plot】，可画出函数图像如图4-10图4-10三、确定组团人数以使旅行社利润最大

图4-11在图上双击，可得函数图像如图4-11所示三、确定组团人数以使旅行社利润最大进一步学习的数学知识：导数的应用Furthermathematicsknowledge：ApplicationsofDerivatives3一、洛必达法则一、洛必达法则则一定条件下，通过对分子、分母分别求导，再求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则.一、洛必达法则说明(1)定理4.3中自变量的变化趋势换成

如果定理其他相应条件都满足，则洛必达法则仍成立.(2)如果

当

时仍属于

型（

型），这时函数

仍满足定理的条件，则可以继续使用洛必达法则，即

一、洛必达法则

一、洛必达法则

一、洛必达法则

一、洛必达法则

一、洛必达法则二、函数的凸凹性及拐点

函数的单调性反映在图形上，就是曲线的上升和下降，而曲线在上升或下降的过程中，还有一个弯曲方向的问题.如图4-12表明，曲线AB和CD都是上升的，可是曲线AB是上凸的曲线，曲线CD是上凹的曲线，图4-13表明，曲线AB和CD都是下降的，可是