空间向量的正交分解及其坐标表示

空间向量的正交分解及其坐标表示共线向量定理共面向量定理复习回忆平面向量根本定理问题：我们知道，平面内的任意一个向量都可以用两个不共线的向量来表示〔平面向量根本定理〕。对于空间任意一个向量，有没有类似的结论呢？xyzOQP由此可知，如果是空间两两垂直的向量，那么，对空间任一向量，存在一个有序实数组{x,y,z}使得我们称为向量在上的分向量。探究：在空间中，如果用任意三个不共面向量代替两两垂直的向量，你能得出类似的结论吗？任意不共面的三个向量都可做为空间的一个基底。空间向量根本定理：

如果三个向量不共面，那么对空间任一向量，存在一个唯一的有序实数组x，y，z，使都叫做基向量任意不共面的三个向量都可做为空间的一个基底空间向量根本定理定理：如果三个向量a、b、c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组(x，y，z)，使得p＝___________，其中{a，b，c}叫做空间的一个_____，a，b，c都叫做_______．试一试：空间的基底是唯一的吗？提示由空间向量根本定理可知，任意三个不共面向量都可以组成空间的一个基底，所以空间的基底有无数个，因此不唯一．自学导引1．xa＋yb＋zc基底基向量空间直角坐标系单位正交基底：如果空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长都为1，那么这个基底叫做单位正交基底,常用e1,e2,e3表示

空间直角坐标系：在空间选定一点O和一个单位正交基底e1,e2,e3,以点O为原点，分别以e1,e2,e3的正方向建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，它们都叫做坐标轴.这样就建立了一个空间直角坐标系O--xyz

点O叫做原点，向量e1,e2,e3都叫做坐标向量.通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面.空间向量的直角坐标系xyzOe1e2e3给定一个空间坐标系和向量,且设e1,e2,e3为坐标向量，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x,y,z)使

p=xe1+ye2+ze3

空间向量的正交分解及其坐标表示(1)单位正交基底：三个有公共起点O的两两垂直的单位向量e1，e2，e3称为单位正交基底．(2)空间直角坐标系：以e1，e2，e3的公共起点O为原点，分别以e1，e2，e3的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系O－xyz.2．自学导引xe1＋ye2＋ze3x，y，zp＝(x，y，z)自学导引BANCOMQP例4、如图，M，N分别是四面体OABC的边OA，BC的中点，P，Q是MN的三等分点。用向量表示和。3.已知平行六面体OABC－O’A’B’C’,且，，，用表示如下向量:(1)；

(2)（点G是侧面BB’C’C的中心）C/BACOA/B/O/G课本94页向量{a，b，c}是空间的一个基底．求证：向量a+b，a-b，c能构成空间的一个基底．练习1课本94页题型一基底的判断假设{a，b，c}是空间的一个基底，判断{a＋b，b＋c，c＋a}能否作为该空间的一个基底．【例1】解假设a＋b，b＋c，c＋a共面，那么存在实数λ，μ使得a＋b＝λ(b＋c)＋μ(c＋a)，∴a＋b＝λb＋μa＋(λ＋μ)c.∵{a，b，c}为基底，∴a，b，c不共面，规律方法判断三个向量a，b，c能否作为基底，关键是理解基底的概念，只有空间中三个不共面的向量才能构成空间向量的一个基底．判断a，b，c三个向量是否共面，常用反证法，即判断三个向量是否满足a＝λb＋μb，假设满足那么共面，假设不满足那么不共面．【变式3】活页标准训练3．A(3，4，5)，B(0，2，1)，O(0，0，0)，假设，那么C的坐标是()．A.B.C.D.解析设点C坐标为(x，y，z)，那么＝(x，y，z)．又＝(－3，－2，－4)，，∴x＝，y＝，z＝.答案A8．点A在基底{a，b，c}下的坐标为(8，6，4)，其中a＝i＋j，b＝j＋k，c＝k＋i，那么点A在基底{i，j，k}下的坐标为()．A．(12，14，10)B．(10，12，14)C．(14，10，12)D．(4，2，3)解析8a＋6b＋4c＝8(i＋j)＋6(j＋k)＋4(k＋i)＝12i＋14j＋10k∴点A在{i，j，k}下的坐标为(12，14，10)．答案A12．(创新拓展){i，j，k}是空间的一个基底设a1＝2i－j＋k，a2＝i＋3j－2k，a3＝－2i＋j－3k，a4＝3i＋2j＋5k.试问是否存在实数λ，μ，υ，使a4＝λa1＋μa2＋υa3成立？如果存在，求出λ，μ，υ的值，如果不存在，请给出证明．解假设存在实数λ，μ，υ使a4＝λa1＋μa2＋υa3成立，那么有3i＋2j＋5k＝λ(2i－j