结构力学其他课件清华球

结构力学教材:

龙驭球等编的《结构力学I－基本教程》《结构力学Ⅱ－专题教程》

第1章绪论§1-1结构力学的研究对象§1-2结构计算简图及简化要点§1-3杆件结构的分类§1-4荷载分类☻结构的概念☻

建筑物和工程设施中承受、传递荷载而起骨架作用的部分称为工程结构，简称为结构。☻典型的结构实例☻

房屋建筑中的梁、板、柱体系；交通土建中的公路、铁路上的桥梁和隧洞；水工建筑物中的闸门和水坝。☻结构的分类☻

从几何外形角度：①杆件结构（杆系结构）由若干杆件组成，杆件的横截面尺寸要比长度小得多。梁、拱、刚架、桁架属于杆件结构。

②板壳结构（薄壁结构）：它的厚度要比长度和宽度小得多。如：楼板、壳体屋盖。③实体结构：它的长、宽、厚三个几何尺寸属于同一个数量级。☻结构力学的研究对象☻狭义上的结构指的是杆件结构，它是结构力学的主要研究对象。☻结构力学的任务☻a.分析结构的组成规律和合理形式；b.讨论在外界因素影响下（荷载、支座移动、温度变化），结构的内力和变形以及进行结构的强度和刚度的验算；c.讨论结构在动力荷载作用下的结构反应。☻结构的计算简图☻

因为实际结构很复杂，所以对实际结构进行力学计算之前，必须加以抽象和简化，采用简化了图形代替实际结构，使其成为既能反映真实结构的主要特征有便于力学计算的模型，这样的图形称为结构的计算简图。☻选择计算简图的原则☻①从实际出发－－计算简图要反映实际结构的主要性能；②分清主次，略去细节－－计算简图要便于计算。☻杆件结构计算简图的简化要点☻①结构体系的简化：将工程上的空间结构简化为平面结构。空间结构平面结构②杆件的简化：以杆件的轴线代替杆件。杆件间的连接区用结点表示，杆长用结点间的距离表示，而荷载的作用点也转移到轴线上。③杆件间连接的简化：理想结点代替杆件与杆件之间的连接。a.铰结点被连接的杆件在连接处不能相对移动，但可以相对转动。可以传递力，但不能传递力矩。

b.刚结点：被连接的杆件在连接处不能相对移动，又不能相对转动。可以传递力，也可以传递力矩。c.组合结点：特征是汇交于结点的各杆均不能移动，但其中一部分杆件为刚性联结，各杆端不允许相对转动，其余杆件为铰接，允许绕结点转动。④支座的简化结构与基础间的连接区为支座。常见的平面支座有以下四种：a.可动铰支座（滚轴支座）：被支承的部分既可以转动，也可以水平移动，不能竖向移动，故所提供的支座反力只有竖向反力Fy。Yb.固定铰支座（铰支座）：被支承的部分，可以转动，不能移动，能提供的反力Fx、Fyc.固定支座：被支承的部分，不能转动和移动。能提供三个方面的力。d.定向支座（滑动支座）：被支承的部分，不能转动，但可沿一个方向平行滑动，能提供弯矩和一个反力。⑤材料性质的简化将结构材料视为连续、均匀、各向同性、理想弹性或理想弹塑性。⑥荷载的简化把作用在结构上的体积力和表面力都简化为作用于结构杆件轴线上的力。体积力：重力、惯性力表面力：车轮压力、设备重力、风压力、水压力、土压力。把作用面积很小的分布荷载简化为集中荷载；荷载集度变化不大的分布荷载简化为均布荷载。①按计算简图分类梁拱桁架刚架组合结构②按空间的观点，结构分为空间结构和平面结构两类。空间结构：组成结构的各类杆件的轴线不在同一平面上。平面结构：各杆的轴线和外力的作用线在同一平面上。③按计算特性又分为：静定结构和超静定结构。静定结构：杆件的内力可由平衡条件唯一确定。超静定结构：杆件的内力由平衡条件不能唯一确定，还要考虑变形条件。返回☻荷载的概念☻①广义上的荷载概念：使结构产生内力和变形的原因（如：温度变化、基础沉降）。②狭义上的荷载概念：主动作用在结构上的力。☻荷载的分类☻①根据荷载作用时间的长短分类恒载：永久作用在结构上的荷载。如结构的自重。活载：作用于结构上的可变荷载。如楼面、屋面、吊车荷载、风荷载、雪荷载。②按荷载的作用性质分类：静力荷载和动力荷载。静力荷载：荷载的大小、方向和位置不随时间变化或变化极为缓慢，不使结构产生明显的加速度，即惯性力可以忽略的荷载（风荷载、雪荷载视为静荷载）。动力荷载：随时间迅速变化或在短暂的时段内突然作用或消失的荷载。使结构产生明显的加速度，即惯性力不可以忽略（机械振动荷载、地震荷载）。③按荷载作用位置可分为：固定荷载——作用位置不变的荷载，如自重等。移动荷载——荷载作用在结构上的位置是移动的，如吊车荷载、桥梁上的汽车和火车荷载。第2章结构的几何构造分析§2-1几何构造分析的几个概念§2-2平面几何不变体系的组成规律§2-3平面杆件体系的计算自由度☻几何构造分析的目的☻平面杆件结构，是由若干根杆件通过一定的联结方式组成的体系，但不是杆系怎么组成都能作为结构。几何构造分析的目的主要是分析、判断一个体系是否几何可变，或者如何保证它成为几何不变体系，只有几何不变体系才可以作为结构。☻几何不变体系和几何可变体系☻

几何可变体系：不考虑材料应变条件下，体系的位置和形状可以改变的体系。几何不变体系：不考虑材料应变条件下，体系的位置和形状不变的体系。

结构机构☻自由度☻当体系运动时，确定体系位置所需要的独立坐标的个数。（≥0）结论：一个点在平面内有两个自由度。一个刚片有三个自由度。几何不变体系其自由度为0。☻约束☻联系（约束）--减少自由度的装置。规定：如果一个装置能使体系减少一个自由度，我们就说相当于一个约束或联系；如果一个装置能使体系减少n个自由度，我们就说相当于n个约束或联系。结论：一根链杆相当于一个约束；

一个铰相当于两个约束；一个刚结点相当于三个约束。

☻多余约束☻在体系上加上或撤除某一约束并不改变原体系的自由度数，则该约束就是多余约束。只有非多余约束(必要约束）才对体系的自由度有影响。☻瞬变体系☻本来几何可变，经微小位移以后又成为几何不变的体系。可以发生大位移的体系称为几何常变体系。☻瞬铰☻从微小转动的角度来看，两根链杆所起的约束作用相当于在链杆交点处的一个铰所起的约束作用。这个铰称为瞬铰（虚铰）。☻几何不变体系的组成规律☻－－铰结三角形规律保证体系为几何不变体系的两个条件①体系中的各刚片间有足够的联系；②各联系布置合理。1.规律一：一个点与一个刚片之间用两根链杆相连,且三铰不在一直线上,则组成无多余约束的几何不变体系。A12I2.规律二：两个刚片之间用一个铰和一根链杆相连,且三铰不在一直线上,则组成无多余约束的几何不变体系。A1IIIA1III3.规律三：三个刚片之间用三个铰两两相连,且三个铰不在一直线上,则组成无多余约束的几何不变体系。AIIIIIIBCAIIIIIIBC4.规律四：两个刚片之间用三根链杆相连,且三根链杆不交于一点且不平行,则组成无多余约束的几何不变体系。A3III215.二元体规则：在体系中增加或拆除二元体，不改变体系的几何可变（不变）性。两根不共线的链杆在一端铰结构成一个结点，这种构造称为二元体。6.几何构造的步骤：①观察体系中是否有二元体，如有二元体将其拆除；②将体系中几何不变的部分视为刚片，应用铰结三角形规律，将刚片扩展形成扩大的刚片；③反复应用规律，直至将体系分析完整。7.几何构造分析的关键：要用三个规则区分析形式多样的平面体系，关键在于选择哪些部分作为刚片，哪部分作为约束。8.构造分析时，基础的处理方法：①如果上部体系与基础之间以三根支座链杆（不全平行，也不交于同一点）连接，可先撤去这些链杆，只就上部体系分析，所得结论即代表了整个体系的性质。②如果上部结构与基础之间的支座链杆多于三个，必须把基础也作为一个刚片。如果体系是按铰结三角形规律组成的，则可以直接对它的几何可变（不变）性及多余约束数目n，确定自由度S。如果体系不是按铰结三角形的规律组成的，对其进行构造分析时,可根据计算自由度W，得出S和n的一些定论。S=a-c

a—去掉约束情况下各对象的自由度总和c—在全部约束中非多余约束的数目☻平面杆件体系的计算自由度☻在上个公式中为确定c需区分多余约束和非多余约束，为了避免这个困难，引入计算自由度W。

W=a-d其中d—全部约束数。S-W=d-c=n其中S、W、n中S和n都为非负值。从而S≥W,n≥-W。W为的S下限，-W是n的下限。约束可分为单约束和复约束。单约束：单铰、单刚结、单链杆。

联结两个刚片的刚性结合联结两点的链杆联结两个刚片的铰复约束：复铰、复刚结、复链杆。联结两个以上刚片的铰联结两个以上刚片的刚性结合联结两个以上点的链杆结论：一个复铰相当于n-1个单铰一个复刚结相当于n-1个单刚结一个复链杆相当于2n-3个单链杆求计算自由度的两种方法①

W=3m-(3g+2h+b)m---体系中刚片个数（不包括地基）g---单刚结个数（若有复刚结，转化为单刚结）h---单铰个数b---单链杆根数（支座链杆数）②W=2j-b

j--结点个数

b—单链杆个数（支座链杆数＋结点之间的杆件数） 由以上两个公式计算出来W的可能为正、为负为零。定性结论：若W＞0，则s＞0,则体系为几何可变体系。若W＝0，则s=n，如无多余约束则为几何不变；如有多余约束则为几何可变。若W＜0，则n＞0，体系有多余约束。我们把：无多余约束的几何不变体系称为静定结构，有多余约束的几何不变体系称为超静定结构。2-1（a）2-1（b）2-1（c）2-2（a）2-2（b）2-2（c）2-3（a）2-3（b）2-3（c）2-3（d）2-4（a）2-4（b）2-4（c）2-4（d）2-4（e）2-5（a）2-5（b）2-5（c）2-6（a）2-6（b）2-6（c）2-7（a）2-7（b）1BDA2345678910CE1112III2-8（a）2-8（b）2-9（a）2-9（b）2-9（c）2-10（a）2-10（b）2-12（a）2-12（b）第三章静定结构的受力分析3.1梁的内力计算的回顾3.2静定多跨梁3.3静定平面刚架3.4静定平面桁架3.5组合结构3.6三铰拱3.7隔离体方法及其截取顺序的优选3.8刚体体系的虚功原理3.9静定结构总论§3-1梁的内力计算的回顾一、单跨静定梁1.三种典型的单跨静定梁：

简支梁伸臂梁悬臂梁2.截面内力分量及其正负号的规定：三个内力分量：轴力FN

--拉力为正剪力FQ--绕隔离体顺时针方向转动为正（左上右下）弯矩M--使梁的下侧纤维受拉者为正作内力图时：剪力图和轴力图可绘在杆的任何一侧，但要标注正负号；而弯矩图画在受拉一侧，不标正负号。3.用截面法求指定截面的内力计算杆件指定截面内力时，将杆件在指定截面切开，以截面的任意一侧作为隔离体，利用平衡条件，求相应内力。所求未知力设为正号。为方便计算选取外力作用较少的部分作为隔离体。4.荷载与内力图的关系①无荷载分布段(q=0),FQ图为水平线,M图为斜直线.②均布荷载段(q=常数),FQ图为斜直线,M图为抛物线,且凸向与荷载指向相同.③集中力作用处,FQ图有突变,且突变量等于外力值;M图有尖角,且指向与荷载相同。④集中力偶作用处,M图有突变,且突变量等于力偶值;

FQ图无变化。5.分段叠加法做弯矩图原理：当杆件受到多个荷载作用时，可以先分别绘出各荷载单独作用时的弯矩图，然后将各图形相应的纵标值叠加起来，即可得到原有荷载共同作用下的弯矩图，这就是作图的叠加法。步骤：①选定外力的不连续点（集中力作用点、集中力偶作用点、分布荷载的始点和终点）为控制截面，首先计算控制截面的弯矩值；②分段求作弯矩图。当控制截面间无荷载时，弯矩图为连接控制截面弯矩值的直线；当控制截面间存在荷载时，弯矩图应在控制截面弯矩值作出的直线上在叠加该段简支梁作用荷载时产生的弯矩值。例：利用叠加法求作图示梁结构的内力图。1m1m2m2m1m1mq=4kN/mABCFP=8kNM=16kN.mDEFG[分析]该梁为简支梁，弯矩控制截面为：C、D、F、G叠加法求作弯矩图的关键是计算控制截面位置的弯矩值。（1）先计算支座反力kNkN（2）求控制截面弯矩值取AC部分为隔离体，可计算得：kN取GB部分为隔离体，可计算得：kNP=8kNAD47GBm=16kN.mGB817ACABCDEFGABCDEFG17132672315308M图（kN.m）1797+_FQ图（kN）注意

叠加是弯矩的代数值相加，也即图形纵坐标相加。而不是图形的简单拼合。§3-2静定多跨梁一、静定多跨梁的几何组成特性多跨静定梁常用于桥梁结构。从几何组成特点看，它的组成可以区分为基本部分和附属部分。基本部分：不依赖于其它部分的存在，本身就能独立地承受荷载而维持平衡的部分。附属部分：需要依赖于其它部分的存在，才能承受荷载而维持平衡的部分。

如图所示梁，其中AC部分不依赖于其它部分，独立地与大地组成一个几何不变部分，称它为基本部分；而CE部分就需要依靠基本部分AC才能保证它的几何不变性，相对于AC部分来说就称它为附属部分。CA E（a）（b）EA CA CE（c）多跨静定梁的组成

附属部分--不能独立承载的部分。

基本部分--能独立承载的部分。基、附关系层叠图二、多跨静定梁的内力计算拆成单个杆计算,先算附属部分,后算基本部分.例.对图示静定梁,欲使AB跨的最大正弯矩与支座B截面的负弯矩的绝对值相等,确定铰D的位置.CDx解:x与简支梁相比:弯矩较小而且均匀.从分析过程看:附属部分上若无外力,其上也无内力.§3-3静定平面刚架一、平面刚架结构特点：刚架是由直杆组成的结构，其结点全部或部分为刚结点。 其优点是将梁柱形成一个刚性整体，使结构具有较大的刚度，内力分布也比较均匀合理，便于形成大空间。l刚架梁桁架(d)

刚架的优点：（1）内部有效使用空间大；（2）结构整体性好、刚度大；（3）内力分布均匀，受力合理。刚结点处的变形特点保持角度不变1、悬臂刚架2、简支刚架3、三铰刚架4、复合桁架（主从刚架）二、常见的静定刚架类型三、绘制刚架内力图的步骤①求刚架的支座反力②将刚架拆成若干根杆件，求各杆件的杆端内力③由杆端内力作各杆内力图，将各杆内力图组合在一起就是刚架内力图④校核（选结点或结构的某部分）

a.刚架的支座反力（应尽可能建立独立方程）。解:例1:求图示刚架的支座反力如图（a）三铰刚架，具有四个支座反力，可以利用三个整体平衡条件和中间铰结点C处弯矩等于零的局部平衡条件，一共四个平衡方程就可以求出这四个支座反力。FxAl/2l/2qABCf(a)qfl/2l/2ABC(b)FyAFyBFxBAC2m4m4kN/mKBDEHG2kN2m2mF2kNFxK=1kNFyK=2kNFyG=30kN2mFxA=3kNACD为附属部分，其余为基本部分。1）支座反力考虑附属部分ACD：考虑刚架整体平衡：AC2mBD2kN2m2mFxA=3kN4kN/m1kN8kNb.刚架中各杆的杆端内力①内力正负号的规定：FQ、FN与前同，M无正负号。作图时，M画于受拉侧，不标正负号。FQ、FN画于任意侧，标注符号。②结点处有不同的杆端截面。为了确切地表示内力，在内力符号右下方加两个角标，第一个角标表示内力所在的截面，第二个角标表示杆段的另一端。如：MAB指AB杆A端的弯矩。③正确选取隔离体。c.刚架的内力图根据各杆的杆端内力先绘制各杆的内力图，然后将各杆的内力图合在一起即为刚架内力图。计算杆端剪力、轴力的方法:

简单情况下，可根据截面一边的荷载及支座反力直接求出（截面法）。复杂情况下，对于FQ的计算取杆为隔离体,用杆端弯矩利用平衡方程（力矩方程）求出，对于FN取结点为隔离体利用力的投影方程求出。所谓对称结构是指：①结构的几何形式和支承情况对某轴对称；②杆件截面和材料性质也对此轴对称。作用在结构上的任意一组荷载都可分解为：对称荷载和反对称荷载。对称荷载绕对称轴对折后，左右两部分的荷载彼此重合（作用点相对应，大小相等，方向相同）。反对称荷载绕对称轴对折后，左右两部分的荷载正好相反（作用点相对应，大小相等，方向相反）。对称结构在对称荷载作用下，其变形和内力都是对称的。（M图、FN图正对称，FQ图反对称）对称结构在反对称荷载作用下，其变形和内力都是反对称的。（M图、FN图反对称，FQ图正对称）在铰结点和铰支座旁的截面及自由端截面，若无外力偶作用，则这些截面M必等于0；若有外力偶作用，则该截面的弯矩值等于外力偶值。对于连接两杆的刚结点，若结点上无外力偶作用，则两杆端M数值相等且同为外侧或同为内侧受拉。a↑↑↑↑↑↑↑↑aqABCqa2/2qa2/8M图qa2/2QCBQCBCBqa2/2∑MC＝qa2/2+QCBa=0QBC=QCB=－qa/2QCA↑↑↑↑↑↑↑↑QACqa2/2q∑MC＝qa2/2+qa2/2－QACa=0QAC=（qa2/2+qa2/2）/a=qa∑MA＝0QCA=（qa2/2－qa2/2）/a=0qa/20NCBNCA∑X＝0，NCB＝

0∑Y＝0，NCA＝qa/2∥例3-3-3

作图示三铰刚架内力图。FyB1kN/mABDECFyAFxA1.385kN4.5kN1.5kNFxB1.385kN6m6m4.5m2m解：1)支座反力考虑整体平衡:由BEC部分平衡：FyB1kN/mABDECFyAFxAFxB6m6m4.5m2m2)作M图斜杆DC中点弯矩为：弯矩图见下图。ABDEC4.5kN1.5kN1.385kN6.236.231.385M图(kN.m)1kN/m1.385kN3)作FQ图

斜杆用力矩方程求剪力，竖杆、水平杆用投影方程求剪力。对于DC杆：对于EC杆：竖杆AD、BE的剪力用投影方程很容易求得。剪力图见下页图。6mFQEC6.23EFQCECFQ

图(kN)AD1.393.831.860.991.39BEC4)作FN图竖杆、水平杆及斜杆均用投影方程求轴力。结点D：13D1.385FNDCαs4.5结点E：E1.385FNEC1.5s13

右下图中，将结点C处的水平力和竖向力在杆DC的轴向投影得：轴力图见下页图。D1kN/mC1.385FNCD4.51.5s1.385A1.38513FN

图(kN)ABDEC4.52.740.841.791.506QDCQCDDC3.35m3kN9kN2kN2kN664.5FN图（kN）M图（kN.m）2－－3α↓↓↓↓↓↓3m3m3mABq=4kN/m1.5mCDE＋2＋1.79FQ图（kN）∑MD=6－QCD×3.35＝0QCD=1.79(kN)=QDC∑MC=6+3×4×1.5+3.35QEC＝0QEC=－7.16kN∑ME=6－3×4×1.5+3.35QCE＝0QCE=3.58kN↓↓↓↓↓↓↓QCEQEC4kN/mCE3.35m－3.587.16＋－932α1.79NDC3.13α927.16NEC－5.8205279.1558.3=×-=45.0-=kNNCE0sin)79.158.3(cos)13.3(=+-+=åaaNXCEcos)58.379.1(sin)45.013.3(-++aa=åY校核NCE3.583.131.79αα0.45－h↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓l/2l/2qmmhmql2/8ql2/8ql2/8例题1:作图示结构弯矩图练习:作弯矩图§3-4静定平面桁架一、桁架的特点和组成1.桁架是由直杆组成的格构体系，当荷载仅作用在结点上时，杆件仅承受轴向力，截面上只有均匀分布的正应力，可以充分发挥材料的作用，是最理想的一种结构形式。2.在工程中的应用：屋架和桁架桥。３.实际桁架的受力情况较复杂，在抽象为计算简图的过程中，采用下列假定：（1）桁架的结点都是光滑无摩擦的铰结点；（2）各杆的轴线都是直线，并通过铰的中心；（3）荷载和支座反力都作用在结点上。满足此条件的桁架为理想桁架。理想桁架：上弦杆腹杆下弦杆4.因桁架中各杆都在两端受力，都为二力杆。特性：只有轴力，而没有弯矩和剪力。5.简图与实际的偏差：ａ.并非理想铰接（如钢桁架的结点为铆接或焊接，钢筋砼中的各杆是浇筑在一起的，这些结点都有一定的刚性）；ｂ.并非理想直杆（各杆的轴线不可能绝对平直，在结点处各杆也不一定完全交于一点）；ｃ.并非只有结点荷载（杆件的自重不作用于结点上，实际的荷载也常常不是作用在结点上）；主内力:按计算简图计算出的内力次内力:实际内力与主内力的差值次内力的影响举例杆号起点号终点号桁架轴力刚架轴力

124-35.000-34.966246-60.000-59.973368-75.000-74.9774810-80.000-79.9775130.0000.03263535.00035.00575760.00059.99787975.00074.9916.桁架的分类ａ.按外形分类：④梯形桁架①

平行弦桁架③抛物线桁架②

三角形桁架ｂ.按几何组成分类：简单桁架—在基础或一个铰结三角形上依次加二元体构成的联合桁架—由简单桁架按基本组成规则构成复杂桁架—非上述两种方式组成的静定桁架简单桁架简单桁架联合桁架复杂桁架二、桁架的内力分析1.结点法（主要用于求解简单桁架的内力）选取隔离体时,每个隔离体只包含一个结点的方法。结点法是考虑的桁架中结点的平衡，此时隔离体上的力是平面汇交力系,只有两个独立的平衡方程可以利用,故一般应先截取只包含两个未知轴力杆件的结点。分析时的注意事项：1、尽量建立独立方程：2、避免使用三角函数llxlyFNFNFNFxFyFNl=Fxlx=Fyly3、假设拉力为正+例1.求以下桁架各杆的内力

对于简单桁架,若与组成顺序相反依次截取结点,可保证求解过程中一个方程中只含一个未知数。-3334.819190-3334.819190-33-8-3334.8-33-819190-8kN37.5-5.4-3334.8-33-837.5-5.419190-5.4-8-33-3334.8求出所有轴力后,应把轴力标在杆件旁。FAyFBy

对称结构受对称荷载作用,内力和反力均为对称:E点无荷载,红色杆不受力FyAFyB

对称结构受反对称荷载作用,内力和反力均为反对称:垂直对称轴的杆不受力对称轴处的杆不受力结点单杆：以结点为平衡对象能仅用一个方程求出内力的杆件，称为结点单杆。零杆

零内力杆简称零杆。P例:试指出零杆练习:试指出零杆受力分析时可以去掉零杆,是否说该杆在结构中是可有可无的?FP/2FP/2FPFPFP1234567891011ABCDABC2.截面法适用范围：联合桁架的计算和简单桁架中少数指定杆件的计算。隔离体包含不少于两个结点。隔离体上的力是一个平面任意力系,可列出三个独立的平衡方程。取隔离体时一般切断的未知轴力的杆件不宜多于三根。★被截三杆应不交于一点或不互相平行。截面单杆:

用截面切开后，通过一个方程可求出内力的杆.截面上被切断的未知轴力的杆件只有三个,三杆均为单杆.截面上被切断的未知轴力的杆件除一个外交于一点,该杆为单杆.截面上被切断的未知轴力的杆件除一个均平行,该杆为单杆.

相交情况FPFPFPFPFPFPa为截面单杆平行情况FPFPb为截面单杆ED杆内力如何求?§3-5静定组合结构在桁架结构中所有的杆件均为链杆，也就是只有轴力的杆；在刚架结构中，绝大部分杆件的内力分量有三个，这种杆为梁式杆。由链杆和梁式杆共同组成的结构为组合结构。组合结构的计算步骤一般是：先计算各链杆的轴力，并将其作用于梁式杆上，然后再计算梁式杆的内力。例:作图示结构内力图MQN+一拱

(arch)一、简介杆轴线为曲线在竖向荷载作用下不产生水平反力。拱--杆轴线为曲线，在竖向荷载作用下会产生水平推力的结构。FP三铰拱曲梁

1.拱的定义拱

(arch)一、简介2.拱的分类三铰拱静定拱超静定拱超静定拱两铰拱无铰拱拉杆拱拉杆斜拱高差h拱

(arch)一、简介3.拱的有关名称跨度拱趾铰拱趾铰顶铰矢高拱肋拱肋二、三铰拱的内力计算FHAFHBFVAFVBFVA0FVB0a2b1b2lP1P2ABCl/2l/2fFVB=FVB0FVA=FVA0FH=MC0/

fa1等代梁P1P2CABFHA=FHB

=H

FVA0FVAFHMc0三铰拱的竖向反力与其等代梁的反力相等;水平反力与拱轴线形状无关.荷载与跨度一定时，水平推力与矢高成反比.KxyxyFVAFVBFVA0FVB0a2b1b2a1FHAFHBlP1P2ABCl/2l/2fKP1P2CAB

三铰拱的内力不但与荷载及三个铰的位置有关，而且与拱轴线的形状有关。

由于推力的存在，拱的弯矩比相应简支梁的弯矩要小。

三铰拱在竖向荷载作用下轴向受压。xq=2kN.mP=8kN3mx2=3m7.5kNFVAFHFVB

2y2y012345678AB例1、三铰拱及其所受荷载如图所示拱的轴线为抛物线方程计算反力并绘制内力图。（1）计算支座反力（2）内力计算6m6mf=4m以截面2为例xq=2kN.mP=8kN

2y2y012345678AB6m6m0.0001.1251.5001.1250.0000.3750.3754.5000.0000.6000.3540.0030.4721.0001.4213.3250.6001.0603.331M图kN.mFQ

图

kNFN

图

kN13.30010.9589.0157.7497.43311.6656.79611.23511.7007.500绘制内力图三、三铰拱的合理拱轴线只限于三铰平拱受竖向荷载作用在竖向荷载作用下，三铰拱的合理拱轴线的纵坐标与相应简支梁弯矩图的竖标成正比。在给定荷载下，使拱处于无弯矩状态的轴线，被称为与该荷载对应的合理拱轴线。试求图示对称三铰拱在均布荷载作用下的合理拱轴线MC0=ql2/8FH=ql2/8fM0=qlx/2-qx2/2=qx(l-x)/2y=4fx(l-x)/l2抛物线注意*合理轴线对应的是一组固定荷载；*合理轴线是一组。例2、设三铰拱承受均匀分布的水压力，试证明其合理轴线是园弧曲线。[证明]设拱在静水压力作用下处于无弯矩状态，然后由平衡条件推导轴线方程。qdsRR+dRd

oyNDNEd/2d/2q这表明拱在法向均布荷载作用下处于无弯矩状态时，截面的轴力为一常数。因N为一常数，q也为一常数，所以任一点的曲率半径R也是常数，即拱轴为园弧。DE例3、设三铰拱上承受填土荷载，填土表面为一水平面，试求拱的合理轴线，设填土的容重为，拱所受的分布荷载为 。qc+.ffxyyy*[解]由拱截面弯矩计算式在本例的座标系中可表达为：因事先 得不到，故改用q(x)和y(x)表示：对简支梁来说，而即特征方程为：设其特解

设悬链线§3-8刚体体系的虚功原理计算静定结构内力的另一个普遍方法—虚功原理，它等价于平衡方程。一、虚功原理设体系上作用任意的平衡力系，又设体系发生符合约束的无限小刚体体系位移，则主动力在位移上所作的虚功总和恒等于零。两种应用:虚设位移—虚位移原理求静定结构内力。虚设力系—虚力原理求刚体体系的位移。RCABCabPXXP几何关系：或设相应的小结：1）虚功原理（这里是用虚位移原理）的特点是用几 何方法解决平衡问题。2）求解问题直接，不涉及约束力。bc3cpABCDEFaxpxp例：求机构相应的平衡力X=？[解]：（1）建立虚功方程（2）几何关系当有虚位移时，b和c的变化由于（3）解方程求Xxx二、应用虚功原理求解静定结构的约束力（单位支座位移法）

PXABCabABCabPXpx将求约束力的问题转化为求平衡力的问题单位支座位移法的步骤：①撤去与所求约束力相应的约束，用约束力代替约束作用于体系上，使结构变为机构；②使机构沿所求力的方向发生单位位移，作出整个机构的虚位移图；③求出各主动力作用点的虚位移（带符号），代入虚功方程求解。用虚位移原理求内力的问题1）求截面C的弯矩mbaclmbalbaclqbalq2）求截面C的剪力§3-9静定结构总论一、用零载法判断体系的几何构造S-W=n，若W＝0①s=n＝0时，无多余约束的几何不变体；②s=n＜0时，有多余约束的几何可变体或瞬变体系。在W＝0的体系上，作用一个特殊的荷载（其值大小为0）荷载为0而内力不全为0的状态称为自内力。结论：①体系存在自内力，则体系为几何可变或瞬变体系。②体系不存在自内力，则体系为几何不变体系。零载法的特点：将几何构造问题转化为了静力分析问题。二、静定结构的一般性质静定结构的几何特性:

无多余约束的几何不变体系;静定结构的静力特性:

全部反力和内力均可由静力平衡条件求得，解答是唯一的。

(1)非荷载因素(支座移动、材料收缩、制造误差、温度变化）不产生反力和内力。

温度作用下支座位移作用下静定结构特性(2)局部平衡特性：若取出的结构部分（不管其可变性）能够平衡外荷载，则其他部分将不受力。ABCPPPPP静定结构在平衡力系作用下，只在其作用的最小几何不变体系上产生内力，其它结构构件上不产生弹性变形和内力。注意：（3）荷载等效变换特性：在结构某几何不变部分上荷载做等效变换时，荷载变化部分之外的反力、内力不变。PAB（a）AB（b）ABP（c）PAB（4）构造等效变换特性：结构某几何不变部分，在保持与结构其他部分连接方式不变的前提下，用另一方式组成的不变体代替，其他部分的受力情况不变。PNNABAB第四章影响线4.1移动荷载和影响线的概念4.2静力法作简支梁的影响线4.3结点荷载作用下梁的影响线4.4静力法作桁架的影响线4.5机动法作影响线4.6影响线的应用4.7简支梁的包络图和绝对最大弯矩固定荷载：荷载的大小、方向和作用点不随时间改变的荷载。移动荷载：大小、方向不变，荷载作用点随时间改变的荷载。如：桥梁上行驶的车辆，在吊车梁上行驶的吊车等。4.1移动荷载及影响线的概念结构在固定荷载作用下，其支座反力和内力及位移不发生变化，为固定值。结构在移动荷载作用下，其支座反力和内力随荷载的移动而发生变化。本章主要研究结构在移动荷载作用下的内力计算。移动荷载的类型很多，在研究其内力效应时，我们采用的是广义的单位移动荷载。P=1FRP=1FR=1P=1FR=0YX3/41/21/41----反力FR的影响线影响线定义

单位移动荷载作用下某物理量随荷载位置变化规律的图形。影响线作法

其一是静力法，另一为机动法（虚功法）。P=1FR=3/4l/4P=1FR=1/2l/2P=1FR=1/43l/44.2静力法作简支梁的影响线静力法

首先利用静力平衡条件程建立影响线方程，然后由函数作图的方法作出影响线----静力法。FRB影响线方程FRB影响线FRA影响线11P=1xlAB111、简支梁的影响线a.支座反力的影响线FRA影响线FRB影响线b.内力的影响线P=1xlABCab分段考虑P=1P=1在AC段，取CB段P=1P=1在CB段，取AC段11P=1bB分段考虑P=1在AC段，取CB段P=1在CB段，取AC段CaAba11FRA影响线FRB影响线MC影响线FQC影响线P=1（5）内力影响线与内力图的比较P=1lABPabl荷载大小影响线内力图P=1实际荷载性质移动固定横坐标表示荷载位置表示截面位置纵坐标表示某一截面内力变化规律表示截面内力值11baFQC影响线MC影响线FQ图M图练习:作YA,MA,MK,QK影响线.l/2l/2l/2KP=1Axx解:MAYAMA影响线lYA影响线1QKMKx<l/2MK=0QK=0X>l/2P=1QK=1MK=-(x-l/2)QK影响线1MK影响线l/2练习:作YB,MA,MK,QKMi,Qi影响线.l/4l/4kP=1AMAYBiBl/4l/4xx解:YB影响线1x<l/4MK=l/4QK=-1X>l/4P=1QK=0MK=l/4-(x-l/4)=l/2-xMA影响线l/2l/2QKMKYBMK影响线l/2l/4QK影响线1QKMKP=1x<3l/4Mi=0Qi=0X>3l/4Mi=3l/4-xQi=1Mi影响线l/4Qi影响线12、伸臂梁的影响线P=1xP=111FRA影响线FRB影响线lABCabbaP=1xlABCab分段考虑P=1在C以左，取C以右P=1在C以右，取C以左11P=1xlAB伸臂部分影响线dd1P=1DP=1l=4dAB主梁只承受结点荷载（1）FRA和FRB与以前一样；C（2）MC

影响线与以前一样C点的纵标：DE（3）MD影响线。先作后证明,先假设为非结点荷载，D点的纵标值由比例可得：在C、E两点间连一直线，MD影响线

当P=1作用在C和E两点时,与直接作用一样,纵标值仍为和1xCEdCED利用叠加原理,4.3结点荷载作用下梁的影响线P=1l=4dABCDEMD影响线FQD影响线11（4）FQD影响线结论①在结点荷载作用下，结构任何影响线在相邻两结点之间为一直线。②先作直接荷载作用下的影响线，用直线连接相邻两结点的竖距，就得到结点荷载作用下的影响线。做法：

1.作荷载直接作用于主梁时量值的影响线;2.将结点投影到该影响线上;3.将相邻投影点的竖标连以直线。上承下承P=1方法：结点法与截面法1、

FRA及FRG影响线0=åCM

1CP=1ABCDEFGabcdefghl=6dABCDEFGabcdefghl=6dCP=1AB2.FN1影响线FN1影响线ABCDEFGabcdefghl=6dcP=1P=1AB3.FN2影响线2取截面Ⅱ－ⅡⅡⅡFN2影响线ABCDEFGabcdefghl=6d5、竖杆FN4影响线4N4P=1P=1ABＰ＝１在C以左：Ｐ＝１在D以右：11下承上承6、FN5影响线ABCDEFGabcdefghl=6d51下承上承FN4影响线FN5影响线

理论基础：虚位移原理。

特点：把作影响线的静力问题化为作位移图的几何问题。

优点：不经计算就能很快绘出影响线的轮廓。P=1xP=1xlAB1令⑴FRB影响线FRB影响线4.5机动法作影响线CxP=1ABab1xP=1ABabCb令⑵MC影响线⑶FQC影响线MC影响线FQC影响线机动法步骤:①解除与所求量对应的约束,得到几何可变体系。②令其发生虚位移,并使与该量对应的广义位移为1,方向与该量正向相同。③虚位移图即为该量影响线,基线上部为正。P=12m2m2m1m2m2m1m4m2mABCDEFGHABCDEFGH111.25ABCDEFGH110.51例：绘制2m2m2m1m2m2m1m4m2mABCDEFGH2ABCDEFGHABCDEFGH1.00.251.00.25解决两个问题：①确定最不利荷载位置②求量值的最大值一、利用影响线求固定荷载作用下的内力、反力等①集中荷载作用下的影响4.6影响线的应用abC②均布荷载作用下的影响y(x)yk0当q(x)为常数时xq(x)xx+dxkabXaXbMk影响线ω－影响线的图形在受载段上的面积。若在受载段内的影响线有正负，则应为ω应为正负面积的代数和。二、求荷载的最不利位置最不利荷载位置:结构中某量达到最大值(或最小值)时的荷载位置.对于一些简单的情况，判断最不利荷载位置的一般原则是：应当把数量大、排列密的荷载放在影响线竖标较大的部位。同时注意位于同符号影响线范围内的荷载应尽可能多。（１）一个集中荷载（２）一组集中荷载（３）任意分布荷载qqq三、临界位置的判定为确定最不利荷载位置，通常分两步：1）求出使Z达到极值的荷载位置。这种荷载位置称为荷载的临界位置，而且可能不止一个。2）从Z的极大值中选出最大值，从Z的极小值中选出最小值，从而确定最不利荷载位置。

FP1FP2FR1FP3FP4FR2FP5FP6FR3ΔxxΔxΔx下面以多边形影响线为例，说明临界荷载位置的特点及其判定方法。

在影响线图中，α1>0，α2>0，α3<0。

因为是x的一次函数，所以Z也是x的一次函数。若荷载右移动Δx，则竖标的增量为：则Z的增量为：

由上面影响线图可得出:

因为Z是x的一次函数，所以Z-x图形是折线图形。于是ΔZ/Δx是折线图形中各折线段的斜率。对于折线图形，极值发生在使ΔZ/Δx变号的尖点处。xZ+-+00-极大值点xZ-+-00+极小值点

若移动荷载组在某位置刚好使Z取得极大值，则：当Δx>0，即荷载稍向右移，。当Δx<0，即荷载稍向左移，。

若移动荷载组在某位置刚好使Z取得极小值，则：当Δx>0，即荷载稍向右移，。当Δx<0，即荷载稍向左移，。

总之，当荷载在Z的极值点位置稍向左、右移动时，必须变号。如何使变号？是常数，可以变化的只是FRi。为了使FRi变化，必须有一个集中力位于影响线的顶点，此荷载记作FPcr，当FPcr位于影响线的顶点以左或以右时，会引起FRi发生变化，如下图示。FP1FP2FR1FPcrFP4FP5FR2FP1FP2FR1FPcrFP4FP5FR2

当移动荷载组左右移动时，能使改变符号的荷载FPcr称为临界荷载，相应的移动荷载组的位置称为临界位置。

在给定的移动荷载组中，能使变号的临界荷载可能不止一个。确定最不利荷载位置的步骤如下：1)

选定一个集中力作为FPcr，使它位于影响线的一个顶点上；2）当FPcr稍作左右移动时，分别计算的值。若变号，则此FPcr即为一临界荷载，相应的荷载位置为临界位置。用同样的方法可以确定其它的FPcr及相应的荷载临界位置。3)

对于每个荷载临界位置求出相应的Z值，比较各个Z值，可确定Zmax及Zmin，进而确定相应的最不利荷载位置。---临界荷载判别式此式表明:临界荷载计入哪一侧，哪一侧的荷载的平均集度大。当影响线为三角形时例

如下图多边形影响线及移动荷载组，试求荷载最不利位置和Z的最大值。已知q=37.8kN/m,FP1=FP2=FP3=FP4=FP5=90kN。FP1FP2FP3FP4FP5qaaaaaa=1.5m30mZ的影响线6m4m8mα1α310.75α21）将FP4放在影响线的最大点，移动荷载组的位置如下图示。2）计算。解：Z的影响线FP1FP2FP3FP4FP5qaaaaaa=1.5m6m3.5m16m4m8mα1α310.750.810.906α2若荷载稍向右移，各段荷载合力为：Z的影响线FP1FP2FP3FP4FP5qaaaaaa=1.5m6m3.5m16m4m8mα1α310.750.810.906α2若荷载稍向左移，各段荷载合力为：Z的影响线FP1FP2FP3FP4FP5qaaaaaa=1.5m6m3.5m1α26m4m8mα1α310.750.810.9063.5/8

因为变号，故FP4为临界荷载，相应的荷载位置为临界位置。3）计算Z值

容易确定只有FP4是临界荷载，所以相应的荷载位置就是最不利荷载位置。4.7简支梁的包络图和绝对最大弯矩

设计时要求在实际荷载作用下各截面的最大和最小内力值。P=1xlABCab0.090.160.210.240.25分别将各截面的最大和最小内力值连成的曲线称为内力包络图。12mAB3.5m3.5m1.56.001.22.412m21536646555957457821217915312794.365.041.725.316.48.20.0弯矩包络图（kN·m）剪力包络图（kN）例：绘制简支梁在两台吊车作用下的弯矩包络图和剪力包络图。简支梁的绝对最大弯矩

简支梁弯矩包络图中的最大竖标称为绝对最大值，即梁各截面最大弯矩中的最大值。作简支梁弯矩包络图一般不能求得绝对最大弯矩，因为等分截面不可能正好选中产生绝对最大弯矩的截面。对于同一简支梁，给定不同的移动荷载就可以求得不同的绝对最大弯矩。与求指定截面的最不利荷载位置不同的是，绝对最大弯矩产生的截面位置并不知道。1）它出现在那一个截面？2）在那一个集中荷载下面？设移动荷载的合力FR在FPcr的右侧：考虑AD段平衡：b1FP1FPcrFRFPnl/2l/2ACx…Ba/2a/2DFPiFPn-1FRAbiFP1FPcrAx…DFPiFRAb1biMD

上式中Mcr为D截面左侧荷载对截面D力矩的代数和。令得到

上式表明，当MD取得极值时，FPcr与FR之间的距离a被梁中点平分。荷载FPcr可以有不同的选择，实际上因为a较小，截面D靠近跨中截面C，故FPcr通常是使跨中截面的弯矩取得极大值的临界荷载。确定FPcr以后，按照FPcr与FR之间的距离a被梁中点平分的原则确定移动荷载在梁上的位置，进而求出弯矩的极值。

当FR在FPcr左侧时，在公式中，a<0。6.001.22.412m215366465559574578弯矩包络图（kN·m）续前例：计算简支梁在两台吊车作用下的绝对最大弯矩。3.5m3.5m1.56mAB6mR第5章静定结构的位移计算5.1应用虚力原理求刚体体系的位移5.2结构位移计算的一般公式5.3荷载作用下的位移计算5.4图乘法5.5温度作用时的位移计算5.6互等定理§5-1应用虚力原理求刚体体系的位移一、结构位移计算概述1.计算位移的目的：（1）结构的刚度验算；在工程上，吊车梁允许的挠度<1/600跨度；高层建筑的最大位移<1/1000高度。最大层间位移<1/800层高。（2）为分析超静定结构打下基础。AP2.产生位移的原因⑴荷载作用；⑵温度变化和材料胀缩；⑶支座沉降和制造误差。3.位移与变形由于上述三种因素均可使结构产生位移，但其内部不一定有变形。A点线位移A点水平位移A点竖向位移A截面转角位移角位移线位移AP以上都是绝对位移以上都是相对位移二.虚功原理求位移----单位荷载法abABCP=1ABCab虚功方程设虚力状态单位荷载其虚功正好等于拟求位移。三、支座移动时静定结构的位移计算已知位移求:（1）C点的竖向位移ΔC;（2）杆CD的转角β。ABCDABCD1ABCD1求解步骤⑴沿所求位移方向虚设单位荷载；⑵由平衡条件求出有支座移动处的支座反力；⑶建立虚功方程求解所得正号表明位移方向与假设的单位力方向一致。§5-2结构位移计算的一般公式一、局部变形时静定结构的位移计算BABA1AB

虚功方程：

例1、悬臂梁在截面B处由于某种原因产生相对转角，试求A点在i－i方向的位移Δｍ。例2、悬臂梁在截面B处由于某种原因产生相对剪位移，试求A点在i－i方向的位移ΔQ。BA

BA1

A

例3、悬臂梁在截面B处由于某种原因产生轴向位移

试求A点在ｉ－ｉ方向的位移ΔN

。BABA

BA

1由平衡条件：虚功方程：

当截面B同时产生三种相对位移时，在i－i方向所产生的位移，即是三者的叠加，有：ds

dsdsRds

二、结构位移计算的一般公式

一根杆件各个微段变形引起的位移总和：如果结构由多个杆件组成，则整个结构变形引起某点的位移为：若结构的支座还有位移，则总的位移为：适用范围与特点：2）形式上是虚功方程，实质是几何方程。关于公式普遍性的讨论：（1）变形类型：轴向变形、剪切变形、弯曲变形。（2）变形原因：荷载与非荷载。（3）结构类型：各种杆件结构。（4）材料种类：各种变形固体材料。1）适于小变形，可用叠加原理。

三、广义位移的计算求图a）结构A、B截面相对水平位移。a)

qABΔAHΔBHκ,γ0,

εb)AB11q求ΔφΔφ11单位荷载AB1/l1/l单位荷载ABlΔAVΔBV求+)/l=(ΔAVΔBVABFP1AB求ΔAV-ΔBV1AB11求ΔAV+ΔBVΔAVΔBV(A，B截面竖向位移之和）(A，B截面相对竖向位移）原结构§5-3荷载作用下的位移计算研究对象：静定结构、线性弹性材料。重点在于解决荷载作用下应变的表达式。一、计算步骤（1）在荷载作用下建立的方程，可经由荷载内力应力应变过程推导应变表达式。（2）由上面的内力计算应变，其表达式由材料力学知k--为截面形状系数1.2(3)荷载作用下的位移计算公式二、各类结构的位移计算公式（1）梁与刚架（2）桁架（3）组合结构例1：已知图示梁的E、G,求A点的竖向位移。解：构造虚设单位力状态.l

对于细长杆,剪切变形对位移的贡献与弯曲变形相比可略去不计.位移方向是如何确定的?求ΔDVPPP4m×3=12m3mABDC5P－8PP=15/3－4/30000000000－1－3PPP1111.51.5-4.74-4.42-0.954.51.53.010.50.5-1.58-1.58001.51.52P2P例1、计算屋架顶点的竖向位移。0.25l0.25l0.25l0.25lADCEFGBADDCDE材料杆件lA钢筋砼钢CEAEEG1111.51.5-4.74-4.42-0.954.51.53.010.50.5-1.58-1.58001.51.5ABCDEFG例:1)求A点水平位移

所加单位广义力与所求广义位移相对应,该单位广义力在所求广义位移上做功.三.单位力状态的确定2)求A截面转角3)求AB两点相对水平位移4)求AB两截面相对转角BA(b)试确定指定广义位移对应的单位广义力。A(a)P=1P=1P=1ABCd(c)试确定指定广义位移对应的单位广义力。AB(e)P=1P=1C(f)左右=？P=1P=1试确定指定广义位移对应的单位广义力。P=1(g)A(h)ABP=1P=1试确定指定广义位移对应的单位广义力。

§5-4图乘法

刚架与梁的位移计算公式为：在杆件数量多、荷载复杂的情况下,用积分法计算位移不方便.下面介绍计算位移的图乘法.òkidsEIMMòÞ=kiCEIdxMMEI1åòå==DPEIydxEIMM0w=yEI01w×=xtgEI01waò=BAkdxxMtgEI1aòÞBAkMdxxtgMEIi1a是直线òÞkidxEIMM直杆Mkdxxx0ωαMiMi=xtgαyxy0y0=x0tgα①∑表示对各杆和各杆段分别图乘再相加。②图乘法的应用条件：a）EI=常数；b）直杆；c）两个弯矩图至少有一个是直线。③竖标y0取在直线图形中，对应另一图形的形心处。④面积ω与竖标y0在杆的同侧，ωy0

取正号，否则取负号。åòå==DPEIydxEIMM0w⑤几种常见图形的面积和形心的位置：(a+l)/3(b+l)/3ω=hl/2labhl/2l/2h二次抛物线ω=2hl/3h3l/4l/45l/83l/8二次抛物线ω=hl/3二次抛物线ω=2hl/34l/5l/5hh三次抛物线ω=hl/4(n+1)l/(n+2)l/(n+2)hn次抛物线ω=hl/(n+1)顶点顶点顶点顶点顶点图（

）图BAq例:求图示梁(EI=常数,跨长为l)B截面转角解:应用图乘法时的几个具体问题①如果两个图形都是直线图形，则y0可取自任一个图形；②如果直线图形是由几段直线组成的折线，则应分段图乘；③当同一杆件的各杆段EI不相等时，也应分段图乘；④如果图形复杂，需分解为简单图形。PPaaa例：求图示梁中点的挠度。PaPaMPP=13a/4a/2a/2Pl/2l/2C例：求图示梁C点的挠度。MPPlCP=1l/2l/6l6EIPl123=PlEIC212=DEIPl4853=Pl65×øöllEIyC22210çèæ××==Dw5Pl/6？？非标准图形乘直线形

a）直线形乘直线形abdcl/3l/3l/3ω1ω2y1y2()bcadbdacl+++=226öødcçèæ+323bl+2dcøöçèæ+332al=2òyydxMMki+=2211wwMiMk各种直线形乘直线形，都可以用该公式处理。如竖标在基线同侧乘积取正，否则取负。S=9/6×（2×6×2+2×4×3+6×3+4×2）=111（1）32649＝labdch+bah232dchl+()226bcadbdaclS++++=b)非标准抛物线乘直线形P=111ly1y2y323=ly3221==yly12832323==qllqlw42212321===qllqlww8321232432414222=øöççèæ++=EIqllqllqllqlEI()1332211++=DMyyyEIwww↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑qllql2/2ql2/8qlql/2ql/2MPω1ω2ω2BFNP=ql/2FNP=0900193434832101222122423=====DD=lhbhMNlhbhlAlIEIqlEAql2122=××==DåPNEAqlEAlqlEAlFNFN§5-5温度作用时的位移计算温度改变对静定结构不产生内力，变形和位移是材料自由膨胀、收缩的结果。图示刚架的外侧温度升高t1，内侧温度升高t2，且设温度沿截面高度方向线性分布。设温度沿杆件截面厚度为线性分布，杆轴温度与上、下边缘的温差为：线膨胀系数t1t2t0hh1h2dsdθαt0dsαt1dsαt2ds上