数学贡献资料

三个无穷级数展开式传入中国1701年法国耶稣会传教士杜德美（P.Jartoux,1668—1720）到中国，带来三个级数展开式：牛顿（I.Newton）1667年π的展开式：格列高里（J.Gregory）1676年正弦、正矢展开式：

三式使用方便，计算精确，为中算所无，引起中国数学家的注意

第一页第二页，共14页。明安图的怀疑

但杜德美并未将三式的证明或推导过程一同带来，使人仅知其当然而不知其所以然明安图20多岁时，怀疑他们是否不愿将其中的道理一并传来，这就激发了他一定要把这个问题的原理搞清楚的决心后来他曾对儿子明新说，此三式“实古今所未有也，……惜仅有其法而未详其义，恐人有金针不度之疑。”

第二页第三页，共14页。

明安图刻苦钻研，走自己的路

明安图对传统数学有深刻了解，开始在业余时间刻苦钻研，走自己的路，创造了完整的“割圆连比例法”，不仅证明了此三式，而且获得另六式特别是在世界上首创卡塔兰数，推出正弦二、四、……倍角的无穷级数展开式，获得了一系列重要数学成果

第三页第四页，共14页。在中国首开无穷级数运算1、把原有的连比例法在n分弧法的基础上发展成为“割圆连比例法”2、在代数方面完成了“明安图变换”3、与“明安图变换”密切相关，建立了“明安图多项式”4、把“率”的概念应用于无穷级数，独创一套极数记法5、在中国数学史上奠定了无穷级数运算的基础

第四页第五页，共14页。在世界上首创卡塔兰数6、在世界数学史上首先提出并应用了卡塔兰数7、创立用含卡塔兰数的级数无穷逼近平方根的算法8、创立无穷级数求反函数的理论和算法，获得四组互反公式9、在级数回求过程中建立并应用了两种特殊的计数结构10、用递推法从事高位数值计算，最高达54位第五页第六页，共14页。提出“形数相生”和极限理论11、在中国数学史上首开无穷级数证明的先河，证明长达2.5万字12、提出“形数相生”的理论，“堪与笛卡儿轫解析几何媲美”（李俨）13、提出曲线和直线在无穷分割的条件下可以达到同一的极限理论14、首次将三角函数的无穷级数公式应用于天文计算之中15、采用近似计算和简便算法减少计算量第六页第七页，共14页。对几个数学概念的解释标志明安图割圆水平的工作是他的n分弧法，原著中的“通弦八法”是一些特例。n分弧法把传统的二分弧法和西方三分弧法引而伸之，表达了弦矢的和与积的一般关系“明安图变换”是他在代数方面的出色成就，奠定了清代级数论的基础，不仅割圆连比例的初始解、一般解均由该变换导出，清代级数论的每一步重要进展都以它为出发点。所以在明安图之后的一百多年里，中算家的无穷级数运算基本上是沿着这一方向前进“明安图多项式”是关于“明安图变换”的一个重要概念，因为这种变换的矩阵是由该多项式的值所构成，开方式系数同卡塔兰数的联系与区别由此得到说明第七页第八页，共14页。明安图1730~60年著书30余年明安图在青年时决心按自己的方式解决无穷级数的疑难，使他进入了数学的一个广阔的新天地经过十多年的酝酿和推算，他感到新的思想和方法都已经成熟了，便在1730年前后开始著书《割圆密率捷法》工作时断时续，“次第相求，以至成书，约三十余年”，因公务繁重，仅在业余研究数学第八页第九页，共14页。明安图临终的遗嘱从档案中能查到明安图进见皇帝的许多记录，大多与月食、月食、观候、编时宪书相关他两赴新疆从事大地测量，无暇著书特别是在担任钦天监监正之后，每年皇帝接见的记录都有二、三十次在他临终时（约在1763年），“以遗稿一帙嘱其季子景臻（即他的三儿子明新），命际新（即他的学生陈际新）续而成之”，并说：“余积解有年，未能卒业，汝与同学者务续而成之，则余志也。”第九页第十页，共14页。明安图唯一的遗著百年后出版明安图去世后，陈际新“寻绪推究，质以平日所闻面授之言，遇有疑义，则与先生之季子景臻及门人张良亭相与讨论；且良亭、景臻亦时同推步、校录。越数年，甲午（1774）始克成书。”《割圆密率捷法》书稿续成后为数学家张敦仁（1754—1834）所秘藏。但它的抄本曾经流传开，知道的人渐渐多起来。历经曲折，在明安图开始著书的一百多年之后，数学家罗士琳（1789—1853）从自己的老师戴简恪家中将原本影抄下来，请石梁岑建功校对出版，这已是1