重要平面曲线及其特点

三次抛物线

拐点:(0,0)

关于原点对称

尖点:(0,0)

在尖点处与x轴相切

关于x轴对称半立方抛物线第一页第二页，共22页。概率曲线

拐点:

拐点处切线斜率:

渐近线:

与x轴之间的面积:

关于y轴对称设

服从标准正态分布,则其概率密度函数为

拐点:

与x轴之间的面积:1第二页第三页，共22页。箕舌线或点击图中任意点动画开始或暂停

渐近线:y=0

曲线与渐近线之间的面积:M是直径为a的圆上的动点,Q是射线OM与y=a的交点,QP⊥x轴,MP∥x轴P点轨迹即为箕舌线.

轨迹:第三页第四页，共22页。蔓叶线或M是半径为a的母圆上的动点,满足OM=PQ之点P的轨迹即为

渐近线:

曲线与渐近线之间的面积:点击图片任意处播放开始或暂停

轨迹:蔓叶线第四页第五页，共22页。笛卡儿叶形线参数的几何意义:图形在第四象限图形在第二象限图形在第一象限动画走向:－∞→－1－1→+∞点击图中任意点动画开始或暂停第五页第六页，共22页。笛卡儿叶形线(续)

结点:在该点与x轴y轴相切,曲率半径为

顶点:

渐近线:

圈套所围面积:

曲线与渐近线之间的面积:第六页第七页，共22页。或星形线(内摆线的一种)

弧长:

所围面积:

轨迹:半径为半径为a的定圆滚动时,其上定点M的轨迹即为星形线的动圆圆周沿点击图片任意处播放开始或暂停第七页第八页，共22页。摆线点击图中任意点动画开始或暂停半径为a的圆周沿直线无滑动地滚动时,其上定点M的轨迹即为摆线.

轨迹:第八页第九页，共22页。摆线(续)

周期:

极大点:

曲率半径:

一拱长:

一拱面积:

渐屈线:仍为摆线,与原摆线一致第九页第十页，共22页。心形线或

尖点:(0,0)

面积:

弧长:

轨迹:外摆线的一种点击图中任意点动画开始或暂停动圆直径=定圆直径=a第十页第十一页，共22页。心形线的另一种形式即

尖点:(0,0)

面积:

弧长:点击图中任意点动画开始或暂停第十一页第十二页，共22页。外摆线(圆外旋轮线)族定圆圆心为(0,0),半径为a,动圆半径为b,m=1为心形线点击图中任意点动画开始或暂停第十二页第十三页，共22页。阿基米德螺线

物理意义:

动点M以常速v沿一射线运动,该射线又以定速

绕极点转动时,

点M的轨迹即为阿基米德螺线第十三页第十四页，共22页。阿基米德螺线(续)

等距性:过极点的射线与曲线

弧长:

曲率半径:

扇形它们之间的间隔都是第十四页第十五页，共22页。对数螺线的交角

都相等:(等角螺线)

等比性:过极点的射线与曲线交于各线段成等比级数,公比为

弧长:

曲率半径:曲线与所有过极点的射线动画走向为

等角性:点击图中任意点动画开始或暂停第十五页第十六页，共22页。双曲螺线

渐近点:极点O

渐近线:

曲率半径:

扇形

曲线由两支组成,它们关于y轴对称动画走向为点击图中任意点动画开始或暂停第十六页第十七页，共22页。伯努利双纽线或点击图中任意点动画开始或暂停

结点(同拐点):在该点的切线斜率为±1

顶点:

极值点:

曲率半径:

双纽面积:极值:对应点:第十七页第十八页，共22页。伯努利双纽线的轨迹特点

双纽线上的点M满足:

以为圆心,为半径作圆,自O作射线交圆于P,Q则双纽线右支上的点满足:由对称性,左支也有类似结果第十八页第十九页，共22页。伯努利双纽线的另一形式

结点(同拐点):在该点的切线为

x,y轴

顶点:

极值点:

曲率半径:

双纽面积: