《4.3.2 角的比较与运算》课件(两套)

4.3.2角的比较与运算第四章图形初步认识4.3角学习目标1.

掌握角的大小的比较方法.(重点)2.

理解角平分线和角的和、差、倍、分的意义及数量关系，能够用几何语言进行相关表述，并能解答相关问题.(重点、难点)3.

会进行涉及度、分、秒的角度的计算.(重点、难点)有一天学生张亮和王帅各带了一把折扇(如图所示),下面是他们的一段对话:张:我的折扇张开大一些,所以我的折扇的角也大一些.王:我的折扇长一些,所以我的折扇的角也大一些.导入新课情境引入同学们,你们有办法帮他们进行判断吗?ABCDEF怎样比较∠ABC和∠DEF的大小?线段长短的比较AB>CDAB<CDAB=CD温故知新AB=BC+ACBC=AB－ACAC=AB－BC线段的和、差线段中点若点C是线段AB的中点，则AC=BCAC=BC=ABAB=2AC=2BC讲授新课角的比较与计算一

类比线段长短的比较，你认为该如何比较两个角的大小？1.

度量法类比探究2.

叠合法ABO(O')B'(A')ABOABO想一想：你能用图形和几何语言说明两个角的大小关系吗？(两个角分别记作∠AOB，∠A'O'B')(O')B'(A')∠AOB＜∠A'O'B'∠AOB=∠A'O'B'∠AOB＞∠A'O'B'(O')(B')(A')图中有几个角？它们之间有什么关系？图中有3个角：∠AOC，∠AOB，∠BOC.∠AOC是∠AOB与∠BOC的和，记作∠AOC=∠AOB+∠BOC；它们的关系：∠AOB是∠AOC与∠BOC的差，记作∠AOB=∠AOC－∠BOC；类似地，∠AOC－∠AOB=

.观察与思考∠BOCABOC练一练如图所示：(1)∠AOC是哪两个角的和？(2)∠AOB是哪两个角的差？(3)如果∠AOB=∠COD，则∠AOC与∠BOD

的大小关系如何？BAOCD∠AOC=∠AOB+∠BOC.∠AOB=∠AOC－∠BOC=∠AOD－∠BOD.∠AOC=∠BOD.例1

如图，O是直线AB上一点，∠AOC＝53°17′，求∠BOC的度数.解：∵∠AOB是平角，∠AOB＝∠AOC+∠BOC.∴∠BOC＝∠AOB－∠AOC

＝180°－53°17′

＝179°60′－53°17′

＝126°43′.OCBA典例精析如何计算？可以向180º借1º，化为60′.(2)如图②，若∠AOB=60°，∠BOC＝40°，则∠AOC＝

°．(1)如图①，若∠AOC=35°，∠BOC＝40°，则∠AOB＝

°．

7520ABOCABOC图①图②变式训练(3)若∠AOB

＝60°，∠AOC

＝30°，则∠BOC

＝

°．90或30OB

ACC提示：无图条件下要分情况讨论.

如图，借助一副三角尺可以画出15°和75°的角，你还能画出哪些度数的角？试一试：75°15°例2

把一个周角7等分，每一份是多少度的角(精确到分)？解：360°÷7=51°+3°÷7=51°+180′÷7≈51°26′.答：每份是51°26′的角.有余数，可以把度的余数化成分后再除（1）120°－38°41′；

（2）67°31′+48°49′.解：原式=119°60′－38°41′=81°19′.解：原式=(67+48)°+(31+49)′=115°97′=116°37′.变式训练计算方法总结：涉及到度、分、秒的角度的加与减，要将度与度、分与分、秒与秒分别相加、减，分秒相加时逢60要进位，相减时要借1作60.练一练1.20°30′×8；

2.106°6′÷5.解：原式=(106÷5)°+(6÷5)′=21°+1°÷5+(6÷5)′=21°+(66÷5)′=21°+13′+1′÷5=21°+13′+60″÷5=21°13′12″解：原式=20°×8+30′×8=160°240′=164°角的平分线二互动探究BAOC

动手做一做：在纸上画∠AOB，然后将其剪下来，将其沿经过顶点的线对折，使边OA与OB重合.将角展开，折痕上任取一点记作点C.类比线段中点的定义，填空：∠AOC_____∠COB;∠AOB=_____∠AOC.=2∵OC是∠AOB的角平分线，∴∠AOC

＝∠BOC

＝∠AOB，∠AOB

＝2∠BOC

＝2∠AOC.

一般地，从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线.

应用格式：OBAC例3

如图，OB是∠AOC的平分线，OD是∠COE的平分线.(1)如果∠AOC=80°，那么∠BOC是多少度？解：因为OB平分∠AOC，∠AOC=80°，OABCDE所以∠BOC=∠AOC=×80°=40°.(2)如果∠AOB=40°，∠DOE=30°，那么∠BOD

是多少度？

解：因为OB平分∠AOC，所以∠BOC=∠AOB=40°.因为OD平分∠COE，所以∠COD=∠DOE=30°，所以∠BOD=∠BOC+∠COD=40°+30°=70°.OABCDE(3)如果∠AOE=140°，∠COD=30°，那么∠AOB

是多少度？解：因为∠COD=30°，

OD平分∠COE，所以∠COE=2∠COD=60°，所以∠AOC=∠AOE－∠COE=140°－60°=80°.又因为OB平分∠AOC，OABCDE所以∠AOB=∠AOC=×80°=40°.例4

如图，已知∠AOB=40°，自O点引射线OC，若∠AOC：∠COB=2：3．求OC与∠AOB的平分线所成的角的度数．OAB解：分以下两种情况：设∠AOC=2x，∠COB=3x，∵∠AOB=40°，∴2x+3x=40°，得x=8°，∴∠AOC=2x=2×8°=16°.∵OD平分∠AOB，∴∠AOD=20°，∴∠COD=∠AOD-∠AOC=20°-16°=4°．CD

如图，OC在∠AOB内部，OD平分∠AOB，∴设∠AOC=2x，∠COB=3x，∵∠AOB=40°，∴3x-2x=40°，得x=40°，∴∠AOC=2x=2×40°=80°，∵OD平分∠AOB，∴∠AOD=20°，∴∠COD=∠AOC+∠AOD=80°+20°=100°．OABCD如图，OC在∠AOB外部，OD平分∠AOB，∴OC与∠AOB的平分线所成的角的度数为4°或100°．方法总结：涉及到角度的计算时，除常规的和差倍分计算外，通常还需运用方程思想和分类讨论思想解决问题.1.

如图：OC是∠AOB的平分线，OD是∠BOC的平分线，那么下列各式中正确的是()A做一做OABCD2.

如图，OC是平角∠AOB的角平分线，∠COD=32°，求∠AOD的度数.答案：∠AOD=122°.OABCD当堂练习1.

如图，∠AOB=∠COD=90，∠AOD=146°，则∠BOC=____.2.已知∠AOB=38°，∠BOC=25°，那么∠AOC

的度数是

.34°13°或63°OABCD3.

如图，∠AOB=170°，∠AOC=∠BOD=90°，求∠COD的度数答案：∠COD=10°.OABCD(1)12°36′56″+45°24′35″；(2)79°45′+61°48′49″；(3)62°24′17″×4；(4)102°43′÷3.4.

计算：答案：(1)58°；(2)141°33′49″；(3)249°37′8″；

(4)34°14′20″.5.如图，已知∠AOC=60°，∠BOD=90°，∠AOB是∠DOC的3倍，求∠AOB的度数．OADCB解：设∠COD=x，∵∠AOC=60°，∠BOD=90°，∴∠AOD=60°-x，∴∠AOB=90°+60°-x=150°-x，∵∠AOB是∠DOC的3倍，∴150°-x=3x，解得x=37.5°，∴∠AOB=3×37.5°=112.5°．6.如图，∠AOB＝120°，OD平分∠BOC，OE平分∠AOC.(1)求∠EOD的度数；解：∵∠AOB＝120°，

OD平分∠BOC，

OE平分∠AOC，∴∠EOD＝∠DOC＋∠EOC＝(∠BOC＋∠AOC)

＝∠AOB＝×120°＝60°.(2)若∠BOC＝90°，求∠AOE的度数．解：∵∠AOB＝120°，

∠BOC＝90°，

∴∠AOC＝120°－90°

＝30°.

∵OE平分∠AOC，

∴∠AOE＝∠AOC＝×30°＝15°.课堂小结角的比较角的平分线度量法叠合法角的运算加与减乘与除角的和差倍分关系角的计算一、情景引入二、合作探究三、课堂小结四、课后作业提出问题知识要点典例精析巩固训练探究点一角的比较与运算4.3.2角的比较与运算学习目标1．在现实情境中，运用类比的方法，学会比较两个角的大小，丰富对角的大小关系的认识，会分析图中角的和差关系．通过动手操作，学会借助三角板拼出不同度数的角，认识角的平分线及角的等分线，会画角的平分线．2．进一步培养和提高识图能力和动手操作的能力，认识类比的数学思想方法．问题:你能比较图中三角形三条边AB、AC、Bc的长短吗？ABC一、情景导入首页你能比较图中三角形三个角∠A、∠B、∠C的大小吗？ABC二、合作探究探究点一角的比较与运算首页2.从“形”出发，利用线段移动叠合的方法ABAC1.从“数”出发，通过度量长度进行数值大小比较。首页45°60°AoBDEF度量法所以:∠AOB＜∠DEF读数为45读数为60如何比较角的大小？首页ED落在∠ABC的外部，则∠DEF＞∠ABC。把∠DEF移动，使它的顶点E和∠ABC的顶点B重合，一边EF和BC重合，另一边ED和BA落在BC的同旁。ABCDEF（）（）比较∠ABC和∠DEF的大小叠合法首页（）（）（）例如：ED与BA重合，则∠DEF＝∠ABC。把∠DEF移动，使它的顶点E和∠ABC的顶点B重合，一边EF和BC重合，另一边ED和BA落在BC的同旁。ABCDEF比较∠ABC和∠DEF的大小首页例如：ED落在∠ABC的内部，则∠DEF＜∠ABC把∠DEF移动，使它的顶点E和∠ABC的顶点B重合，一边EF和BC重合，另一边ED和BA落在BC的同旁。ABCDEF（）（）比较∠ABC和∠DEF的大小首页1OAB2CBOA1BOOBC2顶点与一边重合角的和差首页1OAB2CBOA1BOOBC2

AOC为1和2的和记作AOC=1+2（）

AOC为1和2的差记作AOC=1–2（）顶点与一边重合角的和差首页OACB思考：下图中共有几个角？

它们有什么关系？完成下列问题：1、图中共有＿＿个角，它们分别是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿2、∠AOB＝＿＿＿＿+＿＿＿＿＿3、∠AOC＝＿＿＿＿－＿＿＿＿＿4、∠BOC＝＿＿＿＿－＿＿＿＿＿3∠AOB∠AOC∠BOC∠AOC∠BOC∠AOB∠BOC∠AOB∠AOC首页2121BOACO当1=2时，射线OB把AOC分成两个相等的角，这时OB叫做AOC的平分线，也可以说OB平分AOC首页定义：一般地，从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线（angularbisector）。

知识要点首页例1按图1填空：4）∠A0B＋∠BOC＝5）∠A0C＋∠COD＝6）∠B0D－∠COD＝7）∠A0D－＝∠A0BODCBA图1∠AOC∠AOD∠BOC∠BOD1）∠D0B∠BOC2）∠C0B∠AOC3）∠D0C＋∠COB∠B0D＞＜＝典例精析首页OCB例2如图：O是直线AB上一点，∠AOC＝53°17′求∠BOC的度数解：因为∠AOB是平角∠AOB＝∠AOC+∠BOC所以∠BOC＝∠AOB－∠AOC

＝180°－53°17′

＝126°43′A首页三、课堂小结1、比较两个角大小的方法2、角的和、差、倍、分关系3、角平分线首页4.3.2角的比较与运算

ABAC线段的比较方法1.从“数”出发，通过度量长度进行数值大小比较。2.从“形”出发，利用线段移动叠合的方法45°60°AoBDEF所以:∠AOB＜∠DEF读数为45读数为60如何比较角的大小？度量法ED落在∠ABC的外部，则∠DEF＞∠ABC。把∠DEF移动，使它的顶点E和∠ABC的顶点B重合，一边EF和BC重合，另一边ED和BA落在BC的同旁。ABCDEF（）（）叠合法比较∠ABC和∠DEF的大小ED落在∠ABC的内部，则∠DEF＜∠ABC把∠DEF移动，使它的顶点E和∠ABC的顶点B重合，一边EF和BC重合，另一边ED和BA落在BC的同旁。ABCDEF（）（）例：比较∠ABC和∠DEF的大小1OAB2CBOA1BOOBC2顶点与一边重合角的和差1OAB2CBOA1BOOBC2

AOC为1和2的和记作AOC=1+2（）

AOC为1和2的差记作AOC=1–2（）顶点与一边重合角的和差OACB思考：下图中共有几个角？它们有什么关系？完成下列问题：1、图中共有＿＿个角，它们分别是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿2、∠AOB＝＿＿＿＿+＿＿＿＿＿3、∠AOC＝＿＿＿＿－＿＿＿＿＿4、∠BOC＝＿＿＿＿－＿＿＿＿＿3∠AOB，∠AOC，∠BOC∠AOC∠BOC∠AOB∠BOC∠AOB∠AOC4）∠A0B＋∠BOC＝5）∠A0C＋∠COD＝6）∠B0D－∠COD＝7）∠A0D－＝∠A0BODCBA图1∠AOC∠AOD∠BOC∠BOD1）∠D0B∠BOC2）∠C0B∠AOC3）∠DOC＋∠COB∠B0D＞＜＝练习1：１５°75°借助一副三角尺，大家都能画出哪些度数的角？例1如图：O是直线AB上一点，∠AOC＝53°17′求∠BOC的度数解：∵∠AOB是平角，