模糊逻辑与模糊推理

第4章模糊逻辑与模糊推理4.1逻辑推理概述4.2二值逻辑和模糊逻辑4.3模糊推理1/9/202414.1逻辑推理概述逻辑学研究概念、判断和推理形式的一门科学。数理逻辑逻辑与数学相结合的一门科学。17世纪德国科学家莱布尼兹开始，把数学方法用于哲学的研究。采用一套符号代替人们的自然语言进行表述。在逻辑上只取“真〞和“假〞两值，也称二值逻辑。1/9/202424.1逻辑推理概述推理人类的一种重要的思维方式，从的判断推断出未知的判断。逻辑学研究的重点。推理的方式演绎推理：以一般的普遍适用的原理为前提，推导到某个特殊情况作出结论的推理方法，即一般到特殊。归纳推理：由特殊情形的前提，归纳出一般原理的结论的推理，即特殊到一般。1/9/202434.1逻辑推理概述演绎推理数理逻辑主要的研究内容。演绎推理一般具有三段论法的形式。从两个两个判断，得出第三个判断。举例—苏格拉底论述：大前提：所有的人都是要死的小前提：苏格拉底是人结论：苏格拉底总是要死的1/9/202444.1逻辑推理概述归纳推理〔归纳法〕完全归纳法在前提中列出全部推理的特殊情况，得出一般化的结论。举例：数学归纳法不完全归纳法仅列出全部特殊情况的一个或几个，而归纳出一般的结论举例：抽样试验派生：类比推理从特殊到特殊，利用两种事物的一局部属性相似，推断另一局部。1/9/202454.1逻辑推理概述传统逻辑推理基于二值逻辑处理的信息和推理的规那么是精确的、完备的不精确推理〔不确定推理、近似推理〕处理不精确、不确定、不完备的信息，利用不精确、不完备的知识、规那么。不精确性的起因：随机性、模糊性等模糊逻辑推理〔模糊推理〕基于模糊逻辑的方法处理由模糊性引起的不精确推理。1/9/202464.2二值逻辑和模糊逻辑命题句子：用来表达一个完整概念的语言或文字符号。命题：一个有意思的句子，能够判断它的涵义是真或假。命题的取值：“真〞或“假〞举例：月球是地球的卫星 。 命题：真牛是食肉动物。 命题：假今天开会吗？ 疑问句—>不是命题计算机 不是句子—>不是命题1/9/202474.2二值逻辑和模糊逻辑命题真值：命题的真假值，一个命题的真和假表示：“真〞—>“1〞 “假〞—>“0〞二值逻辑：逻辑值只有真或假，即0或1命题属于二值逻辑原子命题简单句构成的命题。复合命题用命题联结词把两个或两个以上简单命题联结起来1/9/202484.2二值逻辑和模糊逻辑命题联结词析取〔〕：表示“或〞。合取〔〕：表示“与〞、“并且〞。否认〔—〕：表示对原命题的否认。蕴含〔〕：表示“如果……那么〞。等价〔〕：表示“当且仅当〞，或称互蕴含。传统命题逻辑根本公理每一命题是真或假，但不能既真又假；由确定的术语所组成的表达式，都是命题；析取、合取、否认、蕴含、等价运算组成的表达式也是命题。1/9/202494.2二值逻辑和模糊逻辑命题联结词蕴含：一个蕴含是“真〞，必须满足三个条件之一：1〕前提是真，结论是真；在教书，是教师；2〕前提是假，结论是假；不教书，不是教师；3〕前提是假，结论是真。不在教书，是教师；蕴含是“假〞时，那么：4〕前提是真，结论是假。在教书，不是教师。1/9/2024104.2二值逻辑和模糊逻辑命题联结词用P，Q分别表示两个命题

逻辑关系用真值表示1/9/2024114.2二值逻辑和模糊逻辑命题联结词二个重要的同义反复从真值表可以获得证明：

1/9/2024124.2二值逻辑和模糊逻辑蕴含特征函数表达式或1-1-1100111001000110110011111/9/2024134.2二值逻辑和模糊逻辑模糊命题含有模糊成分的命题判断的结果：非真非假，处于真假之间的模棱两可的状态。举例：他是个胖子。 很难判断命题取真或取假更确切的说法：他是胖子的程度是多少。取值：{0，1}—>[0，1]表示：用大字母加一“~〞表示，如：。的真值用(或)表示，1/9/2024144.2二值逻辑和模糊逻辑原子模糊命题最根本的命题。复合模糊命题用命题联结词把两个或两个原子模糊命题联结起来。命题联结词析取〔〕：表示“或〞。合取〔〕：表示“与〞、“并且〞。否认〔—〕：表示对原命题的否认。蕴含〔〕：表示“如果……那么〞。等价〔〕：表示“当且仅当〞，或称互蕴含。1/9/2024154.2二值逻辑和模糊逻辑4.2二值逻辑和模糊逻辑幂等律：交换律：结合律：吸收律：1/9/2024164.2二值逻辑和模糊逻辑4.2二值逻辑和模糊逻辑分配律：双否律：德.摩根律：常数运算法那么：1/9/2024174.3模糊推理假言推理模糊逻辑推理的根本形式。假言推理的两种形式肯定前件式否认后件式均为三段论形式的推理方式三段论可对的情况判断三段论不能对的情况判断1/9/2024184.3模糊推理假言推理的两种形式肯定前件式：大前提〔一般规那么〕：IFx是A，THENy是B小前提〔特殊证据〕：x是A————————————————————结论： ｙ是B简记： 〔A〕→(B) 〔A〕———————————————————— 〔B〕1/9/2024194.3模糊推理假言推理的两种形式否认后件式：大前提〔一般规那么〕：IFx是A，THENy是B小前提〔特殊证据〕： ｙ不是B————————————————————结论： x不是A简记： 〔A〕→(B) 〔〕———————————————————— 〔〕1/9/2024204.3模糊推理模糊推理假言推理所包含的概念由精确变为模糊推理是近似的、非确定的前提和结论都具有模糊性例：假设西红柿是红的，那么这个西红柿是熟的这个西红柿有点红—————————————————— 这个西红柿有点熟模糊概念：红的、熟的、有点红、有点熟1/9/2024214.3模糊推理模糊推理对应的形式广义的肯定前件式：大前提〔一般规那么〕：IFx是，THENy是小前提〔特殊证据〕：x是————————————————————结论： ｙ是简记： 〔〕→() 〔〕———————————————————— 〔〕1/9/2024224.3模糊推理模糊推理对应的形式广义的否认后件式：大前提〔一般规那么〕：IFx是，THENy是小前提〔特殊证据〕： ｙ不是————————————————————结论： x不是简记： 〔〕→() 〔〕———————————————————— 〔〕1/9/2024234.3模糊推理模糊推理假言推理的小前提只能是A或者模糊推理的小前提不限定为或者模糊推理的小前提可以是等。模糊推理的结论由模糊推理的合成规那么给出。模糊推理的推理方式肯定前件式：一种前向模糊匹配的推理，将与匹配以激活表达的规那么，而后导出结论，它与前向数据驱动的推理相关。否认后件式或肯定后件式：一种后向推理，它与后向目标驱动的推理相关。肯定后件式1/9/2024244.3模糊推理模糊推理对应的形式广义的肯定后件式：大前提〔一般规那么〕：IFx是，THENy是小前提〔特殊证据〕： ｙ是————————————————————结论： x是简记： 〔〕→() 〔〕———————————————————— 〔〕 1/9/2024254.3模糊推理判断句判断句：句型“x*是a〞。x*代表论域X上的任一个特定元素a是表示概念的词假设a表示清晰概念，句型“x*是a〞称为普通判断句对某一x∈X，“x*是a〞可能为真，也可能为假“x*是a〞是命题命题对应一个经典集合A：A是X上的集合，1/9/2024264.3模糊推理模糊判断句对任一x∈X，集合A的特征函数就等于命题“x是A〞的真值，即：集合A是句型〔a〕的集合表示，成为判断句〔a〕的真域。模糊判断句：“x*是a〞中a的表示模糊的概念。句型〔a〕表示对x为真的程度有多大的问题。“x是a〞是模糊命题，对应一个模糊集合。判断句〔a〕的真域可用隶属函数表示：1/9/2024274.3模糊推理推理句句型“假设x*是a，那么y*是b〞，简记为。普通推理句：a，b均表示清晰的概念。设x、y的论域分别是X、Ya、b两个清晰概念分别对应经典集合A和B对于任意一个命题的真值计算：1/9/2024284.3模糊推理推理句〔a〕的真域为〔b〕的真域为设R为推理句的真域显然R应为直积的子集，即当对为真，即蕴含式的真值为1。即1/9/2024294.3模糊推理推理句公式推导：特征函数：1/9/2024304.3模糊推理推理句“假设x*是a，那么y*是b〞举例 设关于热交换器问题有两个论域X={1，2，3，4}和Y={1，2，3，4，5，6}。其中X的元素代表标准温度，Y的元素代表标准压力。A={2，3}和B={3，4}分别为论域X，Y上的清晰集合。 求：演绎推理“如果A，那么B〞所确定关系R的隶属函数矩阵。 解：列出A，B1/9/2024314.3模糊推理推理句“假设x*是a，那么y*是b〞举例 计算 计算1/9/2024324.3模糊推理推理句“假设x*是a，那么y*是b〞举例 计算 计算R1/9/2024334.3模糊推理模糊推理句句型：假设x*是a，那么y*是b，简记为。假设a和b均为模糊概念，那么~为模糊推理句。〔a〕的真域为模糊集合〔b〕的真域为模糊集合定义：的真域为模糊集合，蕴含式的真值：1/9/2024344.3模糊推理模糊推理句表示对〔x，y〕为真的程度，即：对应集合形式为：注：假设给出其它形式的模糊蕴含式定义，也会有不同的形式。1/9/2024354.3模糊推理常用的模糊推理句假设A那么B型〔或IFATHENB〕例：假设室温较高，那么开电风扇。假设A那么B否那么C型〔或IFATHENBELSEC〕例：假设室温较低，那么停电风扇，否那么继续开电风扇。假设A且B那么C型〔或IFAANDBTHENC〕例：假设室温偏高且不断上升，那么开电风扇。1/9/2024364.3模糊推理“ifAthenBelseC〞语句可表示为：显然：A是原因，在一个论域X上；B、C都是结果，在另一个论域Y上。两个蕴含语句的特征函数分别为：即：A为真时，产生B，A为假时，与B无关；A为假时，产生C，A为真时，与C无关。1/9/2024374.3模糊推理“ifAthenBelseC〞语句真值表从上表可知：ABCA→B~A→C11*1*10*0*0*1*10*0*01/9/2024384.3模糊推理“ifAthenBelseC〞语句集合表示：显然：二值逻辑扩展到模糊逻辑，结论：假设有论域X、Y，二元模糊关系的隶属函数为：集合表示：1/9/2024394.3模糊推理“ifAthenBelseC〞语句举例〔续前例〕 设C={5，6}为标准压力论域Y上的另一个清晰集合。 求：演绎推理“如果A那么B，否那么C〞所确定的关系矩阵R。 解：写出C的Zadeh表示1/9/2024404.3模糊推理“ifAthenBelseC〞语句举例〔续前例〕 计算 计算R1/9/2024414.3模糊推理“ifAandBthenC〞语句模糊控制：A为误差，B为误差变化率，C为控制量。显然：A属于论域误差X，B属于论域误差变化率Y，C属于论域控制量Z，即语句确定的为三元模糊关系：1/9/2024424.3模糊推理“ifAandBthenC〞语句由于在模糊控制中，“假设M那么N〞语句中，只考虑，而不一定要考虑故对二元关系：有：集合表示法：隶属函数表示法：对于三元关系，可表示为：隶属函数表示：1/9/2024434.3模糊推理数学上三维矩阵的求取过程有ij个元素的二维矩阵T2可表示如下：二维矩阵T2和一个k个元素的行向量执行乘法是，那么可以得到三维矩阵T3，可表示如下：1/9/2024444.3模糊推理三维矩阵T3实质是把二维矩阵T2的每行都变成列向量，再以i个这样的列向量和第三维的k个元素相乘。1/9/2024454.3模糊推理三元模糊关系的计算方法：第一步：求，即第二步：把二元关系排成列向量形式，并且，每一行形成一个列向量。第三步：用中的每个列向量和行向量执行操作。举例：输入模糊量为：输出模糊量为：1/9/2024464.3模糊推理 求“假设A且B那么C〞语句的关系。根据，得：从，那么有1/9/2024474.3模糊推理三元模糊关系如下：1/9/2024484.3模糊推理模糊推理的合成规那么推理规那么是函数过程的一般化 图4-1函数从x=a和y=f(x),我们能够推断出：y=b=f(a)b可以看成直线x=a与f(x)的交点在Y上的投影1/9/2024494.3模糊推理模糊推理的合成规那么图4-2区间值函数a*1/9/2024504.3模糊推理模糊推理的合成规那么图4-3模糊推理合成规那么1/9/2024514.3模糊推理模糊推理的合成规那么令根据的定义：与的交采用取小运算：假定中有有限个隶属度不为0的元素，即1/9/2024524.3模糊推理模糊推理的合成规那么可表示为：进而：因此，到Y轴的投影可以看成n个到Y轴投影的重叠。每一个到Y轴的投影，有：1/9/2024534.3模糊推理模糊推理的合成规那么对n个到Y轴的投影是的并，即：因而：对于更一般的情况：上式称为合成规那么，记为：1/9/2024544.3模糊推理模糊推理的合成规那么举例 设： 求：1/9/2024554.3模糊推理模糊推理的合成规那么举例 解：1/9/2024564.3模糊推理模糊推理的根本形式的算法肯定前件式： 〔〕→() 〔〕———————————————————— 〔〕其中：显然，对于肯定前件式有1/9/2024574.3模糊推理Zadeh的模糊推理算法Mamdani的模糊推理算法1/9/2024584.3模糊推理模糊推理的根本形式的算法肯定后件式： 〔〕→() 〔〕———————————————————— 〔〕变形为： 〔〕→() 〔〕———————————————————— 〔〕1/9/2024594.3模糊推理模糊推理的合成规那么对应模糊关系为，即Y到X的模糊关系。显然有：当