湖南省衡阳市衡阳县五校联考2023-2024学年九年级上学期第一次月考数学试题

湖南省衡阳市衡阳县五校联考2023-2024学年九年级上学期第一次月考数学试题一、选择题（共8小题，满分32分，每小题4分）1．若y＝x−3+A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．计算：(30A．67 B．−67 C．2033．如图，在甲、乙两个大小不同的6×6的正方形网格中，正方形ABCD，EFGH分别在两个网格上，且各顶点均在网格线的交点上．若正方形ABCD，EFGH的面积相等，甲、乙两个正方形网格的面积分别记为S甲，S①正方形ABCD的面积等于S甲的一半；②正方形EFGH的面积等于S乙的一半；③上述结论中，所有正确结论的序号是（）A．①② B．②③ C．③ D．①②③4．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，D、E分别为CA、CB的中点，AF平分∠BAC，交DE于点F，若AC=6，BC=8，则EF的长为（）A．2 B．1 C．4 D．55．已知一元二次方程a（x+m）2+n＝0（a≠0）的两根分别为﹣3，1，则方程a（x+m﹣2）2+n＝0（a≠0）的两根分别为（）A．1，5 B．﹣1，3 C．﹣3，1 D．﹣1，56．已知a＞b，则aa−bA．a B．−a C．−a D．7．已知，在平面直角坐标系中点A、B的坐标分别为A（1，4），B（5，0）．点M、N分别为x轴、y轴上的两个动点．动点P从点A出发以1秒1个单位的速度沿A→N→M到点M，再以1秒2个单位的速度从点M运动到点B后停止．则点P运动花费的时间最短为（）秒．A．52 B．42 C．5 D．48．实数a，b，c满足a﹣b+c＝0，则（）A．b2﹣4ac＞0 B．b2﹣4ac＜0 C．b2﹣4ac≥0 D．b2﹣4ac≤0二、填空题（共7小题，满分28分，每小题4分）9．我们规定运算符号⊗的意义是：当a＞b时，a⊗b＝a+b；当a≤b时，a⊗b＝a﹣b，其它运算符号意义不变．按上述规定，计算(3⊗310．已知P1（a﹣1，5）和P2（2，b﹣1）关于x轴对称，则（a+b）2022的值为．11．设x1，x2是一元二次方程x2+x﹣2023＝0的两个根，则x21+2x1+x2＝12．如图△ABC中，E、F为BC的三等分点，M为AC的中点，BM与AE、AF分别交于G、H，则BG：GH：HM＝．13．将函数f（x）的图象上每个点的横、纵坐标都乘以﹣1，所得的新函数记作g（x），我们称f（x）与g（x）互为位似函数．则函数y＝3x2﹣1的位似函数是．14．如果方程（x﹣1）（x2﹣2x+k4）＝0的三根可以作为一个三角形的三边之长，那么实数k的取值范围是15．如图，在正方形ABCD中，点P是AB上一动点（不与A、B重合），对角线AC、BD相交于点O，过点P分别作AC、BD的垂线，分别交AC、BD于点E、F，交AD、BC于点M、N．下列结论：①△APE≌△AME；②PM+PN＝AC；③PE2+PF2＝PO2；④△POF∽△BNF；⑤点O在M、N两点的连线上．其中正确的是．三、解答题（共6小题，满分60分）16．已知a＝15+2，b＝（1）求a+b的值；（2）设m是a小数部分，n是b整数部分，求代数式4m2+4mn+n2的值．17．接种疫苗是阻断新冠病毒传播的有效途径.现有甲、乙两个社区疫苗接种点，已知甲社区接种点平均每天接种疫苗的人数是乙社区接种点平均每天接种疫苗的人数的1.25倍，且甲社区接种点完成3000人的疫苗接种所需的时间比乙社区接种点完成4000人的疫苗接种所需的时间少（1）求甲、乙两个社区疫苗接种点平均每天接种疫苗的人数；（2）一段时间后，乙社区疫苗接种点加大了宣传力度.该接种点平均每天接种疫苗的人数比原来平均每天接种疫苗的人数增加了25%，受乙社区疫苗接种点宣传的影响，甲社区疫苗接种点平均每天接种疫苗的人数比原来平均每天接种疫苗的人数减少了5m人，但不低于800人，这样乙社区接种点(m+15)天接种疫苗的人数比甲社区接种点2m天接种疫苗的人数多6000人，求m18．阅读下面的解题过程体会如何发现隐含条件并回答下面的问题化简：(1−3x解：隐含条件1﹣3x≥0，解得：x⩽1∴1﹣x＞0．∴原式＝（1﹣3x）﹣（1﹣x）＝1﹣3x﹣1+x＝﹣2x．（1）【启发应用】

按照上面的解法，试化简(x−3（2）【类比迁移】

实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简：a2（3）已知a，b，c为ABC的三边长．化简：(a+b+c19．如图（1），在平面直角坐标系中，A（a，0），C（b，2），过C作CB⊥x轴，且满足（a+b）2+a−b+4=0．（1）求三角形ABC的面积．（2）若过B作BD∥AC交y轴于D，且AE，DE分别平分∠CAB，∠ODB，如图2，求∠AED的度数．（3）在y轴上是否存在点P，使得三角形ABC和三角形ACP的面积相等？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由．20．阅读材料，根据上述材料解决以下问题：材料1：若一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根为x1，x2，则x材料2：已知实数m，n满足m2﹣m﹣1＝0，n2﹣n﹣1＝0，且m≠n，求nm解：由题知m，n是方程x2﹣x﹣1＝0的两个不相等的实数根，根据材料1得m+n＝1，mn＝﹣1，所以nm（1）材料理解：一元二次方程5x2+10x﹣1＝0两个根为x1，x2，则：x1+x2＝，x1x2＝．（2）类比探究：已知实数m，n满足7m2﹣7m﹣1＝0，7n2﹣7n﹣1＝0，且m≠n，求m2n+mn2的值．（3）思维拓展：已知实数s、t分别满足7s2+7s+1＝0，t2+7t+7＝0，且st≠1．求2st+7s+2t21．如图，在正方形ABCD中，边长为4，∠MDN＝90°，将∠MDN绕点D旋转，其中DM边分别与射线BA、直线AC交于E、Q两点，DN边与射线BC交于点F；连接EF，且EF与直线AC交于点P.（1）如图1，点E在线段AB上时，①求证：AE＝CF；②求证：DP垂直平分EF；（2）当AE＝1时，求PQ的长.

答案解析部分1．【答案】D【知识点】二次根式有意义的条件；解一元一次不等式组；点的坐标与象限的关系【解析】【解答】解：根据题意得：x−3≥06−2x≥0解得：x=3，∴y=3−3∴点P(3，∴点P(x，故答案为：D。

【分析】根据二次根式有意义的条件求出x、y的值，再根据平面直角坐标系内各象限点的坐标特征直接判断即可．2．【答案】A【知识点】二次根式的混合运算【解析】【解答】解：(30+21−3)(3+10−7故答案为：A.

【分析】根据二次根式的混合运算法则，结合平方差公式和完全平方公式计算。3．【答案】B【知识点】勾股定理；正方形的性质【解析】【解答】解：设甲正方形网格中每一小格长度为a，乙正方形网格中每一小格长度为b，则S甲=6a⋅6a=36a2，AB∴S正方形ABCD＝AB2=20a2∴正方形ABCD的面积大于S甲的一半；正方形EFGH的面积等于S∵S正方形ABCD＝S正方形EFGH，∴20a∴a2∴36a2：∴符合题意结论的序号是②③，故答案为：B．

【分析】先求出正方形ABCD的面积大于S甲的一半；正方形EFGH的面积等于S乙的一半，再结合S正方形ABCD＝S正方形EFGH，可得20a2=18b24．【答案】A【知识点】平行线的判定与性质；勾股定理的应用；三角形的中位线定理【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，

∴AB=AC2+BC2

=62+82

=10

∵D、E分别为CA、CB的中点

∴DE是△ABC的中位线

∴DE=12AB=5，DE//AB

∴∠AFD=∠BAF

∵AF平分∠BAC

∴∠DAF=∠BAF

∴∠DAF=∠AFD

故答案为：A.

【分析】根据勾股定理求出AB的长，再根据三角形中位线定理求出DE的长和DE∥AB，然后根据平行线的性质并结合角平分线的定义看得到∠DAF=∠DFA，进而得到DF=AD，即可求出EF的长。5．【答案】B【知识点】一元二次方程的根【解析】【解答】解：记y=x−2，则a(x+m−2)2+n=0即a故x=y+2=−1，3.故答案为：B.

【分析】利用换元法令y=x−2，可得到y的值，即可算出x的值，即方程a(x+m−2)6．【答案】D【知识点】二次根式的性质与化简【解析】【解答】解：由题意可得：−(b−a)2∴a<0∵a>b∴0>a>b∴a故答案为：D.

【分析】利用二次根式的定义可得a<0，即0>a>b，再根据二次根式的性质求解．7．【答案】A【知识点】二次根式的应用【解析】【解答】解：如图，作点A(1，4)关于y轴的对称点A′过点B作x轴的垂线，在此垂线上取一点C使BC=BM，∴CM=2连接A′N，MN，CM，AA′交当点A′，N，M，C在同一条线上时，AN+MN+2BM在Rt△CBM中，BM=BC，∴∠BMC=45°，∴∠OMN=∠BMC=45°，∴∠ONM=90°−∠OMN=45°，∴∠A∵A(1，4)，∴A′D=1，∴OD=4，Rt△A′DN中，∴ON=3，∴点N(0，3)，∴A′C的解析式为当y=0时，则x=3，∴M(3，0)，A′M=42∴点P运动花费的时间最短为42故答案为：A.

【分析】先确定出当A′，N，M，C在同一条直线上时，点P运动时路程最短，最短为A′C8．【答案】C【知识点】配方法的应用【解析】【解答】解：∵a−b+c=0∴b=a+c∴b====(a−c)∵(a−c)∴b2故答案为：C.

【分析】先由a−b+c=0得到b=a+c，然后化简b2−4ac，利用配方法转化为9．【答案】2【知识点】二次根式的加减法；定义新运算【解析】【解答】解：根据题中的新定义得：(===23故答案为：23

【分析】根据题中的新定义式，结合二次根式加减法则计算．10．【答案】1【知识点】代数式求值；关于坐标轴对称的点的坐标特征【解析】【解答】解：∵P1(a−1，5)和P2∴a−1=2，解得a=3，∴(a+b)2022故答案为：1.

【分析】根据关于x轴对称的两个点，横坐标相等，纵坐标互为相反数，求得a，11．【答案】2022【知识点】一元二次方程的根与系数的关系【解析】【解答】解：∵x1，x2是一元二次方程∴x1∴x1∴x1故答案为：2022.

【分析】一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，若x12．【答案】5：3：2【知识点】平行线分线段成比例【解析】【解答】解：过点M作MK∥BC，交AF，AE分别于K，N，∵M是AC的中点，∴MNEC∵E、F为BC的三等分点，∴BE=EF=FC，∴MN=2NK，∵MHBH=MK∴MH=14BH设MH=a，BH=4a，BG=GM=5∴GH=GM−MN=3∴BG：GH：HM=5故答案为：5：3：2.

【分析】先过点M作MK∥BC，交AF，AE分别于K，N，由M是AC的中点与E、F为BC的三等分点，根据平行线分线段成比例定理，即可求得MH=14BH13．【答案】y＝﹣3x2+1【知识点】位似变换【解析】【解答】解：∵将函数f(x)的图象上每个点的横、纵坐标都乘以−1，所得的新函数记作g(x)，我们称f(x)与g(x)互为位似函数，∴函数y=3x2−1即y=−3x故答案为：y＝﹣3x2+1.

【分析】根据“位似函数”函数的定义作答．14．【答案】3＜k≤4【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；三角形三边关系【解析】【解答】解：由题意得：x−1=0，x∴x设x2−2x+k4=0的两根分别是m、n∴m−n=(根据三角形三边关系定理，得：m−n<1<m+n，即4−k<1<2∴4−k<14−k>0故答案为：3＜k≤4.

【分析】先根据题意得出方程的一个根为1，然后设另一个一元二次方程的两个根为m和n，再根据根的判别式、完全平方公式、三角形三边的关系m−n<1＜m+n即可求得k的取值范围．15．【答案】①②③⑤【知识点】三角形全等的判定；勾股定理；矩形的判定；正方形的性质【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，AC、BD为对角线，∴∠MAE=∠EAP=45°，根据题意MP⊥AC，故∠AEP=∠AEM=90°，∴∠AME=∠APE=45°，在三角形△APE与△AME中，∠AEP=∠AEMAE=AE∴△APE≌△AME(ASA)，故①正确；∴ME=EP=AE=1同理，可证△PBF≌△NBF，PF=NF=1∵正方形ABCD中，AC⊥BD，又∵PM⊥AC，PN⊥BD，∴∠PEO=∠EOF=∠PFO=90°，∴四边形PEOF为矩形，∴PF=OE，∴OE+AE=PF+PE=NF+ME=AO，又∵ME=EP=AE=1FP=FN=1∴PM+PN=AC，故②正确；∵四边形PEOF为矩形，∴PE=OF，在直角三角形OPF中，OF∴PE2+P∵△BNF是等腰直角三角形，而P点是动点，无法保证△POF是等腰直角三角形，故④错误；连接MO、NO，在△OEM和△OEP中，OE=OE∴△OEM≌△OEP，OM=OP，同理可证△OFP≌△OFN，OP=ON，又∵∠MPN=90°，OM=OP=ON，∴M，N，P在以O为圆心，OP为半径的圆上，又∵∠MPN=90°，∴MN是圆O的直径，∴点O在M、N两点的连线上．故⑤正确．故答案为：①②③⑤.

【分析】①根据题意及正方形的性质，利用ASA判断△APE≌△AME；②根据△APE≌△AME及正方形的性质，得ME=EP=AE=12MP，同理可证PF=NF=12NP，根据题意可证四边形OEPF为矩形，则OE=PF，则③根据四边形PEOF为矩形的性质，在直角三角形OPF中，使用勾股定理，即可判断；④△BNF是等腰直角三角形，而P点是动点，无法保证△POF是等腰直角三角形，故④可判断；⑤连接MO、NO，证明OP=OM=ON，根据直角三角形斜边中线等于斜边一半，即可证明．16．【答案】（1）解：a＝15+2=a+b＝5﹣2+5+2＝25（2）解：∵2＜5＜3，∴0＜5﹣2＜1，4＜5+2＜5，∴m＝5﹣2，n＝4，∴4m2+4mn+n2＝（2m+n）2＝（25﹣4+4）2＝20【知识点】代数式求值；分母有理化；二次根式的混合运算【解析】【分析】（1）根据分母有理化的方法，将a、b分别进行化简，再将化简结果代入计算即可；

（2）根据无理数的估算求出m、n的值，再代入求值。注意能分解因式的先分解因式后再代入。17．【答案】（1）解：设乙社区疫苗接种点平均每天接种x人，则甲社区疫苗接种点平均每天接种1.由题意得：30001解得：x=800，经检验，x=800是原分式方程的解，且符合题意，∴1.答：甲社区疫苗接种点平均每天接种1000人，乙社区疫苗接种点平均每天接种800人；（2）解：由题意得：(1000−5m)×2m+6000=800×(1+25%整理得：m2解得：m1=90，∵1000−5m≥800，∴m≤40，∴m答：m的值为10．【知识点】一元二次方程的其他应用；分式方程的实际应用；一元二次方程的实际应用-工程问题【解析】【分析】（1）设乙社区疫苗接种点平均每天接种x人，则甲社区疫苗接种点平均每天接种1.25x人，根据甲社区接种点完成3000人的疫苗接种所需的时间比乙社区接种点完成4000人的疫苗接种所需的时间少2天即可列出分式方程即可求解；

（2）根据乙社区接种点(m+15)天接种疫苗的人数比甲社区接种点2m天接种疫苗的人数多18．【答案】（1）解：隐含条件2﹣x≥0，解得：x≤2，∴x﹣3＜0，∴原式＝（3﹣x）﹣（2﹣x）＝3﹣x﹣2+x＝1；（2）解：观察数轴得隐含条件：a＜0，b＞0，|a|＞|b|，∴a+b＜0，b﹣a＞0，∴原式＝﹣a﹣a﹣b﹣b+a＝﹣a﹣2b；（3）解：由三角形的三边关系可得隐含条件：a+b+c＞0，a﹣b＜c，b﹣a＜c，c﹣b＜a，∴a﹣b﹣c＜0，b﹣a﹣c＜0，c﹣b﹣a＜0，∴原式＝（a+b+c）+（﹣a+b+c）+（﹣b+a+c）+（﹣c+b+a）＝a+b+c﹣a+b+c﹣b+a+c﹣c+b+a＝2a+2b+2c．【知识点】二次根式的性质与化简；三角形三边关系【解析】【分析】（1）根据二次根式有意义的条件判断出x的范围，再根据二次根式的性质化简；（2）由a，b在数轴上的位置判断出a+b<0、b−a>0，再利用二次根式的性质化简即；（3）由三角形的三边关系得出a−b−c<0，b−a−c<0，c−b−a<0，再利用二次根式的性质化简计算．19．【答案】（1）解：∵（a+b）2≥0，a−b+4≥0，∴a=﹣b，a﹣b+4=0，∴a=﹣2，b=2，∵CB⊥AB∴A（﹣2，0），B（2，0），C（2，2）∴三角形ABC的面积=12（2）解：∵CB∥y轴，BD∥AC，∴∠CAB=∠ABD，∴∠3+∠4+∠5+∠6=90°，过E作EF∥AC，∵BD∥AC，∴BD∥AC∥EF，∵AE，DE分别平分∠CAB，∠ODB，∴∠3=∠4=∠1，∠5=∠6=∠2，∴∠AED=∠1+∠2=12（3）解：存在．理由如下：设P点坐标为（0，t），直线AC的解析式为y=kx+b，把A（﹣2，0）、C（2，2）代入得−2k+b=02k+b=2解得k=1∴直线AC的解析式为y=12∴G点坐标为（0，1），∴S△PAC=S△APG+S△CPG=12|t﹣1|•2+1∴P点坐标为（0，3）或（0，﹣1）．【知识点】点的坐标；三角形的面积【解析】【分析】（1）根据非负数的性质得到a=﹣b，a﹣b+4=0，解得a=﹣2，b=2，则A（﹣2，0），B（2，0），C（2，2），即可计算出三角形ABC的面积=4；

（2）由于CB∥y轴，BD∥AC，则∠CAB=∠ABD，即∠3+∠4+∠5+∠6=90°，过E作EF∥AC，则BD∥AC∥EF，然后利用角平分线的定义可得到∠3=∠4=∠1，∠5=∠6=∠2，所以∠AED=∠1+∠2=×90°=45°；

（3）先根据待定系数法确定直线AC的解析式为y=x+1，则G点坐标为（0，1），然后利用S△PAC=S△APG+S△CPG进行计算．20．【答案】（1）﹣2；−（2）解：∵7m2﹣7m﹣1＝0，7n2﹣7n﹣1＝0，且m≠n，∴m、n可看作方程7x2﹣7x﹣1＝0，∴m+n＝1，mn=−1∴m2n+mn2＝mn（m+n）＝﹣17＝﹣1（3）解：把t2+7t+7＝0，两边同时除以t2得：7•（1t）2+7•1则实数s和1t可看作方程7x2∴s+1t＝﹣1，s•1t＝∴2st+7s+2＝2s+7•st+＝2（s+1t）+7•＝2×（﹣1）+7×1＝﹣1．【知识点】代数式求值；一元二次方程的根与系数的关系【解析】【解答】（1）x1+x故答案为−2；−15【分析】（1）根据根与系数的关系直接得出答案；（2）由题意得出m、n可看作方程7x2−7x−1=0，据此知m+n=1（3）把t2+7t+7=0变形为1+7⋅1t+7⋅(1t)2=021．【答案】（1）解：①证明：∵四边形ABCD是正方形，∴DA＝DC，∠ADC＝∠DAE＝∠DCF＝90°，∴∠ADC＝∠MDN＝90°，∴∠ADE＝∠CDF，∴△ADE≌△CDE（ASA），∴AE＝CF.②∵△ADE≌△CDE（ASA），∴DE＝DF，∵∠MDN＝90°，∴∠DEF＝45°，∵∠DAC＝45°，∴∠DAQ＝∠PEQ，∵∠AQD＝∠EQP，∴△AQD∽△EQP，∴AQQE∴AQDQ∵∠AQE＝∠PQD，∴△AQE∽△DQP，∴∠DDP＝∠QAE＝45°，∴∠DPE＝90°，∴DP⊥EF，∵DE＝DF，∴PE＝PF，∴DP垂直平分线段EF.（2）解：作QH⊥AD于H，QE⊥AB于G.在Rt△ADE中，DE＝AD∵∠QAH＝∠QAG＝45°，∴HO＝QE＝AH＝EQ，设QH＝x，∵12×4×x+12×1×x＝∵x＝45∴AQ＝452，DQ＝DH2+H∵△AQD∽△EQP，∴AQ•PQ＝DQ•EQ，∴PQ＝4175【知识点】正方形的性质；相似三角形的判定与性质；线段垂直平分线的判定；三角形全等的判定（ASA）【解析】【分析】（1）①由正方形的性质可得DA＝DC，∠ADC＝∠DAE＝∠DCF＝90°，由角的和差关系可推出∠ADE＝∠CDF，然后证明△ADE≌△CDE，据此可得结论；②由全等三角形的性质可得DE＝DF，求出∠DEF＝45°，证明△AQD∽△EQP，△AQE∽△DQP，求出∠DPE＝90°，据此证明；

（2）作QH⊥AD于H，QE⊥AB于G，由勾股定理可得DE，易知HO＝QE＝AH＝EQ，设QH＝x，则由三角形的面积公式可得x的值，进而得到AQ、DQ、EQ的值，由相似三角形的性质可得AQ•PQ＝DQ•EQ，据此可得PQ的值.

试题分析部分1、试卷总体分布分析总分：120分分值分布客观题（占比）40.0(33.3%)主观题（占比）80.0(66.7%)题量分布客观题（占比）10(