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第一章二、收敛数列的性质一、数列极限的定义第二节数列的极限一、数列极限的定义引例.设有半径为

r

的圆,逼近圆面积S.如图所示,可知当

n无限增大时,无限逼近S

(刘徽割圆术)

,用其内接正

n

边形的面积定义:自变量取正整数的函数称为数列,记作或称为通项(一般项).若数列及常数a有下列关系:当n>

N

时,总有记作此时也称数列收敛

,否则称数列发散

.几何解释:即或则称该数列的极限为a,例如,趋势不定收敛发散例1.已知证明数列的极限为1.

证:欲使即只要因此,取则当时,就有故例2.已知证明证:欲使只要即取则当时,就有故故也可取也可由N

与

有关,但不唯一.不一定取最小的N.说明:

取例3.设证明等比数列证:欲使只要即亦即因此,取,则当n>N

时,就有故的极限为0.二、收敛数列的性质证:

用反证法.及且取因故存在N1,从而同理,因故存在N2,使当n>N2时,有1.收敛数列的极限唯一.使当n>N1时,假设从而矛盾.因此收敛数列的极限必唯一.则当n>N

时,故假设不真!满足的不等式例4.证明数列是发散的.

证:

用反证法.假设数列收敛,则有唯一极限a

存在.取则存在N,但因交替取值1与－1,内,而此二数不可能同时落在长度为1的开区间使当n>N

时,有因此该数列发散.2.收敛数列一定有界.证:

设取则当时,从而有取则有由此证明收敛数列必有界.说明:

此性质反过来不一定成立.例如,虽有界但不收敛.有数列3.收敛数列的保号性.若且时,有证:对a>0,取推论:若数列从某项起(用反证法证明)*********************4.收敛数列的任一子数列收敛于同一极限.证:设数列是数列的任一子数列.若则当时,有现取正整数K,使于是当时,有从而有由此证明*********************由此性质可知,若数列有两个子数列收敛于不同的极限,例如，

发散!则原数列一定发散.说明:内容小结1.数列极限的“

–N

”

定义2.收敛数列的性质:唯一性;有界性;保号性;任一子数列收敛于同一极限思考与练习1.如何判断极限不存在?方法1.

找一个趋于∞的子数列;方法2.

找两个收敛于不同极限

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