第三章 线性算子与线性泛函

第三章线性算子与线性泛函一致有界原理〔共鸣定理〕及其应用Hahn-Banach定理，非零有界线性算子存在性定理共轭空间与共轭算子开映射、逆算子及闭图形定理算子谱理论简介编辑课件定义：设A是距离空间X的子集，假设A在X中的任意一个非空开集中均不稠密〔A没有内点〕，那么称A是稀疏(疏朗)集；称X是第一纲的，假设X可表示成至多可数的稀疏集的并；不是第一纲的X称为是第二纲的。例子：X=有理数集，定义距离d(x,y)=|x-y|,那么X是第一纲的，每个单点集是X中的疏朗集。定理1(Baire纲定理)：完备的距离空间是第二纲的。推论1:欧式空间、Banach空间、Hilbert空间、有界线性算子空间L(X,Y)都是第二纲的。第一节共鸣定理及其应用编辑课件第一节共鸣定理及其应用编辑课件编辑课件编辑课件编辑课件编辑课件共鸣定理的应用1.机械求积公式的收敛性2.Lagrange插值公式的发散性定理：差值多项式作为连续函数的近似表达时，插值点的无限增多不能更好的逼近插值函数。3.Fourier级数的发散性问题：存在连续的周期函数，其Fourier级数在给定点发散。编辑课件编辑课件Fourier级数的发散性问题法国科学家J.-B.-J.傅里叶由于当时工业上处理金属的需要，从事热流动的研究。他在题为?热的解析理论?一文中，开展了热流动方程，并指出了任意周期函数都可以用三角基来表示的想法。他的这种思想，虽然缺乏严格的论证，但对近代数学以及物理、工程技术却都产生了深远的影响，成为傅里叶分析的起源。在积分变换中，F-变换是大家熟悉的，为让符号Σ与积分的交换，应当对F-级数(1)的收敛性加以必要的限制,如一致收敛性。因为可能存在不一致收敛的三角级数，而它确实表示一个函数。大量的事实让人们误以为：“ƒ的傅里叶级数一定能收敛于ƒ自身〞编辑课件编辑课件第二节Hahn-Banach定理n维赋范线性空间上的线性泛函与n元数组一一对应，有着具体的形式。有限维赋范线性空间上的线性泛函和线性算子都是连续的，那无穷维的情形呢，是否有非零的连续线性泛函，如果有，是否足够多？解决该问题的根本的想法之一：将我们熟悉的有限维上的泛函进行推广、延拓。这节是考虑的实赋范线性空间，对复的情形，类似结论都是成立的，不在赘述编辑课件设X是实线性空间，称X上泛函p是次可加正齐次的，如果满足例如：求元素的范数就是这种泛函定理1.(Hahn-Banach)：设p是实线性空间X上的次可加正齐次泛函，f是X的子空间M上的实线性泛函且那么存在X上的实线性泛函F满足：

编辑课件定理1(Hahn-Banach)证明的根本思路编辑课件编辑课件编辑课件编辑课件其证明：先对X仅比M多一维处理，再根据Zorn引理说明存在性。注：F没有唯一性。定理2：设X是实赋范线性空间，如果X多于一点，那么X上必存在非零的连续线性泛函。定理3〔Banach保范延拓定理〕：实赋范线性空间X的子空间M上的有界线性泛函f可保范延拓为X上的有界线性泛函F。推论1：设M是X的真闭子空间，那么存在X上的有界线性泛函F满足：编辑课件编辑课件推论2：设，那么存在X上的有界线性泛函满足注：这说明只要X多有一点，那么X上必存在非零的连续线性泛函。推论3：设，假设对X上任意连续线性泛函f都有练习：1.设X是实赋范线性空间，。

2.设X是赋范线性空间，如果X*是可分的，那么X也是可分的。编辑课件第三节共轭空间与共轭算子假设X与〔X*〕*〔X的二次对偶空间〕等距同构，那么称X是自反的。例子：L^p(p>1)是自反的，L^1不是自反的C[a,b]不是自反的〔参见哈尔莫斯的?测度论?中的相关结论〕。通过嵌入映射，可视X是X**的子空间。假设X是自反的，那么X*也是自反的。编辑课件定理1：设X是赋范线性空间，如果X*是可分的，那么X是可分的该定理启发我们可以用X*的性质来研究X的性质，该方向开展成为局部凸线性空间理论中的对偶理论定义1：设X,Y是赋范线性空间，B(X,Y)中元素T,Tn满足：对任意X中x和Y*中f，数列f(Tnx)收敛于f(Tx),那么称Tn弱收敛于T。注：从定义可看出，算子列的一致收敛可导出强收敛，强收敛可导出弱收敛，反之都是不成立的。例如后项移位算子S*编辑课件共轭算子定义2：设X、Y是赋范线性空间，T是从X到Y上的有界线性算子，对Y*中点f，式f*(x)=f(T(x)),定义了X上的一个有界线性泛函，该对应关系T*〔f〕=f*是Y*到X*的算子，称T*为T的共轭算子。例子：对实矩阵A，A*恰好就是A的转置。〔P1073.18〕对复矩阵B，B*是B转置后，每个元素再取复共轭，即B*是B的Hermit矩阵。编辑课件共轭运算的性质编辑课件在许多实际问题中，我们常常用到通过条件求未知元的问题，例如解代数方程，微〔积〕分方程等等将之抽象，统一起来研究，就是一般算子方程的求解问题，即考虑相应算子的逆算子的存在性问题如果还要求“解的唯一性，和对依赖的初始条件是连续的〞，那该问题便归结为“寻求连续的逆算子的存在问题〞这就是我们本节要介绍的与之密切相关的一些定理。第五节开映射、逆算子及闭图形定理编辑课件赋范线性空间上的有界线性算子T是双射时，其逆映射是存在的，线性的，是否连续？与函数情形是不同的例：求积分、微分是互逆的过程，积分算子的有界性并保证不了微分算子是无界的线性算子。定义5.1：设T是距离空间X到Y间的映射，假设T将开集映为开集，那么称T是开映射。例：同胚映射T是双射时，T是开映射当且仅当其逆映射是连续的编辑课件开映射定理定理1〔Banach开映射定理〕：设X,Y是Banach空间，B(X,Y)中元T是满射，那么T是开映射。证明用到Baire定理，这是本质的。定理2〔Banach逆算子定理〕：设X,Y是Banach空间，B(X,Y