第三章 状态方程的解

第二章控制系统的状态空间描述(复习)

2.1状态空间分析法2.2由系统框图导出状态空间描述2.3由系统机理导出状态空间描述2.4由输入输出描述导出状态空间描述及其几种标准形式

2.5离散时间线性系统的状态空间描述2.6线性定常系统的特征结构2.7由状态空间描述求传递函数2.8状态矢量的线性变换2.9组合系统的状态空间描述2005-11-5第三章线性系统的运动分析

3.1状态方程的齐次解3.2状态转移矩阵3.3线性系统的运动分析3.4连续系统的时间离散化3.5线性离散系统的运动分析2005-11-5概述建立了系统的数学描述之后，接着而来的是对系统作定量和定性的分析。定量分析主要包括研究系统对给定输入信号的响应问题，也就是对描述系统的状态方程和输出方程的求解问题。定性分析主要包括研究系统的结构性质，如能控性、能观性、稳定性等。本章先讨论用状态空间模型描述的线性系统的定量分析问题，即状态空间模型--状态方程和输出方程的求解问题。根据常微分方程理论求解一个一阶定常线性微分方程组，通常是很容易的。可是求解一个时变的一阶线性微分方程组却非易事。状态转移矩阵的引入，从而使得定常系统和时变系统的求解公式具有一个统一的形式。2005-11-5所谓齐次状态方程就是指状态方程中不考虑输入项(u(t)=0)的作用，满足方程解的齐次性。研究齐次状态方程的解就是研究系统本身在无外力作用下的自由(自治)运动。所谓非齐次状态方程就是指状态方程中输入项的作用，状态方程解对输入具有非齐次性。研究非齐次状态方程的解就是研究系统在外力作用下的强迫运动。3.1 状态方程的齐次解

2005-11-5齐次状态方程：，控制输入为零。(1)假设A为标量有：初始时刻t0=0,那么(2)假设A为方阵，证明略2005-11-53.2状态转移矩阵意义：说明齐次方程的解仅是初始状态的转移。称为矩阵指数函数，简称矩阵指数,又称为状态转移矩阵，记为：求解齐次状态方程的问题，核心就是计算状态转移矩阵的问题。2005-11-5状态转移矩阵的性质状态转移矩阵具有如下运算性质：

1)2)3)4)说明与可交换，且在式3〕中，令便可证明；说明可分解为的乘积，且是可交换的。证明:由性质3〕有 根据的这一性质，对于线性定常系统，显然有5)证明：由于那么即由转移至的状态转移矩阵为2005-11-56)证明：由和得到7)8)假设，那么证明：例状态转移矩阵为，试求

。解：根据状态转移矩阵的运算性质有9)假设，那么2005-11-5那么有：几个特殊矩阵指数(1)假设A为对角矩阵证:由定义知2005-11-5那么有：约当矩阵若为(2)2005-11-5那么有：具有约当块的矩阵若为(3)其中：为约当块2005-11-5矩阵指数(状态转移矩阵)的计算(1)定义法：按照定义直接计算，适合于计算机实现(2)拉氏变换法：有：例用Laplace变换法计算矩阵指数：解：那么有：2005-11-5(3)标准型法：2005-11-5解:1)特征值例矩阵试计算矩阵指数

2)计算特征向量：

3)构造变换阵P：那么有：2005-11-5设具有个重特征值则有2005-11-5解:1)计算特征向量和广义特征向量。例矩阵试计算矩阵指数得：2)计算矩阵指数：2005-11-5(4)化有限项法根据：根据凯莱-哈密顿定理表明：是、、、、的线性组合不断地进行下去，可以看出：、、、都是、、、、的线性组合其中，，为待定系数。的计算方法为：2005-11-51)特征根两两互异：2005-11-52)有个重特征值两端对求1至阶导数得：解方程组可求得2005-11-5例系统试用化有限的方法求矩阵的矩阵指数解：矩阵的特征方程为：特征值对于有对于有因为-1是重根，故需补充方程：从而可联立求得：2005-11-52005-11-52005-11-52005-11-52005-11-52005-11-53.3线性系统的运动分析非齐次状态方程的解=自由运动+强迫运动。第一个局部是由初始状态所引起的自由运动，它是系统的初始状态对系统状态的转移的影响，与初始时刻后的输入无关，称为状态的零输入响应。第二个局部是由输入所引起的系统强迫运动，它与输入有关，与系统的初始状态无关，称为状态的零状态响应。2005-11-5线性时不变系统状态方程的解单位脉冲输入信号作用下，系统的状态解2005-11-5例设系统状态方程为且

试求在作用下状态方程的解。解由于前面已求得

2005-11-5特征值对状态响应的影响状态响应的运动模式主要由特征值所决定。对实数特征值，运动模式为指数函数形式；对共轭复数特征值，运动模式为指数正余弦函数形式。假设特征值具有负实部，那么运动模式随时间单调的或震荡的衰减至稳态过程；假设特征值具有正实部，那么运动模式随时间单调的或震荡的扩散到无穷大而不能到达稳态。因此，特征值对系统运动行为具有主导性作用。特征向量对状态响应的影响状态响应可看成是各个特征值相应运动模式的一个线性组合，特征向量的影响表达于对不同运动模式的“权重〞上。特征向量对状态响应的影响本质上属于“量〞而非“质〞的范畴，即只能影响各个运动模式在组合中的比重，一般不影响各个运动模式本身。2005-11-53.4连续系统的时间离散化离散系统的工作状态可以分为以下两种情况。整个系统工作于单一的离散状态。对于这种系统，其状态变量、输入变量和输出变量全部是离散量，如现在的全数字化设备、计算机集成制造系统等。系统工作在连续和离散两种状态的混合状态。对于这种系统，其状态变量、输入变量和输出变量既有连续时间型的模拟量，又有离散时间型的离散量，如连续被控对象的采样控制系统就属于这种情况。对于第2种情况的系统，其状态方程既有一阶微分方程组又有一阶差分方程组。为了能对这种系统运用离散系统的分析方法和设计方法，要求整个系统统一用离散状态方程来描述。由此，提出了连续系统的离散化问题。2005-11-5为使连续系统的离散化过程是一个等价变换，必须满足如下条件和假设。在离散化之后，系统在各采样时刻的状态变量、输入变量和输出变量的值保持不变。保持器为零阶的，即加到系统输入端的u(t)在采样周期内不变，且等于前一采样时刻的瞬时值,故有u(t)=u(kT)kT≤t<(k+1)T采样周期T的选择满足香农采样定理，即采样频率2

/T大于2倍的连续信号x(k)的上限频率。2005-11-5精确法2005-11-52005-11-5近似离散化2005-11-5例试用近似离散化方法写出以下连续系统的离散化系统的状态方程:

解由近似离散化法计算公式，对本例有于是该连续系统的离散化状态方程为精确法的计算结果为对上述近似离散化法的精度可检验如下:当T=1s时，近似法的计算结果为2005-11-5近似法的计算结果为当T=0.001s时，精确法的计算结果为从上述计算结果可知，近似离散法只适用于较小的采样周期。将上述近似离散法和精确离散法比较知,由于I+AT和BT分别是eAT和eAtdtB的Taylor展开式中的一次近似，因此近似离散化方法其实是取精确离散化方法的相应计算式的一次Taylor近似展开式。由上述推导过程可知，一般说来,采样周期T越小，那么离散化精度越高。但考虑到实际计算时的舍入误差等因素,采样周期T不宜太小。2005-11-53.5线性离散系统的运动分析3.5.1递推法用递推法求解线性定常离散时间系统的状态方程

x(k+1)=Gx(k)+Hu(k)时，只需在状态方程中依次令k=0,1,2,…,从而有

x(1)=Gx(0)+Hu(0)

x(2)=Gx(1)+Hu(1)=G2x(0)+GHu(0)+Hu(1)2005-11-5Z变换法2005-11-5试求系统状态在输入u(k)=1时的响应。解1.用递推法求