医药数理统计方法概率

《医药数理统计方法》§4.1Ch4随机抽样及抽样分布2024/1/1120:361数理统计是一门以概率论为理论基础，利用试验数据来研究随机现象并认识其客观规律的学科。《医药数理统计方法》§4.1数理统计包括随机抽样和统计推断两方面的内容，前者研究如何合理地搜集数据，后者研究如何根据抽样数据对总体规律进行统计推断。2024/1/1120:362《医药数理统计方法》§4.1§4.1抽样的基本概念和方法一、总体与个体二、样本三、统计量2024/1/1120:363《医药数理统计方法》§4.1一、总体与个体

数理统计中，我们把研究对象的全体元素组成的集合称为总体，总体中的每个元素成为个体。例如，对某地区12岁儿童的生长发育情况进行研究，总体就是该地区的全体12岁儿童，个体就是每一个12岁儿童。生长发育是一个抽象、广泛的概念。在实际工作中，我们要用一些具体的数值作为研究生长发育的指标，如身高、体重等。2024/1/1120:364《医药数理统计方法》§4.1

从上述分析可知，对总体的研究，实际上是对总体中各项指标的研究。由于这些指标往往是随机变量，因此对总体的研究，归结为对随机变量的研究。

总体通常用X来表示。一个总体对应一个随机变量，一个个体对应随机变量的一个取值。2024/1/1120:365《医药数理统计方法》§4.11、抽样在一个总体X中抽取n个个体X1,X2,…,Xn,称为抽样；这n个个体称为总体X的一个样本；

n称为样本容量；随机变量X1,X2,…,Xn的具体观察值x1,x2,…,xn称为样本观察值，简称样本值。二、样本2024/1/1120:366《医药数理统计方法》§4.12、(简单随机)样本样本X1,X2,…,Xn相互独立且与总体有相同的分布函数，这样的样本称为简单随机样本，简称样本。注：1)特性：随机性、独立性、代表性；

2)在实际问题中，总体个数N较大，抽取的样本容量n较小时，可近似地认为放回与否不影响抽样的独立性，而采用无放回抽样，减少工作量。2024/1/1120:367《医药数理统计方法》§4.1三、常用抽样方法1、单纯随机抽样2、系统抽样3、分层抽样4、整群抽样5、多阶段抽样2024/1/1120:368《医药数理统计方法》§4.1§4.4抽样分布一、统计量二、的分布三、分布四、分布五、分布2024/1/1120:369《医药数理统计方法》§4.1一、统计量1、定义设X1,X2,…,Xn为总体X的一个样本，g(X1,X2,…,Xn)是一个连续函数，且g中不包含任何未知参数，则称g为一个统计量。注：样本X1,X2,…,Xn是随机变量，而统计量是随机变量的函数，因此统计量是一个随机变量。2024/1/1120:3610《医药数理统计方法》§4.12、样本均数2024/1/1120:3611《医药数理统计方法》§4.13、样本方差注：简算公式2024/1/1120:3612《医药数理统计方法》§4.14、样本标准差样本标准误2024/1/1120:3613《医药数理统计方法》§4.1样本是随机变量，统计量是样本的函数，所以也是随机变量。统计量作为随机变量也有自己的分布，我们将它称为抽样分布。对于简单随机抽样，样本具有独立同分布的特性，当总体分布已知时，作为样本函数的统计量，理论上讲，可以用求随机变量函数的分布的方法来求统计量的分布。本节将在已知总体分布为正态分布的情况下，讨论一些常用统计量的抽样分布。2024/1/1120:3614《医药数理统计方法》§4.3二、的分布1、正态随机变量的性质

1)随机变量X～N(μ,σ2)的线性函数Y=aX+b仍服从正态分布，且

Y～N(aμ+b,a2σ2)，这里a,b均为常数，且a

0。注：E(Y)=E(aX+b)=aE(X)+b=aμ+bV(Y)=V(aX+b)=a2V(X)=a2σ22024/1/1120:3615《医药数理统计方法》§4.32)n个相互独立的随机变量Xi～N(μi,σi2)，(i=1,2,…,n)的线性组合仍然服从分态分布，且这里ci是不全为零的常数。2024/1/1120:3616《医药数理统计方法》§4.32、Th4.3

设X1,X2,…,Xn是正态总体N(μ,σ2)的一个样本，则从而2024/1/1120:3617《医药数理统计方法》§4.3二、分布1、定义设相互独立随机变量X1,X2,…,Xn，均服从标准正态分布N(0,1)，则称服从自由度为n的

2分布，记作

2～

2(n)。2024/1/1120:3618《医药数理统计方法》§4.33)

2(n)分布的概率密度为注：1)自由度(degreeoffreedom)--统计量中独立变量的个数，记为df。2)定义中的n可取1，即

X～N(0,1),则X2～

2(1)其中Gamma函数2024/1/1120:3619《医药数理统计方法》§4.34)查表①n≤30,查P306附表6②n>30,利用公式2024/1/1120:3620《医药数理统计方法》§4.32、Th4.4

设

2～2(n)，则E(2)=n，V(2)=2n.

3、Th4.5

设

12～2(n1)，22～2(n2)，且它们是互相独立的，则

12+

22～2(n1+n2).

2024/1/1120:3621《医药数理统计方法》§4.34、Th4.6

设X1,X2,…,Xn是正态总体N(μ,σ2)的一个样本，则2024/1/1120:3622《医药数理统计方法》§4.3三、t分布1、定义设随机变量X～N(0,1)，Y～

2(n)，且X与Y相互独立，则称随机变量服从自由度为n的t分布，记作t～t(n)。

2024/1/1120:3623《医药数理统计方法》§4.3注：1)t(n)分布的概率密度为2)当n→∞时，t分布的极限分布为标准正态分布。2024/1/1120:3624《医药数理统计方法》§4.33)查表①n≤30,查P307附表7②n>30,利用公式2024/1/1120:3625《医药数理统计方法》§4.32、Th4.7

设X1,X2,…,Xn是正态总体N(μ,σ2)的一个样本，则2024/1/1120:3626《医药数理统计方法》§4.33、Th4.8

设X1,X2,…,Xn1和Y1,Y2,…,Yn2分别为取自正态总体N(

1,

2)和N(

2,

2)的样本，且它们相互独立，则有其中2024/1/1120:3627《医药数理统计方法》§4.3四、F分布1、定义设随机变量X～

2(n1)，Y～

2(n2)，且X与Y相互独立，则称随机变量服从自由度为n1，n2的F分布，记作F～F(n1，n2)。

2024/1/1120:3628《医药数理统计方法》