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文档简介

1.微分方程的基本概念微分方程及其阶,微分方程的初值问题,微分方程的解,通解和特解,积分曲线（解的几何意义）内容要点.2.一阶微分方程（1）可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程.解法为微分方程的解.分离变量法（2）齐次方程与可化为齐次的方程的微分方程称为齐次方程.解法作变量代换代入原式可分离变量的方程（其中h和k是待定的常数）解法有唯一一组解.得通解代回未必有解,上述方法不能用.可分离变量的微分方程.可分离变量的微分方程.可分离变量.一阶线性微分方程的标准形式:上方程称为齐次的.上方程称为非齐次的.(3)一阶线性微分方程一阶线性非齐次微分方程的通解为:伯努利(Bernoulli)方程的标准形式(4)Bernoulli方程解法:

需经过变量代换化为线性微分方程.化为线性微分方程求出通解后，将代入即得

(5)全微分方程或可化为全微分形式的方程●若有全微分形式则称为全微分方程或恰当方程解法（ⅰ）应用曲线积分与路径无关.通解为(ⅱ)用直接凑全微分的方法.例B凑微分法:A用曲线积分法:C不定积分法:原方程的通解为●若方程不是全微分方程，这时如果能找到一个适当的1）公式法:求解不容易特殊地:2）观察法:凭观察凑微分得到常见的全微分表达式可选用的积分因子有依次通过

n

次积分,可得含

n

个任意常数的通解.(1)型的微分方程2可降阶的高阶微分方程(2)型的微分方程设原方程化为一阶方程(3)型的微分方程令方程化为一阶微分方程3高阶线性微分方程形如的方程，称为n

阶线性微分方程，(2)

解法

(1)线性微分方程的性质和解的结构(ⅰ)

降阶法与常数变易法（对非常系数方程）●齐次线性微分方程求线性无关特解----降阶法代入(1)式,得则有解得刘维尔公式齐次方程通解为降阶法的一阶方程解得刘维尔公式齐次方程通解为降阶法的一阶方程●非齐次线性方程通解求法----常数变易法设对应齐次方程通解为(3)设非齐次方程通解为设(4)(5)(4),(5)联立方程组积分可得非齐次方程通解为可观察出一个特解(ⅱ)常系数线性微分方程解法n阶常系数线性微分方程的标准形式二阶常系数齐次线性方程的标准形式二阶常系数非齐次线性方程的标准形式二阶常系数齐线性微分方程特征方程特征根通解形式n

阶常系数齐线性微分方程的特征方程为特征根通解中的对应项求特解的方法根据

f(x)

的特殊形式,的待定形式,代入原方程比较两端表达式以确定待定系数.—待定系数法

(ⅲ)二阶常系数非齐次线性微分方程非齐次方程⑴对应的齐次方程的特征方程及特征根为单根二重根一对共轭复根方程(2)有下列形式的特解:2)对非齐次方程则可设特解:其中为特征方程的

k

重根(k=0,1),

上述结论也可推广到高阶方程的情形.应用微分方程解决实际问题的一般步骤1）根据问题的实际背景，利用数学和有关学科知识，建立微分方程，确定定解条件；2）根据方程的类型，用适当的方法求出方程的通解；3）对所得结果进行具体分析

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