微分方程概念和一阶微分方程

第5章微分方程基础5.2一阶微分方程5.1微分方程的基本概念5.3可降阶的二阶微分方程5.4二阶常系数线性齐次微分方程5.5微分方程在医药学中的应用5.1微分方程的基本概念5.1.1引例2.微分方程的阶4.微分方程的解5.1.2微分方程的基本概念1.微分方程3.线性微分方程5.微分方程的初始条件解根据题意有这就是曲线y=f(x)所满足的微分方程对其两端积分可得5.1.1引例解即求未知函数S=S(t).设列车开始制动后t秒内行驶了S米，由题意，列出微分方程：积分一次得再积分一次得根据题意知S应满足:因假定路程S是从开始制动时算起，故S(0)=0.将这两个条件代入(*)式得初始条件于是制动后列车的运动规律为初始条件(*)凡含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程.例实质

联系自变量,未知函数以及未知函数的某些导数(或微分)之间的关系式.5.1.2微分方程的基本概念1.微分方程（或微分）的关系式，称为微分方程.未知函数是多注定义未知函数是一元函数的微分方程，称为偏微分方程.本章只研究常微分方程，简称为微分方程，有时也简称为方程.例如是常微分方程，方程方程是偏微分方程.联系着自变量、未知函数以及它的导数元函数的微分方程，称为常微分方程.分类1

常微分方程,偏微分方程.2.微分方程的阶一阶微分方程高阶(n)微分方程分类2微分方程中出现的未知函数导数的最高阶数称为微分方程的阶.例例如：一般n阶线性微分方程具有形式如果方程为y及的一次有理整式，是二阶线性微分方程.这里a1(x)，…，an(x)，f(x)是x的已知函数.则称为n阶线性微分方程.不是线性方程的方程称为非线性方程.3.线性微分方程分类3

线性与非线性微分方程.分类4

单个微分方程与微分方程组.例如：是二阶非线性方程.定义为方程的解.例如：如果函数代入微分方程，能使微分方程变为恒等式，则称函数如果关系式决定的隐函数隐式解.是微分方程的解，则称为方程的函数是方程的解.4.022-=dtsd4.微分方程的解例如：隐式解.注今后不把解和隐式解加以区别，统称为方程一阶微分方程有解和而关系式x2+y2=1就是方程的的解.定义如果n阶常微分方程的解中含有n个独立的任意常数，则称它为微分方程的通解.不含任意常数的解称为它的特解.例如注1通解不一定就是所有解.是方程的通解；是方程的通解.注2求微分方程的通解时，通解中的C不能被省略，但“C为任意常数”可以被省略.例如：这两个解不包括在通解中.的通解，其中C为任意常数.容易验证y=1和y=-1都是方程的解.但或是方程5.微分方程的初始条件解所必需满足的条件，这就是所谓初始条件.为了确定微分方程一个特解，通常给出这个用未知函数及其各阶导数在某个特定点的值作为确定通解中的任意常数而得到特解的条件，称为初始条件

定义:如例1中的(2,3)是初始条件.过定点的积分曲线;一阶二阶过定点且在定点的切线的斜率为定值的积分曲线。初值问题

求微分方程满足初始条件的解的问题.5.微分方程的初始条件解所求特解为#一阶微分方程第5章微分方程基础5.2一阶微分方程5.1微分方程的基本概念5.3可降阶的二阶微分方程5.4二阶常系数线性齐次微分方程5.5微分方程在医药学中的应用5.2一阶微分方程5.2.1可分离变量的微分方程5.2.3一阶线性微分方程5.2.2齐次微分方程

5.2.1可分离变量的微分方程一阶微分方程的一般形式是的已知函数.是其中形如的微分方程称为已分离变量的微分方程.5.2一阶微分方程两边同时积分，得注其中C是任意常数.为了明显起见，将不定积分看成f(x)的一个原函数，而将积分常数C

（为通解表达式任意常数）单独写出来.的方程称为可分离变量的微分方程.形如或分离变量后，两边同时积分，即可得到通解。#5.2.2齐次微分方程形如的微分方程称为齐次微分方程.令则代入方程，得到关于未知函数u,自变量x的微分方程变量可分离两边积分得分离变量得回代，即可得通解.将的通解.解原方程可写为例1求微分方程其为齐次方程.令则原方程变为其中C为任意常数.代入上式中的u，便得原方程的通解为以#即分离变量得两边积分得即5.2.3一阶线性微分方程形如的方程称为一阶线性微分方程.“线性”指在方程中含有未知函数y注而Q(x)称为自由项.和它的导数的项都是的一次项，称为一阶齐次线性微分方程.称为一阶非齐次线性微分方程.当自由项Q(x)=0时，当Q(x)≠0时，方程即通解为其中C为任意常数.一阶齐次线性方程的解法是可分离变量方程，分离变量并积分讨论两边积分非齐次方程通解形式与齐次方程通解相比:一阶非齐次线性方程的解法只要解得C(x),则可直接写出非齐次方程通解为：常数变易法把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法.作常数变易由对应的齐次方程的通解:得到非齐次方程通解形式代入原微分方程,解出待定的C(x)即可。为此积分得非齐次线性微分方程的通解非齐次方程特解对应齐次方程通解具体步骤常数变易法具体步骤如下：1.求出对应的齐次微分方程的通解2.将上式中的常数C换成待定的函数C(x)，设非齐次微分方程的通解为3.将上式代入原非齐次方程,解出待定的C(x)原非齐次微分方程的通解.4.将解出的C(x)代回,即得

例1解将方程改写为求方程的通解（n为常数）.1.先求对应齐次线性方程的通解.由得到齐次线性方程的通解为2.由常数变易法,设非齐次线性方程的通解为3.将上式代入原非齐次方程,解出待定的C(x)原方程的通解为注求解非齐次线性微分方程时，也可直接利用通解公式.即其中是任意常数.4.将解出的C(x)代回即得

解例2例3解：由常数变易法（2）设非齐次微分方程的通解为（1）（3）（4）#例4由题意得：又曲线过点从而：C=0即：解：微分方程;微分方程的阶;线性微分方程小结微分方程的解及其分类(1)通解微分方程的解中含有任意常数,且任意常数的个数与微分方程的阶数相同。(2)特解确定了通解中任意常数以后的解。特解的图象

一条积分曲线。通解的图象

积分曲线族。初始条件

用来确定任意常数的条件。第一节微分方程的基本概念本节主要讨论了常见的几种较为简单的一阶微分方程的解法，主要包括可分离变量方程、齐次方程、一阶线性微分方程等.可分离变量方程：通过分离变量并积分即可得到通解.或5.2一阶微分方程小结从而可化为可分离变量方程求解.