积分变换法学习课件

1.积分变换2.为什么进行积分变换？第一节傅里叶变换一、傅里叶级数和复数形式的傅里叶级数傅里叶级数的复数形式（指数形式）：二、傅里叶积分和傅里叶积分定理从傅里叶级数到傅里顺积分的过渡：三、傅里叶变换的定义例1求矩形脉冲函数的傅氏变换及其积分表达式。tf(t)d-函数的傅氏变换为:于是d(t)与常数1构成了一傅氏变换对.讨论:例如常数,单位阶跃函数以及正,余弦函数等,然而它们的广义傅氏变换也是存在的,利用单位脉冲函数及其傅氏变换就可以求出它们的傅氏变换.所谓广义是相对于古典意义而言的,在广义意义下,同样可以说,原象函数f(t)和象函数F(w)构成一个傅氏变换对.

在物理学和工程技术中,有许多重要函数不满足傅氏积分定理中的绝对可积条件,即不满足条件证法2：若F(w)=2pd(w),由傅氏逆变换可得例3证明：1和2pd(w)构成傅氏变换对.证法1：例4

求正弦函数f(t)=sinw0t的傅氏变换。t-w0w0Ow|F(w)|

例5证明：证：四、傅里叶变换的性质例6计算。

方法1：（先用平移性，再用相似性）方法2：（先用相似性，再用平移性）例6计算。

证：因为知

实际上,只要记住下面五个傅里叶变换,则绝大部分的傅里叶变换都无须用公式直接计算而可由傅里叶变换的性质导出.例7

若f(t)=cosw0t

u(t),求其傅氏变换。卷积的简单性质：卷积定理：例8求下列函数的卷积：由卷积的定义有例10求的傅氏变换。证明：第二节傅里叶变换法应用范围：求解无界区域的定解问题用傅里叶变换法求解定解问题的思想与步骤：（1）对定解问题作傅里叶变换，化偏微分方程为常微分方程；（2）求解像函数；（3）对像函数作傅里叶逆变换，得所求问题的解（作反演）。例1求解无限长弦的自由振动定解问题（假定：函数及其一阶导数是有限的，以后不再特别指出）【解】

对方程及初始条件做傅立叶变换简化表示为对其它函数也作傅氏变换，即为于是原定解问题变换为下列常微分方程的定解问题例2求解无限长细杆的热传导（无热源）问题【解】作傅氏变换，定解问题变换为常微分方程的初值问题的解是再进行逆傅里叶变换，交换积分次序引用积分公式且令例3定解问题：

【解】对于变量作傅氏变换，有定解问题变换为常微分方程

因为可取正、负值，所以常微分定解问题的通解为

常微分方程的解为设因为，故得到根据傅氏变换定义，

的傅氏逆变换为再利用卷积公式

最后得到原定解问题的解为容易看出与格林函数解出的结果具有相同的表示式．

第三节拉普拉斯变换一、拉氏变换的定义Fourier变换的两个限制：

tf(t)Otf(t)

e-stO1.定义：例1求单位阶跃函数根据拉氏变换的定义,有这个积分在Re(p)>0时收敛,而且有例2求指数函数f(t)=ekt

的拉氏变换(k为实数t>0).这个积分在Re(p)>k时收敛,而且有其实k为复数时上式也成立,只是收敛区间为Re(p)>Re(k)根据拉氏变换的定义,有

在半平面Re(p)>s0上一定存在,并且在Re(p)>s0的半平面内,F(p)为解析函数.2.拉氏变换的存在定理若函数f(t)满足:

(1)在t<0,f(t)=0;在t0的任一有限区间上分段连续;

(2)当t

时,f(t)的增长速度不超过某一指数函数,即存在常数M>0及

s00,使得

,0t<

则f(t)的拉氏变换Mf(t)tO说明：由条件2可知,对于任何t值(0

t<),

有

|f(t)e-pt|Me-et所以注1:大部分常用函数的Laplace变换都存在(常义下);注2：存在定理的条件是充分但非必要条件.3、常用函数的拉氏变换二Laplace变换的性质与计算

现在介绍拉氏变换的几个性质,它们在拉氏变换的实际应用中都是很有用的.为方便起见,假定在这些性质中,凡是要求拉氏变换的函数都满足拉氏变换存在定理中的条件,并且把这些函数的增长指数都统一地取为s0，在证明性质时不再重述这些条件.2.微分性质:

此性质可以使我们有可能将f(t)的微分方程转化为F(p)的代数方程.特别当时，有象函数的微分性质:例3求(k为实数)的拉氏变换.3.积分性质:例4求的拉氏变换.象函数积分性质:则例5求函数的拉氏变换.例6求函数的拉氏变换.1u(t-t)ttO例7求的拉氏变换.6卷积

1.卷积的概念：两个函数的卷积是指如果f1(t)与f2(t)都满足条件:当t<0时,f1(t)=f2(t)=0,

则上式可以写成：卷积定理：注：卷积公式可用来计算逆变换或卷积.例8三Laplace逆变换

前面主要讨论了由已知函数f(t)求它的象数F(p),但在实际应用中常会碰到与此相反的问题,即已知象函数F(p)求它的象原函数f(t).

由拉氏变换的概念可知,函数f(t)的拉氏变换,

实际上就是f(t)u(t)e-st

的傅氏变换.因此,按傅氏积分公式,在f(t)的连续点就有等式两边同乘以est,则

积分路线中的实部s有一些随意,但必须满足的条件就是e-stf

(t)u(t)的0到正无穷的积分必须收敛.计算复变函数的积分通常比较困难,但是可以用留数方法计算.右端的积分称为拉氏反演积分.RO实轴虚轴LCRs+iRs-iR为奇点s解析四Laplace变换的应用

对一个系统进行分析和研究,首先要知道该系统的数学模型,也就是要建立该系统特性的数学表达式.所谓线性系统,在许多场合,它的数学模型可以用一个线性微分方程来描述,或者说是满足叠加原理的一类系统.这一类系统无论是在电