2024年九年级中考数学专题复习：二次函数综合题（特殊四边形问题）

试卷第=page1010页，共=sectionpages1111页试卷第=page1111页，共=sectionpages1111页2024年九班级中考数学专题复习：二次函数综合题（特殊四边形问题）1．如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点，且OA＝OC，连接AC．(1)求抛物线的解析式．(2)若点P是直线AC下方抛物线上一动点，求△ACP面积的最大值及此时点P的坐标．(3)若点E在抛物线的对称轴上，抛物线上是否存在点F，使以A，B，E，F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出全部满足条件的点F的坐标；若不存在，请说明理由．2．如图，抛物线经过，两点，与x轴的另一个交点为A，与y轴相交于点C．(1)求抛物线的解析式和点C的坐标；(2)若点M在直线上方的抛物线上运动（与点B，C不重合），求使面积最大时M点的坐标，并求最大面积；（请在图1中探究）(3)设点Q在y轴上，点P在抛物线上，要使以点A，B，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，求全部满足条件的点P的坐标．（请在图2中探究）3．如图，抛物线经过A(﹣1，0)，B(3，0)，C(0，)三点．(1)求抛物线的解析式；(2)在抛物线的对称轴上有一点P，使PA+PC的值最小，求点P的坐标；(3)点M为x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N，使以A，C，M，N四点构成的四边形为平行四边形？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由．4．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的两边OA，OC分别在x轴和y轴上，，，抛物线经过点B，且与x轴交于点和点E．(1)求抛物线的表达式：(2)若P是第一象限抛物线上的一个动点，连接CP，PE，当四边形OCPE的面积最大时，求点P的坐标，此时四边形OCPE的最大面积是多少；(3)若N是抛物线对称轴上一点，在平面内是否存在一点M，使以点C，D，M，N为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，说明理由．5．已知二次函数的图像与轴的交于、两点，与轴交于点．(1)求二次函数的表达式及点坐标；(2)是二次函数图像上位于第三象限内的点，求点到直线的距离取得最大值时点的坐标；(3)是二次函数图像对称轴上的点，在二次函数图像上是否存在点．使以、、、为顶点的四边形是平行四边形？若有，请写出点的坐标（不写求解过程）．6．如图，已知抛物线y＝x2﹣5x+4与x轴交于点A和点B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C.(1)求A、B、C三点的坐标；(2)如图1，若点P是线段BC上的一个动点（不与点B，C重合），过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q，连接OQ，当线段PQ长度最大时，推断四边形OCPQ的外形，并说明理由；(3)如图2，在（2）的条件下，D是OC的中点，过点Q的直线与抛物线交于点E，且∠DQE＝2∠ODQ.在y轴上是否存在点F，使得△BEF为等腰三角形？若存在，求点F的坐标；若不存在，请说明理由.7．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A（-1，0），B（3，0），与y轴交于点C，作直线BC，点P是抛物线在第四象限上一个动点（点P不与点B，C重合），连结PB，PC，以PB，PC为边作平行四边形CPBD，点P的横坐标为m．(1)求抛物线对应的函数表达式；(2)当平行四边形CPBD有两个顶点在x轴上时，点P的坐标为；(3)当平行四边形CPBD是菱形时，求m的值．8．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，．(1)求该抛物线的解析式；(2)点为直线上方抛物线上一动点，过点作轴，交于点，过点作于，当线段的长度取得最大值时，求点的坐标和线段的长度；(3)把抛物线沿射线方向平移个单位，是新抛物线对称轴上一点，为平面上任意一点，直接写出全部使得以、、、为顶点的四边形为菱形的点的坐标．9．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴分别交于A、B两点，与y轴交于点C（O，6），抛物线的顶点坐标为E（2，8），连接BC、BE、CE．(1)求抛物线的表达式；(2)推断△BCE的外形，并说明理由；(3)如图2，点F为线段BE的中点，点P，Q分别为x轴，y轴上的动点，当四边形EFPQ的周长取最小值时，求P，Q两点的坐标．10．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），点B坐标（3，0），抛物线与y轴交于点C（0，﹣3），点D为抛物线顶点，对称轴x＝1与x轴交于点E，连接BC、EC．(1)求抛物线的解析式；(2)点P是BC下方异于点D的抛物线上一动点，若S△PBC＝S△EBC，求此时点P的坐标；(3)点Q是抛物线上一动点，点M是平面上一点，若以点B、C、Q、M为顶点的四边形为矩形，直接写出满足条件的点Q的横坐标．11．如图，一次函数y＝kx＋2的图象分别交y轴，x轴于A，B两点，B的坐标为（4，0），抛物线y＝－x2＋bx＋c经过A，B两点．(1)求k的值及抛物线的解析式．(2)直线x＝t在第一象限交直线AB于点M，交抛物线于点N，当t取何值时，线段MN的长有最大值？最大值是多少？(3)在（2）的状况下，以A，M，N，D为顶点作平行四边形，直接写出第四个顶点D的坐标，并直接写出全部平行四边形的面积是多少．12．如图，一次函数的图象与x轴和y轴分别交于点B和点C，二次函数的图象经过B，C两点，并与x轴交于点A．点是线段OB上一个动点（不与点O、B重合），过点M作x轴的垂线，分别与二次函数图象和直线BC相交于点D和点E，连接CD．(1)求这个二次函数的解析式．(2)①求DE、CE的值（用含m的代数式表示）．②当以C，D，E为顶点的三角形与△ABC相像时，求m的值．(3)点F是平面内一点，是否存在以C，D，E，F为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．13．如图，已知抛物线与x轴交于A（1，0）、B（－3，0）两点，与y轴交于C（0，3）．(1)求抛物线的函数表达式：(2)设P为抛物线上一动点，点P在直线BC上方时，求△BPC面积的最大值：(3)若M为抛物线上动点，点N在抛物线对称轴上，是否存在点M、N使点A、C、M、N为平行四边形？假如存在，直接写出点N的坐标：假如不存在，请说明理由．14．如图已知二次函数（b，c为常数）的图像经过点，点，顶点为点M，过点A作轴，交y轴于点D，交二次函数的图象于点B，连接．(1)求该二次函数的表达式及点M的坐标；(2)若将该二次函数图象向上平移个单位，使平移后每到的二次函数图象的顶点落在的内部（不包括的边界），求m的取值范围；(3)若E为y轴上且位于点C下方的一点，P为直线上一点，在第四象限的抛物线上是否存在一点Q，使以C、E、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，恳求出点Q的横坐标；若不存在，请说明理由．15．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于点A(﹣1，0)，B(3，0)，与y轴交于点C．(1)b＝______，c＝______；(2)若点D为第四象限内抛物线上的一个动点，过点D作DE∥y轴交BC于点E，过点D作DF⊥BC于点F，过点F作FG⊥y轴于点G，求出DE+FG的最大值及此时点D的坐标；(3)若点P是该抛物线对称轴上的一点，点Q为坐标平面内一点，那么在抛物线上且位于x轴上方是否存在点M，使四边形OMPQ为正方形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．16．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于点A（1，0），B（5，0）两点，与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点．(1)求抛物线的解析式和点D的坐标；(2)求△BCD的面积；(3)点M为抛物线上一动点，点N为平面内一点，以A，M，I，N为顶点作正方形，是否存在点M，使点I恰好落在对称轴上？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．17．如图，二次函数（）的图象经过点，与x轴分别交于点A，点．(1)求该二次函数的解析式及其图象的顶点坐标；(2)点P是直线BC上方的抛物线上任意一点，点P关于y轴的对称点记作点，当四边形为菱形时，求点P的坐标；(3)点P是抛物线上任意一点，过点P做，垂足为点D．过点P作轴，与抛物线交于点Q．若，求点P的坐标．18．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像与x轴交于A和点B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且AB＝4．(1)求这个函数的解析式，并直接写出顶点D的坐标；(2)点E是二次函数图像上一个动点，作直线轴交抛物线于点F（点E在点F的左侧），点D关于直线EF的对称点为G，假如四边形DEGF是正方形，求点E的坐标；(3)若射线AC与射线BD相交于点H，求∠AHB的大小．19．如图，已知直线与x轴，y轴分别交于点A，B，抛物线的顶点是，且与x轴交于C，D两点，与y轴交于点E，P是抛物线上一个动点，过点P作于点G．(1)求b、c的值；(2)若点M是抛物线对称轴上任意点，点N是抛物线上一动点，是否存在点N，使得以点C，D，M，N为顶点的四边形是菱形？若存在，请你求出点N的坐标；若不存在，请你说明理由．(3)当点P运动到何处时，线段的长最小？最小值为多少？20．综合与探究如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点，，过点作轴与抛物线交于另一点．(1)求抛物线的表达式；(2)连接，点为上一个动点，由点以每秒1个单位长度的速度沿运动（不与点重合），运动时间为，过点作轴交抛物线于点，求与的函数关系式；(3)点是轴上的一个点，点是平面直角坐标系内一点，是否存在这样的点，使得以为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．答案第=page44页，共=sectionpages44页答案第=page33页，共=sectionpages44页参考答案：2．(1)(2)当时，△ACP面积的最大值为，此时点；(3)点F的坐标为（﹣5，12）或（3，12）或（﹣1，﹣4）3．(1)，(2)，当时，S有最大值为(3)满足条件的点P坐标为，，4．(1)(2)（1，1）(3)存在，，，，，5．(1)y＝－x2＋3x＋4(2)P（2，6）；四边形OCPE的面积最大为16(3)存在；M1或M2或M3或M46．(1)，(2)(3)存在，或或7．(1)点A（1，0），点B（4，0），点C（0，4）(2)平行四边形(3)存在；F（0，1）或（0，﹣1）或（0，）8．(1)(2)（2，-3）(3)9．(1)(2)，；(3)，或，或，或，10．(1)y2x+6(2)直角三角形(3)P，Q两点的坐标分别为（2，0），（0，4）11．(1)y=x2-2x-3(2)(2，-3)(3)1或-2或12．(1)k=-，y=-x2+x+2；(2)当t=2时，MN有最大值4；(3)点D的坐标为（0，-2）或（0，6）或（4，4）时，以A、M、N、D为顶点的四边形是平行四边形，平行四边形的面积均为8．13．(1)(2)①，；②m的值为或(3)存在以C，D，E，F为顶点的四边形为菱形，点M的坐标为(1，0)或(2，0)或(，0)．14．(1)(2)(3)存在，(，)或(，)15．(1)二次函数解析式为，点M的坐标为（1，-5）(2)(3)当点Q的横坐标为