线性反馈系统的时间域综合

第6章

线性反响系统的时间域综合建模分析设计状态空间表达式建立求解转换能控性能观性稳定性状态反响状态观测器最优控制线性系统的时间域理论预览第6章线性反响系统的时间域综合6.1引言综合与分析是相反的一个命题分析系统结构和参数及外输入作用研究系统运动的定性行为〔如能控性、能观测性、稳定性等〕和定量的变化规律综合系统结构和参数及所期望的系统运动形式或某些特征确定需要施加于系统的外输入作用，即控制规律综合是建立在系统分析的根底上的

综合问题的提出受控对象：线性定常系统〔状态空间描述〕目标：即性能指标，如某些特征值、或某种期望形式、或关于极小〔或极大〕值的某个性能函数手段:控制输入〔控制器设计〕系统的综合问题三要素寻找一个控制u，在其作用下系统的运动满足所给出的期望性能指标所谓综合：控制常用的形式：输出反响控制状态反响控制其中：K状态反响〔增益〕矩阵

V为参考输入向量F输出反响〔增益〕矩阵非优化型指标：〔1〕以渐近稳定作为性能指标---镇定问题〔2〕以一组期望的闭环极点作为性能指标---极点配置〔3〕以使一个多输入/多输出系统实现“一个输入只控制一个输出〞作为性能指标---解耦问题；〔4〕以使系统的输出y无静差地跟踪一个外部信号y0(t)作为性能指标---跟踪问题

性能指标的类型非优化型指标优化型指标：一类极值型指标优化型性能指标：综合目标：是确定一个控制u(t)，使指标J为极小值其中：R为正定常阵，Q为正定常阵或正半定阵〔1〕建立可综合条件综合问题可分解为两个性质不同的问题。

研究综合问题的思路给定的受控系统和指标，控制存在且实现综合的条件。〔2〕建立确定相应控制律〔器〕的算法/表达形式确定满足要求的控制律。〔1〕状态反响的构成问题控制实现中的一些理论问题状态常常不能观测,利用可测输入u和输出y

来构造出不能测的状态x

,称为状态重构---观测器设计。问题。〔2〕系统模型的不准确和参数摄动问题模型不准确和参数慑动，按理想模型得到的控制器组成的控制系统中，是否产生达不到期望的性能指标或不稳定的鲁棒控制：参数不确定或摄动出现在模型参数的一个邻域内时，系统仍能稳定地运行或保持期望的性能指标〔3〕对外部干扰的抑制问题扰动抑制问题〔鲁棒控制〕。反馈经典控制理论现代控制理论输出反响状态反响选择反响信号的形式和强度〔反响系数〕使闭环控制系统的性能满足设计要求。6.2状态反响和输出反响现代控制理论原受控系统线性反响规律状态反响状态反响闭环系统反响增益矩阵

一般D=0原系统：状态反响闭环系统：系统维数不变；选择K改变系统特征值〔闭环极点〕，改善系统性能能控能观对连续时间线性时不变系统，状态反响保持能控性，不保持能观测性原系统状态反响系统能控不能观极点：1、-1极点：0原系统状态反响系统出现零极点对消输出反响原受控系统：输出反响控制规律：输出反响系统状态空间描述为：输出反响增益矩阵：

一般D=0原系统：状态反响闭环系统：系统维数不变；选择H改变系统特征值〔闭环极点〕，改善系统性能结论1：当HC＝K时，输出到参考输入的反响与状态反响等价。即对于任意的输出反响系统，总可以找到一个等价的状态反响，即K＝HC。故输出反响不改变系统的能控性。对连续时间线性时不变系统，输出反响保持能控性和能观测性状态反响输出反响结论3：由于反响引自系统输出，所以输出反响不影响系统的可观测性。结论2：对于状态反响，从K＝HC中，给定K值，不一定能够解出H。所以，输出反响是局部状态反响，输出信息所包含的不一定是系统的全部状态变量，适合工程应用，性能较状态反响差。状态反响和输出反响都可改变系统结构属性和性能指标。令K=FC那么输出反响到达的功能，必可找到相应的一个状态反响来实现但FC=K的解F通常不存在反响功能上：状态反响要优于输出反响状态反响和输出反响的比较反响信息上：状态反响优于输出反响状态反响是一种完全的系统信息反响。输出反响是一种不完全的系统信息反响。联补偿器，构成动态输出反响系统欲使输出反响也能到达满意的性能，引入串联补偿器和并改善输出反响方法带状态观测器的状态反响实现6.3状态反响极点配置：单输入情形极点配置：通过反响增益矩阵K的设计，将参加状态反响后的闭环系统的极点配置在S平面期望的位置上。期望极点选取的原那么：1〕n维控制系统有n个期望极点；2〕期望极点是物理上可实现的，为实数或共轭复数对；3〕期望极点的位置的选取，需考虑它们对系统品质的影响〔离虚轴的位置〕，及与零点分布状况的关系。4〕离虚轴距离较近的主导极点收敛慢，对系统性能影响最大，远极点收敛快，对系统只有极小的影响。闭环系统期望极点的选取一、极点可配置的条件定理：(极点配置定理)对线性定常系统进行状态反响，反响后的系统其全部极点得到任意配置的充要条件是：状态完全能控。注意：矩阵A-BK的特征值就是所期望的闭环极点。对不能控的状态，状态反响不能改变其特征值。二、极点配置的算法能控系统(A，b)，求状态反响增益矩阵k，使闭环系统特征值为判断系统的能控性计算状态反响系统(A-bk)的特征多项式计算希望的特征多项式：令二者相等，得到反响增益矩阵：直接法〔维数较小时，n≤3〕[例]线性定常连续系统的状态空间表达式为设计状态反响增益矩阵K，使闭环系统的极点为－1和－2，并画出闭环系统的结构图。解：先判断系统的能控性。系统状态完全能控，可以通过状态反响任意配置其极点。令那么状态反响闭环系统的特征多项式为期望的特征多项式为由，求得

状态反响闭环系统的结构图如下：[例]对如下的线性定常系统，讨论状态反响对系统极点的影响[解]：〔1〕先判断该系统的能控性特征值为－1的状态不能控。(2)假设参加状态反响阵K，得到反响后的特征多项式为：对于－1的极点，状态反响不起作用状态反响只能通过k2去影响2这个极点即状态反响对不能控局部状态，不能任意配置其极点求将相当繁琐2〕能控标准型法求反响矩阵〔维数较大时，n>3〕1、首先将原系统化为能控标准型2、求出在能控标准型的状态下的状态反响矩阵能控标准型下，参加状态反响后，系统矩阵为：状态反响后闭环系统特征多项式为：期望特征多项式：确定能控标准型下的反响矩阵为：3、求出在原系统的状态下的状态反响矩阵(1)判断系统能控性。如果状态完全能控，按以下步骤继续。(2)确定将原系统化为能控标准型的变换阵能控标准型法，求反响增益矩阵K的步骤：(3)根据给定或求得的期望闭环极点，写出期望的特征多项式：(4)直接写出在能控标准型下的反响增益矩阵：(5)求未变换前原系统的状态反响增益矩阵：能控标准型法，非常适合于计算机matlab求解[例]用能控标准型法，重新求解前面例子：〔2〕计算原系统的特征多项式：[解]：〔1〕可知，系统已经是能控标准型了，故系统能控，此时变换阵〔3〕计算期望的特征多项式〔4〕确定K阵所以状态反响矩阵K为：能控标准型下的状态反响矩阵为：6.4状态反响极点配置：多输入情形循环矩阵n×n方阵A称为是循环的，系指其最小多项式就是特征多项式循环系统循环系统的判据A为循环矩阵,那么存在列向量b，使{A,b}为完全能控循环系统的能控性单输入系统(A,b)可控的充分必要条件是：A是循环的且b是A的生成元A为循环矩阵，且{A，B}为完全能控，那么对几乎所有的p×1实变量r，使单输入矩阵对{A，Br}为完全能控非循环系统循环化A为非循环矩阵，{A，B}为完全能控那么对几乎所有p×n实常数阵K，可使(A-BK)为循环循环的完全能控的充要条件算法Ⅰ：给定能控性矩阵对{A,B}和一组希望的闭环特征值{λ1*,λ2*,…,λn*}，要确定p×n的反响增益矩阵K，

多输入极点配置问题的算法假设A已是循环的，那么表。第1步：判断A是否为循环矩阵，假设否，选取一个p×n常阵K1，使A-BK1

为循环，并表，使成立λi(A-BK)=λi*,i=1,2,…,n

配置问题的算法，求出增益向量k。第2步：对循环矩阵，通过适中选取一个p×1实常向量ρ，记b=Bρ使为能控。第3步：对于等价单输入问题，利用单输入极点注：K1和ρ的选取不是唯一的。第4步：当A为循环矩阵时，所求的增益矩阵为K=ρk当A为非循环矩阵时，所求的增益矩阵为K=

ρk+K1。希望使得K1和ρ的选取以到达K的各个元素为尽可能地小A循环？记选取，K1使循环选取，使能控，记对利用SISO方法，求kAA循环？YNYN第1步：任选一个n×n常阵F，使得算法Ⅱ

引入一个限制条件，即第2步：选取一个p×n常阵，使为能观测第3步：求解矩阵方程此方程的n×n解阵T存在步，假设为奇异，重选F或。第4步：判断T是否为非奇异。如果为非奇异，转入下第5步：所求的状态反响增益矩阵为，T为非奇异例：给定多输入线性定常系统为标准形：给定期望的闭环特征值为：解：期望的闭环系统矩阵状态反响状态反响对传递函数矩阵零点的影响状态反响：改变极点的同时，是否影响系统的零点?改变闭环系统传递函数矩阵的极点配置系统的极点(特征值)单输入单输出情形

配置传递函数极点的同时，一般不影响其零点。注：当期望的极点与零点相重合而对消时，会影响零点。被对消的极点成为不可观测的—状态反响不能保持能观性对完全能控的线性定常SISO系统，引入状态反响任意G(s)零点其传递函数矩阵：当{A,B,C}为能控且能观测时，G(s)的零点可定义为：使的所有s值。多输入多输出情形状态反响配置G(s)全部极点的同时，一般不影响G(s)零点。注：G(s)的每个元传递函数gij(s)的零点常会受状态反响的影响传递函数矩阵为：例：双输入/双输出线性定常系统：系统的极点是：引入状态反响，状态反响增益矩阵为：状态反响闭环系统的矩阵为：闭环系统的传递函数矩阵为：系统的极点移动也改变了G(s)的大局部元传递函数的零点本卷须知反响增益矩阵不唯一导致系统状态相应和输出相应也不同反响增益矩阵选取，应使其元增益值较小和闭环响应较好6.5输出反响极点配置由于输出变量空间可视为状态变量空间的子空间,因此输出反响也称之为局部状态反响。由于输出反响包含的信息较状态反响所包含的信息少,因此输出反响的控制与镇定能力必然要比状态反响弱。确定反响控制律使得状态反响闭环系统的闭环极点配置在指定的n个期望的闭环极点也就是成立例

考察下述能控能观的系统它在输出反响下u=-hy下的闭环系统为其闭环特征多项式为s2+h。从而当h的值变化时,闭环系统的极点从2重的开环极点s=0配置到而不能任意配置。输出反响对能控能观系统可以改变极点位置,但不能进行任意的极点配置。因此,对某些系统,采取输出反响可能不能配置闭环系统的所有极点,使得闭环系统稳定或具有所期望的闭环极点。故欲使闭环系统稳定或具有所期望的闭环极点,要尽可能采取状态反响控制或动态输出反响控制(动态补偿器)。关于输出反响可以任意配置极点数目p的问题,定理：对能控能观的线性定常系统Σ(A,B,C),可采用静态输出反响进行“几乎〞任意接近地配置p=min{n,m+r-1}个极点说明n,m,r分别为状态空间、输出空间和输入空间的维数,“几乎〞任意接近地配置极点的意义为可以任意地接近于指定的期望极点位置,但并不意味着能确定配置在指定的期望极点位置上。——通过反响，是闭环系统稳定。6.6状态反响镇定镇定：一个控制系统，如果通过反响使系统实现渐近稳定，即闭环系统极点具有负实部，那么称该系统是能镇定的。可以采用状态反响实现镇定，那么称系统是状态反响能镇定的。配置于复数平面的左半开平面上。镇定问题本质上是极点区域配置问题，不使闭环系统的极点严格地配置到任意指定的期望位置上，而是使其可镇定的条件线性定常系统可由状态反响镇定的一个充分条件是:系统完全能控。结论

[可镇定的充分条件]定理：如果线性定常系统不是状态完全能控的，那么它状态反响能镇定的充要条件是：不能控子系统是渐近稳定的。系统的镇定的充要条件将原系统按照能控性分解，得到系统对系统引入状态反响后，系统矩阵变为闭环系统特征多项式为：能控部分，总可以通过状态反馈使之镇定要求渐近稳定原系统：证明：结论1：如果线性定常系统是状态完全能控的，那么不管其特征值是否都具有负实部，一定是状态反响能镇定的。〔一定存在状态反响阵K，使闭环系统的极点得到任意配置〕不稳定但状态完全能控的系统，可以通过状态反响使它镇定结论2：可控系统是一定可镇定的，可镇定系统不一定是可控的例：线性定常系统，能否通过状态反响使系统的极点配置在{-2，-2，-1}、{-2，-2，-3}？解：判断系统能控性！能控性分解能控子系统希望的特征多项式不可改变不能控子系统极点配置在{-2，-2，-1}、{-2，-2，-3}希望的特征多项式状态反响不能改变不能控局部的极点-1，所以不能通过状态反响将极点配置在{-2，-2，-3}[例]系统的状态方程为〔2〕由动态方程知系统是不能控的，但不能控局部的特征值是-5，位于左半S平面，可知此局部是渐近稳定的。因此该系统是状态反响能镇定的。[解]：〔1〕系统的特征值为1，2和－5。有两个特征值在右半S平面，因此系统不是渐近稳定的。〔1〕该系统是否是渐近稳定的？〔2〕该系统是否是状态反响能镇定的？〔3〕设计状态反响，使期望的闭环极点为〔3〕不能控局部的极点为－5，与其中一个期望极点相同。此时，只能对能控局部进行极点配置。设，对能控局部进行极点配置。期望的特征多项式为：由得：解得：所以反响阵为：6.7状态反响动态解耦多输入多输出线性定常系统其中，为维状态向量，为维控制向量，为维输出向量。系统及假设〔2〕控制律采用状态反响结合输入变换，取

为参考输入。〔1〕，输出和输入具有相同的变量个数。为反响增益矩阵，为输入变换矩阵，〔3〕输入变换矩阵为非奇异，即。三个根本假定：〔正那么变换，否那么称为非正那么的〕闭环系统结构图如下：闭环系统方程：传递函数矩阵为：所谓解耦控制：就是对多输入多输出系统〔1〕，寻找一个输入变换和状态反响矩阵对，使由〔3〕式所给出的传递函数矩阵为非奇异对角有理分式阵，即

问题的提法

研究解耦的两个问题：问题的实质：实现解耦后，存在如下关系，输出变量和参考输入变量之间：〔1〕受控系统的可解耦性，实现解耦的条件。〔2〕解耦控制问题的算法，求。一个输出仅由一个输入所完全控制。系统化为P个独立的单输入—单输出控制系统。

系统的两个结构特征量考虑多输入多输出〔p=q〕线性定常系统的传递函数矩阵令：分母多项式的次数和的分子多项式的次数之差。那么系统结构特性指数定义为：必为非负整数〔〕。当给定后，为唯一确定。

系统的结构特性向量定义为：

的常行向量。例：那么有：两个特征量的根本属性：〔1〕如果G(s)对应的状态空间描述为{A,B,C}，证明：略状态反响闭环系统的传递函数矩阵的第行传递函数向量可表为：〔2〕对于任意的矩阵对，其中，其中：而的两个特征量和可表为：开环系统和闭环系统的特征量之间存在如下关系〔3〕对于任意的矩阵对，其中，结论：方线性定常系统，可采用状态反响和输入变换，即存在矩阵对进行解耦的充分必要条件是：如可解耦条件为非奇异。下的常阵：外表上看：解耦与系统能控无关，但本质上，能控仍是不可缺少的条件。〔1〕系统能否实现解耦，由系统的两组特征量注：量和决定。〔2〕可由传递函数矩阵获得，也可由状态空间描述获得。〔3〕一个可解耦的受控系统，可选取为：

阵使系统解耦，解耦系统的传递函数矩阵为：均为多重积分器，称为积分型解耦。解耦后，每个单输入单输出闭环控制系统的传递函数中间步骤，有一定的价值。然而，动态性能不好，没有实用价值。但可作为一个〔4〕块解耦：闭环系统的传递函数矩阵为块对角形式。对于一般系统〔方或非方〕，通常可在较弱条件下实现块解耦〔一小组输入对应一小组输出〕。〔5〕常把解耦问题称为“摩根问题〞。非线性系统的“摩根问题〞目前仍是一个“公开问题〞。给定受控系统为：其中：，为能控。解耦综合控制矩阵对的算法系统要实现期望的极点配置。目标：实现解耦，同时对解耦后的每个单输入单输出控制并判断：是否为非奇异第1步：计算和假设是，进入下一步。假设否，不能解耦，退出。第2步：计算和导出积分型解耦系统第3步：取〔预输入和预反响阵〕为：其中，且由能控，知为能控。变换为如下的解耦标准形第4步：引入线性非奇异变换，把〔不完全能观测时〕这里，虚线分块是按能观测性的结构分解形式当为能观测时，那么中不出现不能观测局部且其中，现解耦和解耦后的单输入单输出控制系统的极点配置。第5步：对解耦标准形，引入状态反响，来实其中，状态反响增益矩阵取为如下形式的常阵：并且，由此可以导出〔实现解耦〕：和的元那么由解耦后的第个单输入单说明，的结构形式保证了解耦控制的实现，而部特征值。由于需保证实现解耦，状态反响所能控制的不是的全输出控制系统的期望极点组所决定。使其实现解耦和对解耦后各单输入单输出系统进行期第6步：对于所讨论的受控系统：望的极点配置的为：解：系统能控且能观测。例：给定双输入—双输出的线性定常受控系统为：因为①计算和即可定出，②判断可解耦性可解耦性判别矩阵：为非奇异，可进行解耦。③导出积分型解耦系统定出取那么有：那么保持为能观测，且已为解耦标准形。无需再进一步引入变换，也即有。④相对于解耦标准形确定反响增益矩阵取为：那么：指定解耦后的单输入—单输出系统的期望特征值，分别为：求：可定出：那么：⑤定出对给定受控系统实现解耦控制和极点配置的控制矩阵对，⑥定出解耦后闭环控制系统的状态空间方程和传递函数矩阵。6.8状态反响静态解耦

静态解耦控制问题控制系统：输出维数和输入维数相等的线性定常系统：如果存在状态反响和输入变换，使得所导出的闭环问题的提法具有如下的属性：〔2〕当时，〔1〕闭环控制系统是渐近稳定的；为对角线非奇异常阵，即那么称受控系统能静态解耦。前面所研究的解耦问题为动态解耦问题。信号的情况，静态解耦的概念只适用于参考输入的各个分量为阶跃即：其中：为非零常数，为单位阶跃函数。利用拉普拉斯变换的终值定理，在系统为渐近稳定的前提下，可得到系统为稳态时的输出为：注：即有，6.9跟踪控制和扰动抑制考虑同时受控制和外部扰动作用的线性定常系统：其中，为维状态向量，为维控制向量，为维输出向量，为维扰动向量。

问题的提法假定为能控，为能观测。所谓跟踪控制，即讨论系统，在满足什么条件下可找受控系统的输出所要跟踪的参考输入信号为跟踪的误差信号：到适当的控制规律，来实现使跟踪的目标。相应的跟踪问题的系统结构框图如下：由于受物理可实现性的限制，要找到对于所有均满足：称为渐近跟踪。〔1〕渐近跟踪：假设对任意和零扰动

的控制是不可能的。三种情形：存在控制u，使得假设对任意非零扰动和零参考信号存在控制u，使得假设对任意非零和任意非零扰动那么称系统输出实现对参考信号的无静差跟踪。存在控制u，使得〔2〕扰动抑制：那么称系统输出实现对扰动的抑制。〔3〕无静差跟踪：如果参考信号和扰动，当时均趋动抑制，即对任意的和，成立当系统实现无静差跟踪时，将可同时到达渐近跟踪和扰成立，即无静差跟踪可自动地到达。于零，只要寻找控制使系统为渐近稳定，上式就自动地设和，当时均不趋于零，假设不知

参考输入和扰动信号的模型和下面的讨论中假定：它们的结构特性模型，那么无从讨论系统的渐近跟踪和扰动抑制问题〔方法：控制器中“植入〞它们的结构特性模型〕。(1)信号的结构特性和非结构特性：

给定信号：

时间域：结构特性=函数结构非结构特性=的数量参量如：阶跃信号，结构特性是：单位阶跃1(t),

非结构特性：阶跃幅值

频域中：的拉普拉斯变换为：结构特性=分母多项式d(s)

非结构特性=分子多项式n(s)基于结构特性d(s)，可导出如下结构模型：(2)多维参考输入的结构特性模型

参考输入的结构特性模型为：(3)多维扰动信号的结构特性模型扰动信号的结构特性模型为：

参考输入和扰动信号分解：“稳定局部〞+“不稳定局部〞最小多项式可类似分解(4)参考输入和扰动信号的共同不稳定模型令和分别是和的最小多项式，那么跟踪问题中只需考虑和的当时不稳定的局部。只考虑和即可。设多项式和的最小公倍式为

显然，的所有根均具有非负实部。于是，由可导出和的当时不共同不稳定模型：趋于零局部的共同模型。将跟踪误差作为模型输入，得如下参考输入和扰动信号的其中，而控制系统构成：控制器构成：“伺服补偿器〞+“镇定补偿器〞伺服补偿器功能：实现无静差跟踪的机理保证〔线性动态形式〕镇定补偿器功能：实现渐近稳定

无静差跟踪控制系统伺服补偿器：参考输入和扰动信号共同不稳定模型〔内模〕镇定补偿器：受控系统的状态反响补偿器的选取：串联比例控制器两方程联立，得：整个系统〔串联系统〕状态空间描述：此系统可看作：两系统串联而得所求的控制器可表示为：串联系统推导：结论[串联系统能控性]：上述串联系统为完全能控的一个充分条件为：〔1〕〔2〕对的每一个根，成立：

：参考输入和扰动信号共同不稳定最小公倍式，：输出维数。串联系统的可控性：结论：受控系统可按上图所示的控制方式实现无静差跟踪的充分条件为：〔1〕〔2〕对的每一个根，成立：

最小公倍式，输出维数。无静差跟踪可解条件：选其它伺服补偿器和镇定补偿器从图中可以看出：一个无静差跟踪控制系统，实质上是一个包含补偿器的输出反响系统。一般情况：结论：可使上图的控制系统实现无静差跟踪的条件是：引入的补〔1〕可对系统实现镇定；〔2〕伺服补偿器中必须包含和的不稳定信号偿器必须满足如下条件：模型。无静差跟踪控制算法：Step1：判断