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文档简介

第八章有限元法根底

——二维热传导问题分析本章介绍二维热传导问题的分析:矩形单元的公式推导三角形单元的公式推导8.1二维热传导

对于稳态的二维热传导问题，应用能量守恒原理，将会得到热扩散方程：〔8.1〕式中，表示单位体产生的热量，单位体的厚度为1个单位。Kx为X方向的导热系数，Ky为y方向的导热系数。热负荷热扩散公式推导

对于介质中的小区域〔微分体〕应用能量守恒原理：化简得到：

应用傅里叶定律，有：

简化后，得到几种边界条件〔1〕通过外表损失或得到的能量可以忽略的条件:〔2〕对外表应用常热流速率的边界条件:〔3〕由于传导而引起的冷却或加热发生在外表的边界条件:

8.2矩形单元的公式推导

典型单元的温度分布：

其中，形函数为

双线性单元典型矩形单元对热扩散方程应用迦辽金方法，由局部坐标x,y表示的方程〔8.1〕得到四个方程：

将方程写成紧凑的矩阵形式：

形函数的转置矩阵为：

令，，。上式变为如下形式：

现在考虑上式后一项的值

积分得到：

同样可得：计算热负荷项

求积分项

使用格林公式

面积积分化为围绕面积的线积分

考虑带有热对流边界条件矩形单元的热传递

在jm边的x方向应用能量守恒

在x方向的传导矩阵为在y方向的传导矩阵为

单元热负荷矩阵

沿矩形单元的边计算这些积分，得到：

总结〔1〕双线性单元的传导矩阵为

x方向的传导分量，y方向的传导分量；

如果边界单元通过热对流有热量损失，传导矩阵有如下附加项：

〔2〕双线性单元的热负荷矩阵为给定单元内由于产生的热量引起的热负荷分量

如果边界单元通过热对流有热量损失，热负荷矩阵有如下附加项：

8.3三角形单元的公式推导

三角形单元由三个节点定义，我们使用形函数和相应的节点温度表示单元内的温度

应用迦辽金方法，三角形单元的三个剩余方程的矩阵形式为令，，。上式变为如下形式：

下面的推导过程和矩形单元的推导过程相似。现在考虑上式后一项的值

积分得同样对于三角形单元，由热产生项引起的热负荷矩阵为：计算积分

运用关系式由和产生的传导矩阵为由和产生的热负荷矩阵为总结〔1〕三角形单元的传导矩阵为

x方向的传导分量，y方向的传导分量；

如果边界单元通过热对流有热量损失，传导矩阵有如下附加项：

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