高中数学 高考复习 双曲线 专题练习

参考答案：1．B【分析】设点为双曲线右支上一点，结合双曲线的定义与条件可得，，在中，依据大边对大角可知为最小角，进而依据余弦定理求得，再得到，即可得到答案.【详解】设点为双曲线右支上一点，则，由于，且，所以，，由题，由于，则，所以为最小角，故，所以在中，由余弦定理可得，，解得，所以，所以双曲线的标准方程为.故选：B2．A【分析】对于A：先利用双曲线的标准方程得到，再利用椭圆中的进行判定；对于B：利用切线长性质和双曲线的定义得到，再结合进行求解；对于C：先利用双曲线和椭圆的定义得到、的关系式，再利用和离心率公式进行求解；对于D：利用勾股定理得到，进而求出椭圆的方程.【详解】对于A：由可得，所以，即选项A错误；对于B：设的内切圆的圆心为I，且圆与边、、相切于N、M、K，可得，，，又由于，所以，又，解得，．可得M的横坐标为1，即I的横坐标为1，即选项B正确；对于C：在椭圆中，，，则．由，得，解得a＝3．则的离心率，即选项C正确；对于D：由于，，则，．若，则．又c＝2，，解得，．则椭圆的方程为，即选项D正确．故选：A.3．A【分析】设，则，将、用表示，即可求得该双曲线的离心率.【详解】由题意知，在中，，可设，则，由勾股定理可得，又由得，所以，.故选：A.4．D【分析】设双曲线的方程为，再代点解方程即得解.【详解】解：由得，所以椭圆的焦点为.设双曲线的方程为，由于双曲线过点，所以.所以双曲线的方程为.故选：D5．A【解析】设，．依据双曲线的定义和等腰三角形可得，再利用余弦定理可求得，从而可得的周长.【详解】由双曲线可得．设，．则，，所以，．由于是等腰三角形，且，所以，即，所以，所以，，在中，由余弦定理得，即，所以，解得，的周长．故选：A．【点睛】关键点点睛：依据双曲线的定义求解是解题关键.6．A【分析】利用双曲线定义结合已知求出及，再求出焦距即可计算作答.【详解】双曲线的实半轴长，半焦距，因此，，因，由双曲线定义得，解得，，明显有，即是直角三角形，所以的面积.故选：A7．A【解析】依据斜率公式求出直线的斜率为，再依据两直线垂直斜率之积为，可得，然后结合，即可解出，从而得到双曲线的方程．【详解】由于，所以，即，又，，解得，所以该双曲线的方程为．故选：A．【点睛】本题主要考查双曲线的简洁几何性质的应用，以及斜率存在的两条直线垂直等价条件的应用，属于基础题．8．C【分析】依据椭圆、双曲线的性质推断参数的符号，结合直线的位置推断与曲线参数是否冲突，即可知正确选项.【详解】方程可化为和.A：双曲线的位置：，，由直线的位置：，，冲突，排解；B：椭圆知，，但B中直线的位置：，，冲突，排解；C：双曲线的位置：，，直线中，的符号全都.D：椭圆知，，直线的位置：，，冲突，排解；故选：C.9．C【分析】求出双曲线渐近线方程，可推断A选项；利用勾股定理以及双曲线的定义可推断B选项；利用双曲线的定义可推断C选项；利用角平分线定理结合双曲线的定义可推断D选项.【详解】在双曲线中，，，则，易知点、，设，，对于A选项，由于双曲线的渐近线方程为，当点在第一象限内运动时，随着的增大，射线渐渐接近于直线，此时，同理可知当点在第四象限内运动时，，当点为双曲线的右顶点时，，综上所述，的取值范围是，A对；对于B选项，当时，，，所以，，B对；对于C选项，，故过点时，光由到再到所经过的路程为，C错；对于D选项，若，由角平分线定理可得，即，解得，D对.故选：C.10．C【分析】依据双曲线定义得到，，用余弦定理和面积公式求出答案.【详解】设，，则由双曲线的定义可得：，所以，故，，又，故，故，所以的面积为.故选：C.11．D【分析】设，线段AB的中点，代入双曲线的方程中可得，两式相减得，可得①，设，线段CD的中点，同理得②，由，得三点共线，从而求得，由此可求得双曲线的离心率.【详解】设，线段AB的中点，则，两式相减得，所以①，设，线段CD的中点，同理得②，由于，所以，则三点共线，所以，将①②代入得：，即，所以，即，所以，故选：D.12．A【分析】求得两圆的圆心和半径，则双曲线的左右焦点为，，运用勾股定理和双曲线的定义，结合三点共线时，距离之和取得最小值，计算即可得到所求值．【详解】设、是双曲线的左、右焦点，也是、的圆心，∴，明显其最小值为，.故选：A.13．A【解析】依据离心率，由双曲线的性质，求出，即可得出渐近线方程.【详解】由于双曲线的焦距等于实轴长的倍，所以双曲线的离心率为，所以，则，即，所以，即，因此所求渐近线方程为：.故选：A.14．D【分析】写出渐近线，再利用斜率相等，进而得到离心率【详解】双曲线的渐近线为，易知与直线平行，所以.故选：D.15．B【分析】分析可知两圆圆心为双曲线的两个焦点，利用圆的几何性质以及双曲线的定义可求得的最大值.【详解】在双曲线中，，，，易知两圆圆心分别为双曲线的两个焦点，记点、，当取最大值时，在双曲线的左支上，所以，.故选：B.16．A【解析】由题得渐近线的倾斜角为，所以化简即得解.【详解】由于为等边三角形，所以渐近线的倾斜角为，所以所以.故选：A【点睛】本题主要考查双曲线的离心率的计算，意在考查同学对这些学问的理解把握水平.17．A【分析】依据双曲线的定义，三角形面积公式，勾股定理，结合离心率公式，即可得出答案.【详解】，，依据双曲线的定义可得，，即，，，，即，解得，故选：A.【点睛】本题主要考查了双曲线的性质以及定义的应用，涉及了勾股定理，三角形面积公式的应用，属于中档题.18．A【分析】依据双曲线渐近线的求法，利用直线平行斜率相等即可求解.【详解】的渐近线方程满足，所以渐进线与平行，所以渐近线方程为，故故选：A19．C【分析】求出椭圆的焦点坐标，利用双曲线的定义可求得的值，再由可求得的值，结合双曲线的焦点位置可求得双曲线的标准方程.【详解】椭圆的焦点坐标为，设双曲线的标准方程为，由双曲线的定义可得，，，，因此，双曲线的方程为.故选：C.20．C【分析】建立平面直角坐标系，求得该双曲线的标准方程，进而求得其焦距.【详解】如图，以O为原点，AD所在直线为x轴建立平面直角坐标系，设双曲线的方程为，则该双曲线过点，且，所以，解得，所以，得，所以该双曲线的焦距为，故选：C．21．C【分析】由题意可求出，两边平方得结合，代入即可得出答案.【详解】由于的一个焦点到的一条渐近线的距离为，不妨取渐近线方程为，即，所以，，两边平方得.又，所以，化简得，所以.故选：C.22．D【分析】由抛物线的焦点可求得直线的方程为，即得直线的斜率为，再依据双曲线的渐近线的方程为，可得，即可求出，得到双曲线的方程．【详解】由题可知，抛物线的焦点为，所以直线的方程为，即直线的斜率为，又双曲线的渐近线的方程为，所以，，由于，解得．故选：．【点睛】本题主要考查抛物线的简洁几何性质，双曲线的几何性质，以及直线与直线的位置关系的应用，属于基础题．23．C【分析】依据双曲线的标准方程，即可得出结论.【详解】双曲线可化为，由于双曲线的焦点在轴上，所以，即．故选：C.24．D【分析】依据的周长为18，可得，依据双曲线的定义可知，，两式相加求解．【详解】由题意知．又，所以．依据双曲线的定义可知，所以，解得，所以．故选：D25．A【分析】由已知结合双曲线定义可得，在中利用勾股定理即可求出.【详解】由题可得，由于，所以，则在中，，即，即.故选：A.26．B【分析】依据离心率可得，再由可得曲线的方程为，然后将点代入即可求解.【详解】，则，，则双曲线的方程为，将点的坐标代入双曲线的方程可得，解得，故，因此，双曲线的方程为.故选：B27．A【分析】依据是双曲线C的斜率为正的渐近线与直线的交点得到点A的坐标，再依据D是线段OF的中点，得到D点的坐标，继而可以得到直线AD的方程，又由于点B是圆上的点，点B到直线AD距离的最小值也就是圆心O到直线AD的距离d减去半径，即得解.【详解】依据题意，双曲线斜率为正的渐近线方程为，因此点A的坐标是，点D是线段OF的中点，则直线AD的方程为，点B是圆上的一点，点B到直线AD距离的最小值也就是圆心O到直线AD的距离d减去半径，即，则故选：A28．B【分析】结合与双曲线的定义，可推断当为渐近线的垂线时能得到的最小值，再利用渐近线的斜率的几何意义即可求解.【详解】由题，设原点为，依据双曲线的定义可知，且（当且仅当为线段上的点时等号成立），所以，由于的最小值为，即，所以，此时为渐近线的垂线，由于双曲线的一条渐近线为,所以在中，，由于，所以，即，所以，则.故选：B29．A【分析】依据已知条件求出焦距及，依据双曲线定义及余弦定理求出乘积，代入三角形面积公式即可求解.【详解】依据、为双曲线的两焦点可得，又直线、倾斜角之差为，所以，依据余弦定理可得，整理得①，依据点P在双曲线上可得，则②，①-②得，，则面积为.故选：A.30．C【解析】设点在第一象限内，的内切圆与边的切点分别为，双曲线的焦距为，可得，结合双曲线的定义，可得，即可求出，由和的离心率之积为，分别求出两个曲线的离心率的表达式，可建立等式关系，进而可求出的值.【详解】不妨设点在第一象限内，的内切圆与边的切点分别为，双曲线的焦距为.则，由于点在双曲线上，所以，则，又由于和的离心率之积为，而椭圆的离心率，双曲线的离心率为，所以，解得.故选：C.【点睛】关键点点睛：本题考查椭圆、双曲线的性质，解题的关键是依据和的离心率之积为，建立等式关系.本题中依据的内切圆的圆心的横坐标，可建立等式关系，得到4，可求出的值，再分别表示出和的离心率，由两个离心率之积为，可求出的值.考查同学的规律推理力量，计算求解力量，属于中档题.31．A【分析】首先确定渐近线方程，然后利用点到直线距离公式求得点到一条渐近线的距离即可.【详解】由题意可知，双曲线的渐近线方程为：，即，结合对称性，不妨考虑点到直线的距离：.故选：A.32．A【分析】依据双曲线的定义及条件，表示出，结合余弦定理可得答案.【详解】由于，由双曲线的定义可得，所以，；由于,由余弦定理可得，整理可得，所以，即.故选：A【点睛】关键点睛：双曲线的定义是入手点，利用余弦定理建立间的等量关系是求解的关键.33．C【分析】将双曲线化为标准方程，再依据渐近线的方程求解即可【详解】由题意，的渐近线方程为故选：C34．D【分析】设出圆的半径，依据圆与圆的位置关系，列出等量关系，整理化简结合双曲线的定义，即可推断和选择.【详解】设圆的半径为，又圆的圆心，半径为，圆的圆心，半径为，依据题意可得：，则，依据双曲线定义可知，其表示焦点为的双曲线的一支.故选：D.35．B【分析】设曲线，的焦距为2c，则可得，然后结合椭圆和双曲线的定义可求出的关系，变形后可得结果.【详解】设曲线，的焦距为2c．是以为底边的等腰三角形，则．由点P在第一象限，知，即，即，即．故选：B36．C【分析】由双曲线定义得到，，两式相加得到，进而求出周长.【详解】由双曲线的定义得：①，②，两式相加得：，即，所以，故的周长为.故选：C37．A【分析】依据双曲线的渐近线方程，结合点到线的距离公式可得，进而求得离心率即可【详解】由题意，双曲线的一条渐近线方程为，故，即，解得，故故选：A38．B【分析】依据的方程为，则渐近线为；若渐近线方程为，则双曲线方程为（）即可得答案.【详解】解：若的方程为，则，，渐近线方程为，即为，充分性成立；若渐近线方程为，则双曲线方程为（），“的方程为”是“的渐近线方程为”的充分而不必要条件.故选：B.【点睛】本题通过圆锥曲线的方程主要考查充分条件与必要条件，属于中档题.推断充要条件应留意：首先弄清条件和结论分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质尝试.对于带有否定性的命题或比较难推断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为推断它的等价命题；对于范围问题也可以转化为包含关系来处理.39．A【分析】首先依据题意得到，从而得到，即可得到答案.【详解】由题知：设，一条渐近线方程为，即.由于，所以，故渐近线方程为.故选：A40．A【分析】由题知顶点坐标为,渐近线方程为:,进而利用点到直线的距离公式求解即可.【详解】解:由题知双曲线中,,焦点在轴上,所以顶点坐标为,渐近线方程为:,由双曲线的对称性,不妨求顶点到渐近线的距离所以双曲线的顶点到渐近线的距离为故选：A41．A【分析】依据题意渐近线的斜率为，所以该渐近线的方程为，所以，求得，利用，求得即可得解.【详解】∵双曲线的一条渐近线的倾斜角为，，∴该渐近线的方程为，∴，解得或（舍去），∴，∴双曲线的离心率为．故选：A．42．A【分析】由离心率公式可得，，直接计算即可求解.【详解】由题意可得双曲线的离心率，即的离心率为，所以，故选：A43．B【分析】利用双曲线的定义可得，又，进而即得.【详解】∵双曲线，∴，又点P在双曲线C的右支上，，所以，，即，又，∴面积为.故选：B.44．B【分析】由双曲线的定义即可求出的周长.【详解】设，，由题意可得，由双曲线的定义可得，，则的周长是.故选：B.45．D【分析】设，，，依据直线的斜率，以及，可得，再依据，即可求出．【详解】解：设，，，，，，，．故选：D．46．C【分析】设出双曲线方程，联立直线，求出交点坐标，即可求解【详解】由题意可设双曲线方程为，，由得，则，，不妨假设，则，由图象的对称性可知，可化为，即，解得，故双曲线方程为：，故选：C47．C【分析】由双曲线的定义即可求解.【详解】解：由题意，由于，所以由双曲线的定义知，当时，动点的轨迹为双曲线，故选：C.48．A【分析】由双曲线方程求出，再依据点在双曲线的两支之间，结合可求得答案【详解】由，得，则，所以左焦点为，右焦点，则由双曲线的定义得，由于点在双曲线的两支之间，所以，所以，当且仅当三点共线时取等号，所以的最小值为9，故选：A49．A【分析】先利用题给条件及双曲线定义求得的三边长，进而求得的面积【详解】由，可得又是是双曲线上的一点，则，则，，又则，则则的面积等于故选：A50．A【分析】利用向量数量积的坐标运算化简，由此求得的取值范围.【详解】由题知，，所以==，解得.故选：A51．(1)，P点的坐标(2)（千米），点Q在O的东偏北方向.【分析】（1）依据双曲线的定义及题干条件，可求得点P的轨迹方程，依据P在射线，两方程联立，可求得点P坐标.（2）依据双曲线的定义，可求得点Q的两个方程，两方程联立，可求得Q点坐标，代入距离公式，即可求得OQ的距离，求得的值，即可得点Q相对于O的方向（1）由于，所以点P的轨迹为双曲线右支，且，所以，则，所以P的轨迹方程为由于P在O的北偏东方向处，所以P在射线上，联立，解得所以P点坐标为（2）由于点Q满足，所以点Q的轨迹为双曲线右支，且，所以，则，所以点Q的轨迹方程为.同理，所点Q的轨迹为焦点在y轴双曲线的上支，且，所以，则，所以点Q的轨迹方程为.联立，解得，所以点Q坐标为，所以（千米）所以，解得，所以点Q在O的东偏北方向.52．(1)，是双曲线.(2)，是椭圆.【分析】（1）结合双曲线的定义求得点的轨迹方程.（2）结合椭圆的定义求得点的轨迹方程.(1)当时，，所以点的轨迹是双曲线，.所以双曲线的方程为.(2)当时，，所以点的轨迹是椭圆，，所以椭圆方程为.53．（1）；（2）①；②或者.【分析】（1）由题意，代入已知点建立方程，解之可得双曲线的标准方程.（2）①由对称性可设，且，运用向量数量积的坐标运算表示，又由可得，由此可得最小时，的值.②设过点的动直线为：设与双曲线的方程联立得，依据根的判别式和根与系数的关系可求得且，由直线的斜率公式得，再由恒等式的思想可求得点A的坐标及实数的值.【详解】解：（1）由题意，且解得，所以双曲线的标准方程为（2）①由对称性可设，且，则，由于点在双曲线上，所以，所以，所以，当时，为直角，当时，为钝角.因此，最小时，.②设过点的动直线为：设联立得，所以，由且，解得且，，即即，化简得，所以，化简得，由于上式对无穷多个不同的实数都成立，所以假如那么此时不在双曲线上，舍去.因此从而代入解得.此时在双曲线上.综上，或者.【点睛】关键点点睛：本题考查直线与双曲线位置关系之定值问题，属于较难题，关键在于将直线与双曲线的方程联立，得出根与系数的关系，继而将目标条件转化到曲线上的点的坐标上去.54．证明见解析．【分析】又向量垂直及数量积的运算律可得，进而得到轨迹方程为双曲线，结合双曲线定义即可证结论.【详解】由题设，，整理得，即轨迹是以为焦点且实轴长为4的双曲线，由双曲线定义知：当、有，得证.55．(1)(2)证明见解析【分析】（1）依题意可得，，再依据，即可求出，即可得解；（2）设点，A，的坐标分别为，，，且，依题意可得，设直线的方程为，联立直线与椭圆方程，消元、列出韦达定理，代入整理即可得解；（1）解：设双曲线，其虚轴长为，且离心率为，∴，，∵，∴，，∴双曲线的方程为．（2）解：设点，A，的坐标分别为，，，且，∵，∴，即，①设直线的方程为，②将②代入中整理，得，∴，，代入①，整理可得，得，联立②消得，∴点落在某肯定直线上．56．(1)(2)存在；定点，【分析】（1）由渐近线夹角得出渐近线的倾斜角，从而得的值，再由求得得双曲线方程；（2）当直线不与轴重合时，设直线的方程为，代入双曲线方程，设点，得，再设，计算，由其为常数求得，同时验证当直线斜率为0时，此值也使得为刚才的常数，即得结论．（1）双曲线的渐近线为，又，，故其渐近线的倾斜角小于，而双曲线的两条渐近线的夹角为，则渐近线的的倾斜角为，则，即．又，则．所以双曲线的方程是．（2）当直线不与轴重合时，设直线的方程为，代入，得，即．设点，则．设点，则令，得，此时．当直线与轴重合时，则点为双曲线的两顶点，不妨设点．对于点．所以存在定点，使为定值．【点睛】思路点睛：本题考查求双曲线方程，圆锥曲线中的的定值问题，解题方法是设交点坐标为，设直线方程并代入圆锥曲线方程整理后应用韦达定理得（或），代入题设要得定值的式子，利用定值得出参数值．并验证特殊表形下也成立．57．(1)2；(2)证明见解析.【分析】（1）运用代入法，结合双曲线的离心率公式进行求解即可；（2）依据直线斜率公式，结合二倍角的正切公式进行证明即可.（1）设双曲线的离心率为e，焦距为2c，，在中令x＝c，则，解得，若|AF|＝|BF|，则，所以a2＋ac＝b2＝c2－a2，所以e2－e－2＝0，解得e＝2或（舍去），所以e＝2；（2）由于e＝2，所以，所以，，设B（x，y）（x＞0，y＞0），kAB＝，kBF＝，设∠BAF＝θ，则tanθ＝，tan2θ＝＝＝＝＝＝＝＝－kBF＝tan∠BFA，所以∠BFA＝2∠BAF.【点睛】关键点睛：利用二倍角的正切公式是解题的关键.58．（1）；（2）（i）证明见解析；（ii）证明见解析.【分析】（1）依据复数模的计算公式，由题中条件，得到，再由双曲线的定义，即可得出结果；（2）（i）设直线的方程为，，，其中，，联立直线与双曲线方程，依据韦达定理，得到，，表示出直线与的方程，两直线方程联立，求出交点横坐标为定值，即可证明结论成立；（ii）先同理得到点也在定直线上，设，，代入（i）中直线与的方程，得出，再计算，即证结论成立.【详解】（1）由题意可知：，所以点到点与到点的距离之差为2，且，所以动点的轨迹是以，为焦点的双曲线的右支，设其方程为，其中，，所以，，所以，所以曲线的方程为.（2）（i）设直线的方程为，，，其中，.联立，消去，可得，由题意知且，所以，.直线：，直线：①，由于点在曲线上，可知，所以，所以直线：②.联立①②，消去可得，即，所以，所以，所以，所以点在定直线上.（ii）由题意，与（i）同理可证点也在定直线上.设，，由于在直线：上，在直线：上，所以，，所以，又由于，，所以，所以.【点睛】思路点睛：求解圆锥曲线中动点在定直线上的问题时，一般需要依据题中条件，设出所需直线方程，联立直线与椭圆方程，依据韦达定理，以及题中条件，求出动点的坐标满足的关系时，从而可确定结果（一般得到动点横坐标或纵坐标为定值）.59．(1)(2)证明见解析【分析】（1）待定系数法列方程组求得的值，即可得到双曲线C的方程；（2）设出直线AB的方程并与双曲线C的方程联立，利用设而不求的方法得到M、N的坐标，利用题给条件＋求得直线AB的过定点，再由＝0可得使|QT|为定值的定点T.（1）设双曲线C的方程为，由题意知，∴双曲线C的方程为（2）设直线AB的方程为，A（、），B（，），P（2，－1），则，，∴直线PA方程为，令，则，同理N（0，），由，可得∴∴∴∴∴∴，当时，，此时直线AB方程为恒过定点P（2，－1），明显不行能∴，直线AB方程为恒过定点E（0，－3）∵，∴，取PE中点T，∴T（1，－2）∴为定值，∴存在T（1，－2）使|QT|为定值．【点睛】求定值问题常见的方法有两种：(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．60．(1)详见解析，；(2)北偏东.【分析】（1）以线段的中点为坐标原点，的垂直平分线所在直线为轴，建立平面直角坐标系，可知在以，为焦点的双曲线的右支上，可求出点的轨迹方程；（2）由题可求出线段的垂直平分线方程，联立两个方程可得点的坐标，再求即可求解.【详解】（1）以线段的中点为坐标原点，的垂直平分线所在直线为轴，正东方向为轴正方向建立平面直角坐标系，则，，由于，所以在以，为焦点的双曲线的右支上，设双曲线方程为，则，，可得，所以双曲线方程为，即敌方炮兵阵地P可能分布在以，为焦点的双曲线的右支上，该轨迹的方程为；（2）由题可知，，所以，由于C地与B地同时发觉该信号，，所以，所以在线段的垂直平分线上，由于，线段的中点坐标，所以直线的方程为：，即，由可得：，即，解得：或（舍）所以，，所以，，所以，所以点在点的北偏东方向，即精确     炮击的方位角为北偏东.61．（1）；（2）.【分析】（1）由可得，再将点代入方程，联立解出答案，可得答案.（2）先求出椭圆的焦点，则双曲线的焦点在轴上，由条件可得，且，从而得出答案.【详解】（1）由，得，即，又，即，双曲线的方程即为，点坐标代入得，解得．所以，双曲线的方程为．（2）椭圆的焦点为，设双曲线的方程为，所以，且，所以，所以，双曲线的方程为．62．【分析】设出所求双曲线的方程，待定系数即可求得结果.【详解】设所求双曲线方程为：，由于其过点，故可得：，整理得，即，解得（舍）或，故所求双曲线方程为：.63．(1)；(2)；(3)；(4).【分析】(1)依据题意，由双曲线经过点，，分析可得双曲线的焦点为轴上，且，设双曲线的标准方程为：，将点代入计算可得的值，将的值代入双曲线的方程，即可得答案；(2)依据题意，分析可得双曲线的焦点在轴上，且，由双曲线的定义计算可得的值，结合双曲线的几何性质可得的值，将、的值代入双曲线的方程，即可得答案．(3)依据题意，设双曲线的方程为：，将点代入其中计算可得的值，即可得双曲线的方程，变形为标准方程即可得答案；(4)依据题意，设双曲线的方程为，将和，两点坐标代入双曲线方程可得，解可得：、的值，将、的值代入双曲线方程即可得答案．（1）依据题意，双曲线经过点，，则双曲线的焦点在轴上，且，设双曲线的标准方程为：，双曲线经过，则有，解可得，则双曲线的标准方程为：；（2）依据题意，焦点为，，则双曲线的焦点在轴上，且，∵双曲线过点，故依据双曲线的定义可知：，则，则，则双曲线的标准方程为：；（3）依据题意，双曲线中，设双曲线的方程为：，又由双曲线经过点，则有，则双曲线的方程为，则双曲线的标准方程为：；（4）依据题意，设双曲线的方程为，双曲线经过和，两点，则有，解可得：，，则双曲线的标准方程为：．64．(1)(2)【分析】（1）待定系数法去求满足条件的双曲线的标准方程；（2）待定系数法去求满足条件的双曲线的标准方程.（1）由题设知，，，由，得.由于双曲线的焦点在x轴上，所以所求双曲线的标准方程为；（2）由已知得，且焦点在y轴上.由于点在双曲线上，所以点A与两焦点的距离的差的确定值是常数2a，即，则，.因此，所求双曲线的标准方程是.65．(1)(2)存在，【分析】（1）结合离心率和双曲线关系式，再将点代入双曲线方程可直接求解；（2）设，先争辩直线的斜率不存在时，和大小，求得，再由一般状况结合斜率表示出，猜想，化简即可求证.（1）离心率，∴，，所以双曲线的方程，把点代入双曲线方程得，解得，故双曲线的方程为；（2）设，，其中，由（1）知，①当直线的斜率不存在时，，，∴，此时；②当直线的斜率存在时，由于双曲线渐近线方程为，所以，由得，又，，∴，∴，又，所以，综上，存在常数，满足.66．(1)(2)证明见解析(3)存在；【分析】（1）依据题意得到，解方程组即可求出结果；（2）设出点的坐标，结合依据两点求斜率，化简整理即可求出结果；（3）设出直线的方程，结合韦达定理得到，从而可得，即可得到结果，留意检验斜率不存在的状况即可.（1）由题意得，解得所以双曲线C的方程为．（2）证明：设点A的坐标为，则由对称性知点B的坐标为．设P（x，y），则，由得，所以．（3）当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为，与双曲线方程联立消y得，所以，得且，所以．假设存在实数m，使得，则对任意的恒成立，所以，解得．所以当时，．当直线l的斜率不存在时，由A（2，3），B（2，－3）及M（－1，0）知结论也成立．综上，存在M（－1，0），使得．【点睛】（1）解答直线与双曲线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．（2）涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽视直线斜率为0或不存在等特殊情形．67．(1)(2)【分析】（1）依据双曲线方程得到渐近线方程，即可得到，再由点到线的距离公式求出，最终依据计算可得；（2）设，，直线的斜率为，利用点差法计算可得；【详解】（1）解：双曲线的渐近线为，即，所以，又焦点到直线的距离，所以，又，所以，，所以双曲线方程为（2）解：设，，直线的斜率为，则，，所以，，两式相减得，即即，所以，解得，所以直线的方程为，即，经检验直线与双曲线有两个交点，满足条件，所以直线的方程为.68．（1）；（2）.【分析】（1）求得直线与轴的交点，可得，再由两直线平行的条件：斜率相等，可得渐近线方程，解方程可得，进而得到双曲线的方程；（2）设直线，代入，设，运用韦达定理和判别式大于0，以及中点坐标公式及两直线垂直的条件：斜率之积为，求得的垂直平分线方程，令，可得直线在轴上的截距，由不等式的性质可得范围.【详解】（1）直线过x轴上一点，由题意可得，即，双曲线的渐近线方程为，由两直线平行的条件可得，解得，即有双曲线的方程为.（2）设直线，代入，可得，设，则，中点为，可得的垂直平分线方程为，令，可得，由，解得，又，解得，综上可得，，即有的范围是，可得直线与轴上的截距的取值范围为.【点睛】本题主要考查双曲线的标准方程的求解、及直线与圆锥曲线的位置关系的综合应用,解答此类题目，通常联立直线方程与双曲线方程，应用一元二次方程根与系数的关系进行求解，此类问题易错点是简单式子的变形力量不足，导致错解，能较好的考查考生的规律思维力量、运算求解力量、分析问题解决问题的力量等．69．(1)；(2)证明见解析，﹒【分析】(1)由双曲线的一个焦点坐标为可求c，依据一条渐近线的倾斜角的正切值为可求，结合a、b、c的关系求解、得到双曲线方程；(2)设直线的方程为，，联立直线与椭圆方程，利用判别式为0，求出k与m的关系．联立l与渐近线方程求出M和N的坐标，通过，化简即可．【详解】（1）由题可知，解得，则：；（2）由于直线与双曲线右支相切(切点不为右顶点)，则直线的斜率存在且不为0，设直线的方程为，，令，则，则．联立得，，则，即．双曲线两条渐近线方程为，联立得，，联立得，，，故的面积为定值．70．(1)；(2)证明见解析.【分析】（1）由双曲线的顶点坐标、离心率，结合双曲线参数的关系求a、b，进而写出双曲线方程，即可得渐近线方程.（2）争辩l的斜率：当不存在求P、Q的坐标，进而可得；当存在，设，，l为，并联立双曲线方程，应用韦达定理及斜率的两点式求证是否成马上可.（1）设双曲线的半焦距为c，由题设，，，

双曲线的方程为，故渐近线方程为．（2）当l的斜率不存在时，点P、Q的坐标分别为和，所以，当时有；当时有，此时，当l的斜率k存在时，设，，l为，将直线l代入双曲线方程得，所以，，

由于，所以，即，综上，为定值，得证．71．(1)(2)【分析】（1）设，，利用双曲线的定义，结合余弦定理，求得，再由求解；由双曲线的定义和圆的切线长定理，得到内切圆圆心的横坐标为a，再依据该双曲线与椭圆有共同的焦点，且过点求解.（1）解：设，，由双曲线的定义可得，在中，由余弦定理，得，可得，则的面积．（2）如图所示，，，设内切圆与x轴的切点是点H，，与内切圆的切点分别为A，B．由双曲线的定义可得，由圆的切线长定理知，，，即．设内切圆圆心的横坐标为x，则点H的横坐标为x，故，可得．由该双曲线与椭圆有共同的焦点，且过点，可得，，解得，，故内切圆圆心的横坐标为．72．(1)k＜－3或1＜k＜3；(2)1＜k＜3；(3)k＜－3.【分析】利用双曲线标准方程中的分母的正负，即可得出结论．（1）∵1，即，方程表示双曲线，∴(k－1)(|k|－3)＜0，可得k＜－3或1＜k＜3；（2）∵1，即，焦点在x轴上的双曲线，则，∴1＜k＜3；（3）∵1，即，焦点在y轴上的双曲线，则，∴k＜－3．73．(1)；(2)证明见解析.【分析】（1）依据题意列出，化简即可.（2）设直线方程，和双曲线方程联立，借助韦达定理求出点Q的横坐标，即可计算作答.（1）设，因直线的斜率乘积为，则，整理得，所以顶点的轨迹的方程是.（2）依题意，过点与曲线交于点的直线斜率存在不为零，设直线MN的方程为，由消去x并整理得：，，，解得或且且，设，则，即有，直线BM：，直线CN：，令直线交点，由消去y并化简整理得：，，，于是得，即点，则有，，即为定值4.【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有：(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关.(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.74．(1)；(2)存在，理由见解析.【分析】（1）依据题意，列出的方程组，解得，则椭圆方程得解；（2）假设存在点满足题意，设出直线的方程，联立双曲线方程，利用韦达定理以及，即可求解.（1）双曲线的左焦点，其中一条渐近线，则；对双曲线，令，解得，则，解得，故双曲线方程为：.（2）依据（1）中所求可知，假设存在轴上的点满足题意，若直线的斜率不为零，则设其方程为，联立双曲线方程，可得，则，即，此时直线与双曲线交于两点，则，则，即，即，则，此时满足题意；若直线的斜率为零，且过点，此时，满足题意.综上所述，存在轴上的一点满足.【点睛】本题考察双曲线方程的求解，以及双曲线中存在某点满足条件的问题；解决问题的关键是合理转化，利用韦达定理进行求解，属综合中档题.75．(1)(2)见解析【分析】（1）利用焦点坐标求得的值，利用渐近线方程求得的关系，进而利用的平方关系求得的值，得到双曲线的方程；（2）先分析得到直线的斜率存在且不为零，设直线AB的斜率为k,M(x0,y0),由③|AM|=|BM|等价分析得到；由直线和的斜率得到直线方程，结合双曲线的方程，两点间距离公式得到直线PQ的斜率，由②等价转化为，由①在直线上等价于，然后选择两个作为已知条件一个作为结论，进行证明即可.【详解】（1）右焦点为，∴,∵渐近线方程为，∴，∴，∴，∴，∴．∴C的方程为：；（2）由已知得直线的斜率存在且不为零，直线的斜率不为零，若选由①②推③或选由②③推①：由②成立可知直线的斜率存在且不为零；若选①③推②，则为线段的中点，假如直线的斜率不存在，则由双曲线的对称性可知在轴上，即为焦点,此时由对称性可知、关于轴对称，与从而，已知不符；总之，直线的斜率存在且不为零.设直线的斜率为,直线方程为,则条件①在上，等价于；两渐近线的方程合并为,联立消去y并化简整理得：设,线段中点为,则,设,则条件③等价于,移项并利用平方差公式整理得：，,即,即；由题意知直线的斜率为,直线的斜率为,∴由,∴,所以直线的斜率,直线,即,代入双曲线的方程,即中，得：,解得的横坐标：,同理：，∴∴,∴条件②等价于，综上所述：条件①在上，等价于；条件②等价于；条件③等价于；选①②推③:由①②解得：,∴③成立；选①③推②：由①③解得：，，∴，∴②成立；选②③推①：由②③解得：，，∴，∴，∴①成立.76．（1）或；（2）或.【分析】（1）依据题意求出的值进而可以直接写出椭圆的方程；（2）设所求双曲线的标准方程为，进而求出的值，化成标准方程即可.【详解】（1）由长轴长知：，∴，由焦距知：，∴，解得：，∴椭圆标准方程为：或；（2）与双曲线有公共渐近线的双曲线可设为，即为.当焦点在轴上时，，，，此时双曲线方程为.当焦点在轴上时，，，，此时双曲线方程为.综上：双曲线的标准方程为或.77．(1)(2)机器鼠保持目前运动轨迹不变，没有“被抓”的风险【分析】（1）设机器鼠位置为点P，结合双曲线的定义求得点的轨迹方程，从而求得时机器鼠所在位置的坐标.（2）先求得与平行的点轨迹对应图象的切线方程，结合两平行线间的距离公式作出推断.【详解】（1）设机器鼠位置为点P，由题意，，，由题意可得，即，可得点P的轨迹以A，B为焦点，实轴长为8，焦距为10的双曲线的右支，则点P的轨迹方程为C：，时，，即，可得机器鼠所在位置的坐标为．（2）由题意知直线l：，设直线l的平行线的方程为，联立，可得，令，解得，此时与双曲线的右支相切，∴，∴：．此时l与的距离为，即机器鼠距离l的最小距离为，则机器鼠保持目前运动轨迹不变，没有“被抓”的风险．78．(1)(2)2【分析】（1）由渐近线可得，再把点代入方程即可解得；（2）点M到y轴的距离的即为点M的横坐标为，联立方程利用韦达定理可求，分析求解即可，但要留意争辩直线的斜率是否存在．（1）由题设可知，解得则：．（2）设点M的横坐标为当直线斜率不存在时，则直线：易知点到轴的距离为﹔当直线斜率存在时，设：，，，联立，整理得，，整理得联立，整理得，则，则，即则，即∴此时点到轴的距离大于2；综上所述，点到轴的最小距离为2．79．(1)3(2)【分析】（1）联立直线l与椭圆的方程，消元整理得，依据根与系数的关系可求得弦长；（2）依据双曲线的定义可求得三角形的周长.【详解】（1）解：由于双曲线的焦点为，所以，设．联立，整理得：，.（2）解：记的周长为，则．，又得．点在右支，故．同理：点在左支，．80．（1）；（2）1.【分析】（1）由焦距得，由焦点到渐近线的距离为1可得关系，从而求得，再由求得得双曲线方程；（2）由，得为直角三角形且，结合双曲线的定义求得，从而得三角形面积．【详解】解：（1）依题意，知，.不妨设双曲线的右焦点到渐近线的距离为1，渐近线方程即，则，∴，∴∴双曲线的标准方程为.（2）在中，∵是边，上的中线且，∴为直角三角形且.∵是双曲线上一点，∴平方，得，其中，∴∴81．（1）；（2）存在，直线的方程为.【分析】（1）结合双曲线的离心率和椭圆的焦点，求得双曲线对应的，由此求得双曲线方程.（2）利用点差法求得直线的方程.【详解】（1）椭圆：，所以双曲线.所以双曲线的方程为.（2）画出图象如下图所示，设，，两式相减并化简得，即，所以直线的方程为.82．(1)选①③或②③，；(2)；(3)不存在，理由见解析.【分析】（1）依据所选条件求出双曲线参数a、b，即可得双曲线C的标准方程；（2）令直线l为，联立双曲线，依据交点的个数及分布有且，即可求k的范围.（3）由题设，假设条件成立则，应用韦达定理及向量数量积的坐标表示列方程推断是否存在这样k使以AB为直径的圆经过坐标原点O.(1)选①③：且，可得，则双曲线为；选②③：且，可得，则双曲线为；选①②：无法确定双曲线C的方程.(2)由题设，令直线l为，联立双曲线可得：，要使直线与双曲线右支交于两点，则且，所以，可得.(3)由（2）知：，且，要使为直径的圆过原点，则，明显不成立，故不存在以AB为直径的圆经过坐标原点O.83．（1）（2）点O到直线AB的距离为定值（3）【解析】（1）利用椭圆的对称性得椭圆必过和，结合椭圆过点，求得的值，从而得到椭圆的方程；（2）设，，对直线的斜率进行争辩，当斜率存在时设为，由得，代入点到直线的距离公式可得答案；（3）将弦表示成关于的函数，利用基本不等式求得弦的最大值，再代入三角形的面积公式，求得三角形面积的最大值.【详解】（1）和关于原点对称，故由题意知，椭圆C必过此两点，又当椭圆过点时，，∴，此时满足，符合题意.所以椭圆.又当椭圆过点时，，∴，此时，不符合题意.综上：椭圆.（2）设，，若斜率存在，则设直线，由，得，，由知，，代入得，又原点到直线AB的距离，且当AB的斜率不存在时，，可得，照旧成立.所以点O到直线AB的距离为定值.（3）由（2）知，由（2）知，，；由于，当且仅当，即时等号成立.所以；易知当AB斜率不存在时，，所以，综上得的面积的最大值为.【点睛】本题考查椭圆的对称性、椭圆方程的求解、直线与椭圆位置关系、三角形面积最值，考查函数与方程思想、转化与化归思想、分类争辩思想、数形结合思想，考查规律推理力量和运算求解力量，求解时留意坐标法思想的应用，即引入坐标或变量，将所求问题用坐标或变量进行表示，再利用函数或基本不等式求最值.84．(1)；(2)．【分析】(1)依据双曲线焦点在x轴和y轴上进行争辩即可求解；(2)可设双曲线方程为，代入两个点的坐标即可求解．（1）当双曲线焦点在x轴上时，设双曲线方程为，将代入，得．又点在双曲线上，有，由此得，不合题意，舍去．当双曲线焦点在y轴上时，设双曲线方程为0)，∵a=4，故，把点坐标代入，得，解得．故所求双曲线方程为．（2）设双曲线方程为，将已知点坐标代入，得，解得．∴所求方程为．85．(1)(2)不存在，理由见解析【分析】（1）设，利用点差法求得直线AB的斜率，依据直线的点斜式方程结合验证，即可求得答案；（2）同（1）利用点差法求得直线方程，把直线方程和双曲线方程联立，整理得到一元二次方程，其判别式小于0，说明符合题意的直线不存在.【详解】（1）设，则，两式相减得，所以，又由于为弦的中点,故，所以，所以直线的方程为，即，由方程组得，其，说明所求直线存在，故直线的方程为.（2）假设存在直线，使得为被该双曲线所截弦的中点，设该直线与双曲线交于C,D两点，设，则，两式相减得，所以，又由于为弦的中点,故，所以，所以直线的方程为，即，由方程组,得，依据，说明所求直线不存在,故假设不成立，即不存在直线，使得为被该双曲线所截弦的中点.86．(1)x21(2)存在，m＝﹣1，定值为0【分析】（1）由离心率得，从而得，再由数量积为0得垂直，利用勾股定理得的关系式，从而求得得双曲线方程；（2）直线斜率为0时，直接求出坐标，计算出数量积，当l的斜率不为0时，设l：x＝ty+2，A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线方程代入双曲线方程，应用韦达定理得，代入，由它为定值求得值，得结论．【详解】（1）由题意可得e2，可得c＝2a，b2＝c2﹣a2＝3a2，所以ba，又由于·0，|PF1||PF2|＝6．所以,由|PF1|﹣|PF2|＝2a，所以可得|PF1|2+|PF2|2﹣2|PF1||PF2|＝4a2，而|PF1|2+|PF2|2＝4c2，所以4c2﹣12＝4a2，可得b2＝3，a2＝1，所以双曲线的方程为：x21；（2）由(1)可得F2(2，0)，当直线l的斜率为0时，l：y＝0，此时A(﹣1，0)，B(1，0)，由M(m，0)，则·m2﹣1，当l的斜率不为0时，设l：x＝ty+2，A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立，整理可得：(3t2﹣1)y2+12ty+9＝0，由于t2，y1+y2，y1y2，由于·(x1﹣m，y1)·(x2﹣m，y2)＝(ty1+2﹣m)(ty2+2﹣m)+y1y2＝(t2+1)y1y2+(2﹣m)t(y1+y2)+(2﹣m)2＝(t2+1)·(2﹣m)t·(2﹣m)2(2﹣m)2，要使•为定值，则，解得m＝﹣1，则，所以Q(﹣1，0)．定值为0．87．【解析】设所求双曲线方程为，依据题中条件，求出，，求解即可得出结果.【详解】设双曲线方程为，由题意易求得，又双曲线过点，所以；由于，所以，.故所求双曲线的方程为.88．（1）；（2）.【分析】（1）利用，再代入，联马上得解；（2）设l的方程为：，，，用坐标表示斜率，将直线与双曲线联立,化简代入韦达定理，即得解【详解】（1）由已知可得，∴，解得①又∵点在E上，∴②由①②可得，.∴双曲线E的方程为.（2）过点的直线l斜率明显存在，设l的方程为：，，，将l的方程代入双曲线E的方程并整理得，依题意，且，所以且，因此，可得，.∴.89．（1）；（2）.【解析】（1）依据共渐近线设双曲线的方程，然后代入点计算；（2）联立直线与双曲线的方程，得关于的一元二次方程，写出韦达定理，然后表示出的中点坐标，代入圆的方程计算.【详解】（1）由题意，设双曲线的方程为，又由于双曲线过点，，所以双曲线的方程为：（2）由得设，则，，所以则中点坐标为，代入圆得，所以.90．【分析】依据双曲线焦点坐标结合题意求得，依据双曲线定义和余弦定理求得，再利用三角形面积公式即可求得结果.【详解】由于､是双曲线的两个焦点，所以，所以；设，，由于点M是双曲线上一点，且，所以；在△中，由余弦定理可得：；联立上述两式可得：，所以的面积.91．(1)(2)【分析】（1）依据双曲线右焦点为，且，由求解；（2）设直线的方程为，与双曲线方程联立，求得，与双曲线C的渐近线方程联立，求得，依据求解.（1）解：由题意得，解得故C的方程为.（2）明显直线率存在，设直线的方程为，，，联立，得，由于与双曲线C的左，右两支分别交于D，E两点，故，解得，此时有.，，由，解得，同理可得，所以.由于，故.由于，故，故实数的取值范围是.92．（1）；（2）．【分析】（1）把点代入双曲线的方程，直接求出的值；（2）设点，由两点的距离公式表示出，然后化简得关于的二次函数，利用二次函数的性质求解最小值.【详解】（1）由题意，将点代入双曲线方程得，，又，所以；（2）由（1）知，，设点，则，且或，则，所以当时，取得最小值为，所以的最小值为.93．(1)(2)是定值，【分析】（1）由题意可得，，再结合可求出，从而可求出双曲线方程，（2）设直线：，，，，将直线方程代入双曲线方程消去，利用根与系数的关系，表示出直线的方程，可表示出点的坐标，同理可表示出点的坐标，从而可表示，，然后计算化简即可【详解】（1）由题意得，，渐近线方程为，则到渐近线的距离为，又由于，所以，，，故双曲线的标准方程为.（2）设直线：，，，，联立方程组得，所以，.由于直线的方程为，所以的坐标为，同理可得的坐标为.由于，，所以，即为定值.94．(1)(2)或【分析】（1）通过双曲线与椭圆共焦点，可知双曲线的焦点在x轴上并能求出的值，从三个条件中任选一个，结合，代入已知条件即可求出该双曲线的方程.（2）依据双曲线定义的几何意义即可求解.（1）由于双曲线与椭圆共焦点，所以双曲线的焦点在x轴上，且．选①，设双曲线的方程为，由双曲线的左顶点为得，，所以，所以双曲线的方程为．选②，设双曲线的方程为，由双曲线过点，得，又，解得，所以，所以双曲线方程为．选③，设双曲线的方程，由离心率得，，所以，所以双曲线方程为．（2）由于，，所以或【点睛】求双曲线的标准方程的基本方法是待定系数法．具体过程是先定形，再定量，即先确定双曲线标准方程的形式，然后再依据a，b，c，e及渐近线之间的关系，求出a，b的值．双曲线上一点与两焦点构成的三角形，称为双曲线的焦点三角形，与焦点三角形有关的计算或证明常利用正弦定理、余弦定理、，得到a，c的关系．95．（1）；（2）证明见解析．【分析】（1）由题