圆锥曲线的一些类型和解题方法

PAGE圆锥曲线难题破解一、用圆锥曲线的定义简捷解题。例1：设F1，F2是椭圆+=1的两个焦点，P是椭圆上任意一点，则|PF1||PF2|的最小值是__________.结论1若P是以F1，F2为焦点的椭圆上的任意一点，则b2|PF1||PF2|a2.结论2若点P是以F1，F2为焦点的双曲线上的任意一点，则|PF1||PF2|.例2：如果点A的坐标为（1,1），F1是椭圆的左焦点，点P是椭圆上的动点，则|PA|+|PF1|的最小值为________.（如果要求|PA|+|PF1|的最大值呢？）二、从分析图像特征寻求解题思路例1：（2010年北京卷）在平面直角坐标系xOy中，点B与点A（-1,1）关于原点O对称，P是动点，且直线AP与BP的斜率之积等于.求动点P的轨迹方程.设直线AP和BP分别与直线x=3交与点M,N，问：是否存在点P使得的面积相等？若存在，求出点P的坐标，若不存在，说明理由.例2：（2009年湖北卷）过抛物线的对称轴上一点A（,0）(>0)的直线与抛物线相交于M,N两点，自M,N向直线作垂线，垂足分别为,.当=时，求证：.记的面积分别为是否存在，使得对任意的>0，都有成立？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.三、“定”型问题1、定点问题:例1：已知椭圆C：的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线相切。求椭圆C的方程；设P（4,0），A，B是椭圆C上关于轴对称的任意两个不同的点，连结PB交椭圆C与另外一点E，证明直线AE与轴相交于定点Q；在（2）的条件下，过点Q的直线与椭圆C交于M,N两点，求的取值范围.2、定值问题：例2：已知椭圆的离心率为.若原点到直线，求椭圆的方程.设过椭圆的右焦点且倾斜角为的直线和椭圆交与A,B两点（ⅰ）当|AB|=时，求b的值；（ⅱ）对于椭圆上任一点M，若,求实数满足的关系式.例3：给定椭圆C：，称圆心在原点O，半径为的圆是椭圆C的“准圆”.若椭圆C的一个焦点为F（，0），其短轴上的一个端点到F的距离为.求椭圆C的方程和其“准圆”方程.点P是椭圆C的“准圆”上的一个动点，过点P作直线，使得与椭圆C都只有一个交点，且分别交其“准圆”于点M,N.当P为“准圆”与轴正半轴的交点时，求的方程；求证：|MN|为定值.四、最值问题例1：已知椭圆C的中心在原点，一个焦点为F（0，），且长轴长与短轴长的比是：1.求椭圆C的方程；若椭圆C在第一象限的一点P的横坐标为1，过点P作倾斜角互补的两条不同的直线PA，PB分别交椭圆C于另外两点A,B，求证：直线AB的斜率为定值；求的面积的最大值.例2：已知抛物线，点M（1,0）关于y轴对称的点为N，直线过点M交抛物线于A,B两点.证明：直线NA，NB的斜率互为相反数.求面积的最小值.当点M的坐标为（,0）(>0,且)时，根据（1）（2）推测并回答下列问题（不必说明理由）：直线NA，NB的斜率是否互为相反数？面积的最小值是多少？例3：长为（<1）的线段AB的两端在抛物线上滑动，则线段AB的中点M到x轴的最短距离等于________.五、对称问题例1：在抛物线上恒有两点关于直线对称，则k的取值范围是_________.六、存在性问题例1：（2009年山东卷）设椭圆E：过M（2，），N（，1）两点，O为坐标原点.求椭圆E的方程.是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A，B，且?若存在，写出该圆的方程，并求||的取值范围，若不存在，说明理由.例2：（2008年山东卷）如图，设抛物线方程为，M为直线y=-2p上任意一点，过M引抛物线的切线，切点分别为A,B.求证：A,M,B三点的横坐标成等差数列.已知当点M的坐标为（2，-2p）时，|AB|=，求此时抛物线的方程.是否存在点M，使得点C关于直线AB的对称点D在抛物线上，其中，点C满足（O为坐标原点）.若存在，求出所有符合题意的点M的坐标；若不存在，请说明理由.例3（2007年上海卷）我们把由半椭圆与半椭圆合成的曲线称作“果圆”，其中，，b>c>0.如图，点、、是相应椭圆的焦点，、和、分别是“果圆”与x、y轴的交点.（1）若是边长为1的等边三角形，求“果圆”的方程；（2）当>||时，求的取值范围；（3）连接“果圆”上任意两点的线段称为“果圆”的弦.试研究：是否存在实数k，使斜率为k的“果圆”平行弦的中点轨迹总是落在某个椭圆上？若存在，求出所有可能的k值；若不存在，说明理由.

答案解一、用圆锥曲线的定义简捷解题。例1：解析：方法1：解：设||=x,则由椭圆定义得||=4-x，易知，即.==，在[，2]上递增，在[2,2+]上递减，所有在或2+时取得最小值。所有=+4=1.方法2：解：设P（，），则由焦半径公式得||=2+，||=2-，所以.因为，所以当=-2或=2时，取得最小值1.例2：解析：解：已知椭圆的半轴长=3，由椭圆定义，可得6==+.所以.因为右焦点的坐标为（2,0），所以.所以（此时P,A,共线，且A在P，之间）.二、从分析图像特征寻求解题思路例1：解析：解：(1)因为点B与点A(－1,1)关于原点O对称，所以点B的坐标为(1，－1)．设点P的坐标为(x，y)．由题意得，化简得＝4(x≠±1)．故动点P的轨迹方程为＝4(x≠±1)．(2)方法1：设点P的坐标为(，)，点M、N的坐标分别为(3，)、(3，)，则直线AP的方程为y－1＝(x＋1)，直线BP的方程为y＋1＝(x－1)．令x＝3得＝，＝.于是△PMN的面积S△PMN＝＝.又直线AB的方程为x＋y＝0，|AB|＝，点P到直线AB的距离d＝，于是△PAB的面积S△PAB＝|AB|·d＝.当S△PAB＝S△PMN时，得＝又≠0，所以(3－)2＝|－1|，解得＝.因为＋3＝4，所以＝±.故存在点P使得△PAB与△PMN的面积相等，此时点P的坐标为(，±)．方法2：若存在点P使得△PAB与△PMN的面积相等，设点P的坐标为(，)．则|PA|·|PB|sin∠APB＝|PM|·|PN|sin∠MPN.因为sin∠APB＝sin∠MPN，所以,即，即(3－)2＝|－1|，解得＝.因为＋3＝4，所以＝±.故存在点P使得△PAB与△PMN的面积相等，此时点P的坐标为(，±)．例2：解析：分析：本小题主要考查抛物线的定义和几何性质等平面解析几何的基础知识,考查综合运用数学知识进行推理运算的能力.解:依题意,可设直线MN的方程为x=my+a,M(x1,y1),N(x2,y2),则有M1(-a,y1),N1(-a,y2).由，消去x可得.从而有

①于是x1+x2=m(y1+y2)+2a=2(m2p+a).

②又由y12=2px1,y22=2px2,可得.

③(1)如右图,当时,点A(,0)即为抛物线的焦点,l为其准线.此时M1(,y1),N1(,y2),并由①可得y1y2=-p2.方法1∵=(-p,y1),=(-p,y2),∴·=p2+y1y2=p2-p2=0,即AM1⊥AN1.方法2:∵,,∴,

即AM1⊥AN1.

(2)存在λ=4,使得对任意的a＞0,都有S22=4S1S3成立.证明如下:方法1:记直线与x轴的交点为A1，则|OA|=|OA1|=a.于是有S1=·|MM1|·|A1M1|=,S2=·|M1N1|·|AA1|=a|y1-y2|,S3=·|NN1|·|A1N1|=.∴S22=4S1S3(a|y1-y2|)2=(x1+a)|y1|·(x2+a)|y2|a2［(y1+y2)2-4y1y2］=［x1x2+a(x1+x2)+a2］|y1y2|.将①②③代入上式化简可得a2(4m2p2+8ap)=2ap(2am2p+4a2)4a2p(m2p+2a)=4a2p(m2p+2a).上式恒成立,即对任意a＞0,S22=4S1S3成立.方法2:如右图所示,连结MN1,NM1,则由y1y2=-2ap,y12=2px1,可得,∴直线MN1经过原点O.同理可证直线NM1也经过原点O.又|OA|=|OA1|=a,设|M1A1|=h1,|N1A1|=h2,|MM1|=d1,|NN1|=d2,则,S2=·2a(h1+h2)=a(h1+h2),.∵MM1∥NN1∥AA1,∴△OA1M∽△NN1M1,△OA1N1∽△MM1N1.∴,,则即a(h1+h2)=h1d2=h2d1.④而.

⑤将④代入⑤,即得λ=4,故对任意a＞0,S22=4S1S3成立.三、“定”型问题例1：解析：（1）由题意知，所以，即.又因为，所以故椭圆C的方程为.(2)由题意知直线PB的斜率存在，设直线PB的方程为.由，得.①设点B，E，则A.直线AE的方程为，令y=0，得.将代入并整理，得.②由①式得，代入②整理得x=1.所以直线AE与x轴相交于定点Q（1,0）.(3)当作点Q的直线MN的斜率存在时，设直线MN的方程为，且在椭圆C上.由，得，易知，故.所以.因为.所以.当过点Q的直线MN的斜率不存在时，其方程为x=1，解得M（1，）N（1，）.此时.综上所述，的取值范围是[-4，].例2：解析：（1），，再根据，得b=2,.所以椭圆的方程为.（2）（ⅰ）因为，所以.椭圆的方程可化为.①易知右焦点F的坐标为，据题意有AB所在的直线方程为.②由①②式，有③设A，由③得.因为，所以b=1.（ⅱ）显然可作为平面向量的一组基底，由平面向量基本定理，对于这一平面内的向量，有且只有一对实数使得等式成立.设M（x,y）.因为，所以.又点M在椭圆上，所以，整理得.④.⑤又A,B在椭圆上，故.⑥将⑤⑥代入④式可得，即为实数满足的关系式.例3：解析：（1）因为，所以b=1.所以椭圆的方程为，准圆的方程为.（2）①因为准圆与y轴正半轴的交点为P(0,2)，所以设过点P(0,2)，且与椭圆有一个公共点的直线为.所以消去y，得因为椭圆与只有一个公共点，所以，解得.所以的方程分别为②（ⅰ）当中有一条无斜率时，不妨设无斜率.因为与椭圆只有一个公共点，则其方程为当的方程为时，此时与准圆交于点，此时经过点且与椭圆只有一个公共点的直线是，即为，显然直线垂直.同理可证的方程为时，直线垂直.（ⅱ）都有斜率时，设点，其中.设经过点与椭圆只有一个公共点的直线为，则消去y，得，即..化简，得因为,所以设的斜率分别为因为与椭圆都只有一个公共点，所以满足上述方程所以=-1，即与垂直.综合（ⅰ）（ⅱ）知：因为经过点，又分别交其椭圆于点M,N，且垂直，所以线段MN为准圆的直径，所以|MN|=4.四、最值问题例1：解析：（1），，，所以，a=2，因为焦点在y轴上，所以椭圆C的方程为.（2）P的横坐标为1，所以.由题意知，两直线PA,PB的斜率必存在，设PB的斜率为k，则PB的直线方程为.由得.设，则.同理可得，则.所以直线AB的斜率为定值.（3）设AB的直线方程为.由得.由.此时.P到AB的距离为，则.因为使判别式大于零，所以当且仅当时取等号.所以面积的最大值为.例2：解析：（1）设直线的方程为.由可得.设，则.所以.因为N（-1,0），所以.又当垂直于x轴时，点A，B关于x轴对称，显然.综上所述，.（2）.当垂直于轴时，.所以面积的最小值为4.（3）推测：①；②面积的最小值为.例3：解析：设AB的中点为，点A的坐标为，由对称性知点B的坐标为，于是又以下关系成立：解这几个式子得即，.因为当x=a时取最小值，当x>a时，是单调递增的，又，y关于是单调递增的，所以当x=0时y取得最小值.五、对称问题例1：解析：方法1：设两点，关于直线对称，直线BC的方程为将其代入抛物线方程，得.若设BC的中点为.因为M在直线上，所以，即.①线段BC与抛物线相交于于两个不同的点，所以.②将①式代入②式，经化简得，即.因为，所以.方法2：设两点，关于直线对称，且BC的中点.因为，所以，即.所以.又，所以.因为在抛物线的内部，所以，即，解得.六、存在性问题例1：解析：分析:本题考查椭圆,直线与椭圆的位置关系等基础知识,考查运算求解能力,化归与转化思想.

(1)将M、N的坐标代入椭圆E的方程化解解得＝8,＝4.所以椭圆E的方程为.(2)证明:假设满足题意的圆存在,其方程为,其中0＜R＜2.设该圆的任意一条切线AB和椭圆E交于,两点,当直线AB的斜率存在时,令直线AB的方程为y＝kx+m,①将其代入椭圆E的方程并整理得.由韦达定理得,.②因为,所以.③将①代入③并整理得,联立②得.④因为直线AB和圆相切,因此.由④得,所以存在圆满足题意.当切线AB的斜率不存在时,切线为与椭圆的两个交点为或满足.综上所述,存在圆满足题意.因为所以.当时，.由，得所以，即，当且仅当时取等号.当时，.当AB的斜率不存在时，两个交点为或.所以.综上，的取值范围为，即.例2：解析：（1）证明：由题意设.由得，则，所以，因此直线MA的方程为，直线MB的方程为.所以

①

②由①②得，因此，即