【数学】直线与圆的位置关系课件 2023-2024学年高二上学期数学人教A版2019选择性必修第一册

课时12直线与圆的位置关系新授课1.能利用直线与圆位置关系解决实际问题.导入：一个台风中心从A地以20km/h的速度向东北方向移动，离台风中心30km内的地区为危险区，城市B在A地正东40km处，则城市B处于危险区的时间为多长？任务1：利用坐标法解决建筑的高度问题.如图是某圆拱形桥一孔圆拱的示意图.圆拱跨度AB=20m,拱高OP=4m,建造时每间隔4m需要用一根支柱支撑，求支柱A2P2的高度（精确到0.01m).目标：能利用直线与圆位置关系解决实际问题.解：建立如图所示的直角坐标系，使线段AB所在直线为x轴，O为坐标原点，圆心在y轴上.由题意得，点P，B的坐标分别为（0,4)，(10,0),设圆心坐标是(0,b),圆的半径是r，那么圆的方程是x2＋(y－b)2＝r2.详解接下一页.xy因为P,B两点都在圆上，所以它们的坐标(0,4),(10,0)都满足方程x2+(y-b)2=r2.于是，得到方程组解得b=－10.5,r2=14.52.所以,圆的方程是x2+(y+10.5)2=14.52.把点的横坐标x=-2代入圆的方程，得，即.所以.答：支柱的高度约为3.86

m.xy思考1：结合上述的建系过程，讨论该如何建立合适的平面直角坐标系？归纳总结①若曲线是轴对称图形，则可选它的对称轴为坐标轴.②常选特殊点作为直角坐标系的原点.③尽量使已知点位于坐标轴上.问题：如何利用综合法（几何法）求解该问题？解：如图，过点作，垂足为E，所以|OP|=4，|OA|=10，点C为圆拱所在圆的圆心.在Rt△AOC中，有，解得r=14.5.在中，有，因为，所以，又因为OC=14.5-4=10.5，于是.答：支柱的高度约为3.86

m.思考2：比较上述两种方法，它们各自有什么特点？坐标法：通过建立坐标系，将问题转化为代数问题，然后通过代数运算求解，方法具有普适性；综合法（几何法）：需要熟悉几何图形的性质，然后通过添加辅助线，运用垂径定理、勾股定理等有关性质定理计算求解，技巧性较高，不宜掌握.任务2：利用直线与圆的位置关系判断航程安全问题.一个小岛的周围有环岛暗礁，暗礁分布在以小岛中心为圆心，半径为20km的圆形区域内．已知小岛中心位于轮船正西40km处，港口位于小岛中心正北30km处．如果轮船沿直线返港，那么它是否会有触礁危险？问题1：结合已知，画出示意图，如何将其转化为数学问题？如图，根据题意，建立适当的平面直角坐标系，圆形区域表示暗礁所在区域，箭头表示轮船返港的路线，问题转化为利用方程判断直线与圆的位置关系，进而确定轮船是否有触礁危险．问题2：轮船的航线与圆的位置关系是什么？问题2：轮船的航线与圆的位置关系是什么？解法1：以小岛的中心为原点O,东西方向为x轴，建立如图所示的直角坐标系，为了运算的简便，我们取10km为单位长度，则港口所在位置的坐标为(0,3),轮船所在位置的坐标为(4,0).则暗礁所在圆形区域边缘对应圆O的方程为,其圆心坐标（0，0），半径为2；轮船航线所在直线l方程为，即.联立直线与圆的方程，得，消去y，得，由，可知方程组无解.所以直线l与圆O相离，轮船沿直线返航不会有触礁危险.解法2：在解法1的基础上，利用点到直线距求得圆形O到直线l的距离，可知直线l与圆O相离，轮船沿直线返航不会有触礁危险.解法3：如图过O做直线AB的垂线，设其长度为d.由题可知AB=5，利用等面积法求得,因此直线l与圆O相离，轮船沿直线返航不会有触礁危险.思考：结合任务1、任务2讨论如何利用坐标法解决平面几何问题？归纳总结坐标法解决平面几何问题基本步骤：1.建立平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何要素；2.代数运算，得到相关代数结果；3.把代数运算的结果“翻译”成几何结论.练一练

一个台风中心从A地以20km/h的速度向东北方向移动，离台风中心30km内的地区为危险区，城市B在A地正东40km处，则城市B是否处于危险区，如果是，时长为多少？以A地为坐标原点，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系.由题意可知，台风的轨迹为过A点，倾斜角为45°的直线l方程：y=x.以B(40,0)为圆心，30为半径的圆的方程为，所以圆心B到直线l的距离，所以城市B处于危险