【数学】习题课 直线与双曲线的位置关系问题课件-2023-2024学年高二上人教A版2019选择性必修第一册

习题课4直线与双曲线的位置关系问题习题课1.掌握直线与双曲线位置关系的判断方法，会判断直线与双曲线的位置关系.2.了解通径的概念，能利用弦长公式求解双曲线的弦长问题.任务：判断直线与双曲线的位置关系.目标一：掌握直线与双曲线位置关系的判断方法，会判断直线与双曲线的位置关系.

已知双曲线x2－y2＝4，直线l：y＝k(x－1)，在下列条件下，求实数k的取值范围．(1)直线l与双曲线有两个公共点；(2)直线l与双曲线有且只有一个公共点；(3)直线l与双曲线没有公共点．解：消去y得，(1－k2)x2＋2k2x－k2－4＝0(*)(1)当1－k2＝0，即k＝±1时，直线l与双曲线渐近线平行，方程化为2x＝5，故此方程(*)只有一个实数解，即直线与双曲线相交，且只有一个公共点．(2)当1－k2≠0，即k≠±1时，Δ＝(2k2)2－4(1－k2)(－k2－4)＝4(4－3k2)．①即－＜k＜，且k≠±1时，方程(*)有两个不同的实数解，即直线与双曲线有两个公共点．②即k＝±时，方程(*)有两个相同的实数解，即直线与双曲线有且仅有一个公共点．③即k＜－，或k＞时，方程(*)无实数解，即直线与双曲线无公共点．当k＝±1，或k＝±时，直线与双曲线有且只有一个公共点；综上所述，当－＜k＜－1，或－1＜k＜1，或1＜k＜时，直线与双曲线有两个公共点；当k＜－，或k＞时，直线与双曲线没有公共点．

1.直线与双曲线位置关系的判断方法：设直线y=kx+b，双曲线－＝1(a>0，b>0)联立消去y得Ax2+Bx+C=0（a≠0），Δ=B2－4AC.若A=0即，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点；若Δ>0,直线与双曲线相交，有两个交点；若Δ=0，直线与双曲线相切，有一个交点；若Δ<0，直线与双曲线相离，无交点；直线与双曲线有一个公共点是直线与双曲线相切的必要不充分条件.归纳总结思考1：如何判断直线与双曲线的两个交点具体交于哪一支？2.判断直线与双曲线交点位置（1）若一条直线与双曲线的右支交于两个不同的点，则应满足条件；（2）若一条直线与双曲线的左支交于两个不同的点，则应满足条件；（3）若一条直线与双曲线的左、右两支各有一个交点，则应满足条件.归纳总结练一练

若直线与双曲线的右支交于不同的两点，则k的取值范围是（）

A． B．C． D．D解：把y＝kx＋2代入x2－y2＝6，得x2－(kx＋2)2＝6，化简得(1－k2)x2－4kx－10＝0，由题意知即解得＜k＜－1.答案：D.思考2：若双曲线的渐近线斜率为±k，根据渐近线的定义，能否利用直线与渐近线的斜率关系来判断过P点的直线与双曲线交点关系？如图，设此双曲线的渐近线斜率为±k.1.当直线的斜率等于±k时，直线与双曲线相交于一点，直线①③均与双曲线右支交于一点；2.当直线过P点且斜率在（﹣k，k）上时，直线与曲线左右两支各交于一点，如直线②3.当直线过点P且斜率在（﹣∞，﹣k）∪（k，+∞）上时，直线可能与曲线的右支交于两点，如直线⑥，也可能与曲线右支相切，如直线④，还可能与曲线相离，如直线⑤.归纳总结练一练

直线l：kx－y－2k＝0与双曲线x2－y2＝2仅有一个公共点，则实数k的值为（）A．－1或1B．－1C．1 D．1，－1，0因为直线l：kx－y－2k＝0过定点(2,0),而直线l：kx－y－2k＝0与双曲线x2－y2＝2仅有一个公共点，所以直线l：kx－y－2k＝0与双曲线渐近线平行，即实数k的值为－1或1，故选A.A任务1：求直线与双曲线相交的弦长.目标二：了解通径的概念，能利用弦长公式求解双曲线的弦长问题.

已知中心在原点的双曲线的渐近线方程是，且双曲线过点．（1）求双曲线的方程；（2）过双曲线右焦点F作倾斜角为的直线交双曲线于A，B两点，求．解：（1）由题意设双曲线方程为，把点代入，可得，即．∴所求双曲线方程为；（2）由（1）知，双曲线右焦点的坐标为，设，，，，直线AB的方程为，联立，得．，，则

双曲线弦长问题求解方法：1.求解直线与双曲线相交弦的有关问题时，常用到根与系数的关系.直线l：y=kx+m（k≠0）与双曲线相交于两个不同的点，则弦AB的长为或.2.通径：过焦点且与双曲线焦点所在轴垂直的弦.其模长为.如图,AB、CD即为椭圆通径.归纳总结练一练

已知中心在原点的双曲线的右焦点为，右顶点为．（1）试求双曲线的方程；（2）过左焦点作倾斜角为的弦MN，试求的面积(O为坐标原点)．解：（1）中心在原点的双曲线的右焦点为，右顶点为.

,方程为.（2）直线与联立，消去