上海 华东师范大学第一附属初级中学选修一第三单元《圆锥曲线的方程》测试卷(含答案解析)

)，以原点为圆心，半径为椭圆C的半焦距的圆恰与椭圆四个项点围成的四边形的四边都相切，则椭圆C的离心率为.P是C的左支上一点，点A的坐标为8(0,4)，则APF周长的最小值为x2y2x2y24．在平面直角坐标系中，已知抛物线y2=4x的准线与双曲线x2-y213a2b28．已知F，F分别为椭圆x2x2a223y223,点P是椭圆上位于第二象限内的一点，若△PFF是腰长为4的等腰三角形，则△PFFPF与以该双曲线实轴为直径的圆相交于A，B两点，且FA=AB=BP，1离心率为.则此双曲线的离心率为.列，则C的离心率为.x2y2____21=-a24的位置关系是.②焦点在x轴上④抛物线的过焦点且垂直于对称轴的弦的长为5；⑤由原点向过焦点的某条直线作垂线，垂足坐标为（2，1）EQ\*jc3\*hps35\o\al(\s\up11(x),1)EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up13(2),2)EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up12(y2),4)、F2为其左右焦点，曲线C是以F2为圆心且过原点的圆.1切且与圆F外切.l倾斜角的大小无关；方程.面面结论解答下列问题.B，记点A，B到直线PO（O是坐标原点）的距离是d，d.（（2）已知F、F为椭圆的上、下两个焦点，AB是过焦点F的一条动积的最大值.x2y2x2y2AA与F垂直的直线交x轴负半轴于点Q，且FF恰是QF的中点，若过A，Q，F222三点的（2）设M，N为椭圆C的长轴两端点，直线m过点P(4,0)交C于不同两点G，H，证明：四边形MNHG的对角线交点在定直线上，并求出定直线方程.EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up10(x2),a2)EQ\*jc3\*hps35\o\al(\s\up10(y),b)EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up10(2),2))的离心率为-EQ\*jc3\*hps35\o\al(\s\up13(3),2)EQ\*jc3\*hps35\o\al(\s\up14(1),2)线l过定点，并求该定点的坐标.积(O为坐标原点).点在x轴上的椭圆.若p,q有且只有一个为真命题，求实数m的取值范围.14（2）若过点P(t,0)的直线l与抛物线C相交于A,B两点，且以AB为直径的圆过原点O，12且k.k=2，证明：直线l经过定点，求出定点的坐标.一、填空题心率【详解】解：如图所示过点作则由题意可得即又由可得整理可得因为所以解得因为所以故答案为：【点睛】本题考查椭圆的几何性质考2【分析】由题意画出图形，利用等面积法可得关于a，b，c的等式，结合隐含条件即可求得椭圆的离心率.【详解】1ca1AA222可22222【点睛】本题考查椭圆的几何性质，考查运算求解能力，属于中档题.周长为因为为定值所以当最小时的周长最小此时点在线段与双曲线的交【分析】F(3,0F(3,0)，由双曲线的定义转化APF的周长为11可得解.【详解】x2y211,所以111此时点P在线段AF与双曲线的交点处，如图所示，12故答案为:12.【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是利用双曲线的性质转化三角形的周长，数形结合即可得解.【分析】求出左焦点坐标，利用直线经过椭圆的左焦点，结合椭圆的定义求三角形的周长即可.【详解】【点睛】方法点睛：解答圆锥曲线的问题时，如果遇到了焦半径，要联想到圆锥曲线的定义，利用定义优化解题.3【分析】先求出△POQ的面积，再利用等积法可求a,b,c的关系，从而可求离心率.【详解】aaEQ\*jc3\*hps35\o\al(\s\up13(b),a)EQ\*jc3\*hps35\o\al(\s\up13(b),a)(b)2c（a)a(b)2c（a)a=ac2-b23【点睛】关键点点睛：圆锥曲线的离心率的计算，关键是利用已知条件构建关键a,b,c的等量关系关系.2【分析】2-a22EQ\*jc3\*hps36\o\al(\s\up9(设A),进而)EQ\*jc3\*hps36\o\al(\s\up11(,),得2-a222a2+b2(1-a2)a2+b222b2(1-a2)2a2+b22a2+b2222c=ac=a22【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是转化AF=3FB为y2774【分析】取椭圆的右焦点F,，由直线l过原点及椭圆的对称性可得四边形PFQF,为平行四边形，-余弦定理可得离心率【详解】取椭圆的右焦点F,，连接QF,，PF,，a,所以1PF=a,所以1PF==由椭圆的对称性，可得四边形PFQF,为平行四边形，则PF,=Q22-a2+2--ax-7747.4【点睛】关键点点睛：本题考查求椭圆的离心率，解题关键是找到关于a,b,c的等量关系．本题中,据余弦定理得到所要求的等量关系.考查了学生的运算求解能力，逻辑推理能力．属于中档【分析】根据抛物线方程求得准线方程，过点M作MN垂直于准线于N，根据抛物线的定义判断【详解】过点M作MN垂直于准线于N，则MN=MF，△PFF△PFF2【点睛】关键点点睛：此题考查了抛物线的简单性质的应用，解题的关键是利用了抛物线的定义，想，属于中档题【分析】△PFF是腰长为4的等腰三角形，且点P在第二象22PF的值，过F作F2112△PFF【详解】的面积.过F作FD」PF22∴△PFF1的面积为-x2【点睛】本题主要考查椭圆的定义及简单的几何性质、三角形面积的计算，考查学生的逻辑推理能力、数学计算能力，属于中档题.5【分析】-8-a，最后建立方程PF2+PF2=FF2并求双曲线的离心率即可【详解】设F为双曲线x2y2=1的右焦点，取AB的中点M，则OMPF，如图.1因为FA=AB=BP，所以M是PF的中点，则OM//PF，2.28PF5【点睛】本题考查圆的几何性质、求双曲线的离心率，考查数形结合的数学思想，是基础题.据得到从而得到【详解】由得直线的方程为根据题意知直线与渐近线相交联立得消去得由得所以即整理得则故答案为：【点睛】本题主要考查双曲线的离-3【分析】bcBc-a4.3【详解】由F(-c,0)，A(0,b)，得直线AF的方程为y=bcba(xB.c-ac-a 43【点睛】本题主要考查双曲线的离心率，同时考查学生的计算能力，属于中档题.得选项【详解】由已知设所以根据勾股定理有解得；由椭圆定义知所以的周长222【分析】1AF22，可得选项.2【详解】1BF2─【点睛】本题考查椭圆离心率，椭圆的定义，重在对问题的分析，抓住细节，同时考查计算能力，属于中档题.的距离并与圆的半径作大小比较由此可得出结论【详解】得所以双曲线的渐近线方程为圆的圆心坐标为半径为圆心到直线的距离为因【分析】由双曲线的离心率可得出b=a，然后计算出圆心到双曲线的渐近线的距离，并与圆的半径作大小比较，由此可得出结论.【详解】2b2-2b2-的圆心坐标为(a,0)，半径为r=的圆心坐标为(a,0)，半径为r=422因此，双曲线的渐近线与圆(x-22故答案为：相离. 14a2【点睛】本题考查直线与圆的位置关系的判断，涉及双曲线的离心率以及渐近线方程的应用，求出b与a的等量关系是解答的关键，考查计算能力，属于中等题.直与斜率之间的关系即可判断出结论【详解】p52p2,解得p52p2,解得p=,可【分析】设抛物线方程为y2=2px．根据抛物线的定义、焦半径公式、直线相互垂直与斜率之间的关系即可判断出结论.【详解】设抛物线方程为y2=2px.22根12根12-2,解得【点睛】本题考查了抛物线的定义、焦半径公式、直线相互垂直与斜率之间的关系、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.【分析】EQ\*jc3\*hps21\o\al(\s\up3(0),0)EQ\*jc3\*hps36\o\al(\s\up14(2),2)EQ\*jc3\*hps36\o\al(\s\up14(x),y)【详解】因为C是以F为圆心且过原点的圆，故圆心为(4,0)，半径为4，21(y0-EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up11(0),y))，解得EQ\*jc3\*hps21\o\al(\s\up11(0),0)(x-x,y-y)，2所以M的轨迹方程为x2+y2=4.【点睛】方法点睛：求动点的轨迹方程常见的方法有：（1）直接法；（2）定义法；（3）相关点代入法4）消参法.要根据数学情景灵活选择方法求动点的轨迹方程.π4【分析】（1）方法一，利用直线与圆的位置关系，以及圆与圆的位置关系，转化为抛物线的定义求曲线方程；方法二，利用等量关系，直接建立关于(x,y)的方程2）方法一，利用条件【详解】解1）设M(x,y)，圆M的半径为r.方法一：根据抛物线的定义知，曲线C是以F(2,0)为焦点，x=-2为准线的抛物线.故曲线C的方程为y2=8x.2故曲线C的方程为y2=8x.（2）方法一：设P(x,y020002，ππ4π2π=.4【点睛】直接法：把题设条件直接“翻译”成含x,y的等式就得到曲线的轨迹方程.定义法：运用解析几何中以下常用定义（如圆锥曲线的定义），可从曲线定义出发，直接写出轨迹方程，或从曲线定义出发建立关系式，从而求出轨迹方程.相关点法：首先要有主动点和从动点，主动点在已知曲线上运动，则可以采用此法.【分析】（1）根据准线方程可求p，从而可求抛物线方程.为与m无关的定值.（3）设P(x,y)，则可用x表示|PT|，利用二次函数的性质可求d(t).【详解】pp2(y22d(t)=t；【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x（或y）的一元二次方程，必要时计算Δ;（5）代入韦达定理求解.3171）y241-x23(4,2).【分析】（2）设A(x,y)，B(x,y)，直线方程代入双曲线方程，应用韦达定理和中点坐标公式可得.【详解】EQ\*jc3\*hps36\o\al(\s\up29(9),曲)EQ\*jc3\*hps36\o\al(\s\up29(4),方)设A(x,y【点睛】,则x1(4,2).2-y2-x2方法点睛：本题考查求双曲线方程，考查弦中点坐标．已知双曲线的渐近线方程为-n2方法不需要考虑双曲线的焦点所在轴.,代入其他条件求得λ即可得，这种181）-2）──.【分析】（1）由已知结论求出直线AB的方程，联立方程，得韦达定理，利用弦长公式即可求得AB的长2）将别求出最值.【详解】77-y，+++-+tx-4ytx4y(tx-4y)-(tx-4y)(t2+12)y+++-+t2,则m=)2接下来介绍求最值的不同方法.m2==2,当s24t42m2=t42=-+-EQ\*jc3\*hps36\o\al(\s\up12(1),s)EQ\*jc3\*hps36\o\al(\s\up12(1),24)2+=-+-t2t422t2t11【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：（1）注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；（2）强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题.y2191）x2+=12）2.2【分析】（1）根据离心率的值，可列出a，c的关系式，再根据经过(0,)点，可得出a的值和c（2）根据题意设出直线的方程和椭圆方程联立方程组，由根和系数的关系，再结合三角形面积公式，可把三角形面积表示成含有参数的关系式，最后根据不等式，可求得面积的最大值.【详解】=y2x2222ABk2+2AB∴x-x∴AB-4xx2S则则-|FF.x-x，可知FFk2k2+11【点睛】11k2+1SABF椭圆与直线相交时，三角形面积问题的关键点为：设直线方程、联立方程组、韦达定理、列出三角形面积的关系式，最后根据函数或不等式，可求出三角形面积的范围.【分析】2-y_y（1）设椭圆C的半焦距为c(c>0)，由圆的定义可求得圆的半的条件可求得c，a2，b2，可求得椭圆方程.方程。求得两直线的交点的横坐标，代入，可得交点所过的定直线.【详解】2F三点圆的圆心为F(_c,0)，半径为2c=a，又因为该圆与直线l相切，所以x2y2_c_322（2）由对称性可知，若存在，则必为垂直于x轴的直线.2)y2(EQ\*jc3\*hps35\o\al(\s\up31(Δ),y)EQ\*jc3\*hps35\o\al(\s\up31(0),y)|2不妨设M(_2,0)，N(2,0)，所以直线MH的方程为yxy12(y12)3y_y3y_y3y_y2【点睛】关键点点睛：解决直线与圆锥曲线相交的相关问题时，关键在于将目标条件转化为交点的坐标间的关系，交点坐标的韦达定理上去可得以解决.x2211）3x2(1)(1)【分析】（1）运用离心率公式和基本量a，b，c的关系，以及点满足椭圆方程，解方程可得椭圆2-12-1(1)【详解】EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up11(x2),a2)EQ\*jc3\*hps35\o\al(\s\up11(y),b)EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up13(2),2)EQ\*jc3\*hps35\o\al(\s\up13(3),2)EQ\*jc3\*hps35\o\al(\s\up13(1),2)-b2--22x2则椭圆方程为-+y2=1.3EQ\*jc3\*hps35\o\al(\s\up21(x),y)EQ\*jc3\*hps35\o\al(\s\up21(+),2)23t2-12(1)(1)【点睛】本题主要考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的综合，及定点问题，解题时要认真审题，注--4yy33意函数与方程思想的合理运用.(1)解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系.(2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形.x2y2x2y2【分析】（2）求出直线l的方程，与椭圆方程联立，设M(x,y)，((【详解】所以所以2（2）由题意知A(0,-2),B(22,0),:k所以直线l的方程为x-2y-2=01=22y22y22=0,消去x并整理得2y2+2y-1=0，=1(2()，则y122(1)【点睛】计算时解题关键.【分析】先根据方程为双曲线以及椭圆条件得p,q为真