高级中学2013届高三10月月考数学试卷

./XX省江浦高级中学2012—2013学年第一学期高三年级十月考数学试卷命题人：滕宏银2012年10月1.已知全集,集合,,则等于____▲____.2.已知复数满足<为虚数单位>,则的模为____▲____.3．函数的定义域是____▲____.4．已知510°角的始边在轴的非负半轴上,终边经过点,则=____▲____.5．已知,则与向量方向相反的单位向量坐标为____▲____.6.已知,则____▲____.7.已知函数是偶函数,则常数的值为____▲____.8.已知,则的取值范围为____▲____.9.在中,角的对边分别为,若,则=____▲____.10.若函数在区间上单调递增,在区间上单调递减,ABCDE则＝____ABCDE11.如图,在△中,,为边上的点,且,,则____▲____.OO12xy12.已知有极大值,其导函数的图象如图所示,则的解析式为____▲____.13.设函数,若,则实数的取值范围是____▲____.14.已知定义在上的可导函数的导函数为,满足且为偶函数,,则不等式的解集为____▲____.二、解答题：本大题共6题,共90分.请在答题卡规定区域写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．〔本小题满分14分在△中,分别是角所对的边,且．〔1求边的值；〔2求的值．16．<本小题满分14分>如图,四棱锥的底面为矩形,且分别为,中点.〔第16题ABCDEF〔第16题ABCDEFP〔2若平面⊥平面,求证：平面⊥平面17．〔本小题满分14分已知向量,且,求：〔1及；〔2若的最小值是,求的值.18.〔本小题满分16分如图：某污水处理厂要在一个矩形污水处理池的池底水平铺设污水净化管道,是直角顶点来处理污水,管道越长,污水净化效果越好.设计要求管道的接口是的中点,分别落在线段上.已知米,米,记.〔1试将污水净化管道的长度表示为的函数,并写出定义域；〔2若,求此时管道的长度；〔3问：当取何值时,污水净化效果最好？并求出此时管道的长度.19.〔本小题满分16分已知函数．〔1若函数在上是增函数,求实数的取值范围；〔2若函数在上的最小值为3,求实数的值．20．<本小题满分16分>若函数为定义域上单调函数,且存在区间〔其中,使得当时,的取值范围恰为,则称函数是上的正函数,区间叫做等域区间．〔1已知是上的正函数,求的等域区间；〔2试探究是否存在实数,使得函数是上的正函数？若存在,请求出实数的取值范围；若不存在,请说明理由．XX省江浦高级中学2012—2013学年第一学期高三年级十月考数学参考答案及评分标准一、填空题：本大题共14小题,每小题5分,计70分.1.2.3.4.5.6.7.8.9.410.11.112.13.14.二、解答题：本大题共6小题,计90分.15.〔本小题满分14分解：〔1根据正弦定理,,所以………………5分〔2根据余弦定理,得………7分于是………8分从而………10分,……12分ABCDEABCDEFPN16.〔本小题满分14分证明：〔1方法一：取线段PD的中点M,连结FM,AM．因为F为PC的中点,所以FM∥CD,且FM＝EQ\F<1,2>CD．因为四边形ABCD为矩形,E为AB的中点,所以EA∥CD,且EA＝EQ\F<1,2>CD．ABCDEFQP所以FMABCDEFQP所以四边形AEFM为平行四边形．所以EF∥AM．………5分又AM平面PAD,EF平面PAD,所以EF∥平面PAD．………7分方法二：连结CE并延长交DA的延长线于N,连结PN．因为四边形ABCD为矩形,所以AD∥BC,所以∠BCE＝∠ANE,∠CBE＝∠NAE．又AE＝EB,所以△CEB≌△NEA．所以CE＝NE．又F为PC的中点,所以EF∥NP．…………5分又NP平面PAD,EF平面PAD,所以EF∥平面PAD．……………7分方法三：取CD的中点Q,连结FQ,EQ．在矩形ABCD中,E为AB的中点,所以AE＝DQ,且AE∥DQ．所以四边形AEQD为平行四边形,所以EQ∥AD．又AD平面PAD,EQ平面PAD,所以EQ∥平面PAD．………………2分因为Q,F分别为CD,CP的中点,所以FQ∥PD．又PD平面PAD,FQ平面PAD,所以FQ∥平面PAD．又FQ,EQ平面EQF,FQ∩EQ＝Q,所以平面EQF∥平面PAD．……………5分因为EF平面EQF,所以EF∥平面PAD．………………7分〔2设AC,DE相交于G．在矩形ABCD中,因为AB＝eq\R<,2>BC,E为AB的中点.所以EQ\F<DA,AE>＝EQ\F<CD,DA>＝EQ\r<,2>．又∠DAE＝∠CDA,所以△DAE∽△CDA,所以∠ADE＝∠DCA．又∠ADE＋∠CDE＝∠ADC＝90°,所以∠DCA＋∠CDE＝90°．由△DGC的内角和为180°,得∠DGC＝90°．即DE⊥AC．………9分因为平面PAC⊥平面ABCD因为DE平面ABCD,所以DE⊥平面PAC,……12分又DE平面PDE,所以平面PAC⊥平面PDE．…………14分17.〔本小题满分14分解：<1>…………2分………5分………………7分⑵…9分①当时,当且仅当时,取得最小值－1,这与已知矛盾；②当时,取得最小值,由已知得；③当时,取得最小值,由已知得解得,这与相矛盾,综上所述,为所求.……14分注意：没分类讨论扣2分18.〔本小题满分16分解：〔1,………………4分由于,,………5分,.………………6分<2>时,,…………8分;…………10分〔3=设则………………12分由于,所以…………14分在内单调递减,于是当时时的最大值米.………………15分答：当或时所铺设的管道最短,为米.……………16分19.〔本小题满分16分解：〔1∵,∴．………………1分∵在上是增函数,∴≥0在上恒成立,即≤在上恒成立．…4分令,则≤．∵在上是增函数,∴．∴．所以实数的取值范围为．………………7分〔2由〔1得,．①若,则,即在上恒成立,此时在上是增函数．所以,解得〔舍去．………………10分②若,令,得．当时,,所以在上是减函数,当时,,所以在上是增函数．所以,解得〔舍去．………13分③若,则,即在上恒成立,此时在上是减函数．所以,所以．综上所述,．………………16分20.〔本小题满分16分解：〔1因为是上的正函数,且在上单调递增,所以当时,即……………3分解得,故函数的