第3章 3-01高斯消元法,列主元法课件

第3章线性代数方程组的数值解法3.1高斯消去法3.2矩阵三角分解法3.33.4向量和矩阵的范数3.5迭代法3.6迭代法的收敛性3.7方程组的形态和误差分析第3章3-01高斯消元法,列主元法

矩阵形式Ax=b,其中n个未知量n个方程的线性代数方程组或写成第3章3-01高斯消元法,列主元法第3章3-01高斯消元法,列主元法两类数值解法：

直接解法:假定计算过程没有舍入误差的情况下，经过有限步算术运算后能求得线性方程组精确解的方法。经过有限步运算就能求得精确解的方法，但实际计算中由于舍入误差的影响，这类方法也只能求得近似解；例如：高斯消去法、三角分解法等。

迭代解法:构造适当的向量序列，用某种极限过程去逐步逼近精确解。例如：雅可比迭代法、高斯-赛德尔迭代法等。第3章3-01高斯消元法,列主元法上三角形方程组回代求解，得第3章3-01高斯消元法,列主元法第3章3-01高斯消元法,列主元法下三角形方程组顺代可求得第3章3-01高斯消元法,列主元法第3章3-01高斯消元法,列主元法上二对角方程组回代求解，得第3章3-01高斯消元法,列主元法第3章3-01高斯消元法,列主元法下二对角方程组顺代可求得第3章3-01高斯消元法,列主元法3.1高斯消去法

3.1.1顺序高斯消去法

(按方程和未知量的自然顺序进行)基本思想：用逐次消去未知数的方法把原方程组化为上三角形方程组进行求解。求解分成两步：

1.消元过程：用初等行变换将原方程组的系数矩阵化为上三角形矩阵（简称上三角阵）。

2.回代过程：对上三角形方程组的最后一个方程求解，将求得的解逐步往上一个方程代入求解。

第3章3-01高斯消元法,列主元法顺序高斯消去法消元过程:

依从左到右、自上而下的次序将主对角元下方的元素化为零。

1不作行交换。

2用不等于零的数乘某行，加至另一行。第3章3-01高斯消元法,列主元法第3章3-01高斯消元法,列主元法第3章3-01高斯消元法,列主元法

系数行列式的计算：

例

消元过程

主元为2，2.5，0.6detA=2×2.5×0.6=3第3章3-01高斯消元法,列主元法第3章3-01高斯消元法,列主元法消元过程第3章3-01高斯消元法,列主元法第3章3-01高斯消元法,列主元法回代过程第3章3-01高斯消元法,列主元法顺序高斯消去法的使用条件使用条件之一

定理

线性方程组系数矩阵A的顺序主子矩阵Ak

(k=1,2,…,n)非奇异，则顺序高斯消去法能实现方程组的求解。

即方程组能用顺序高斯消去法求解的充要条件是系数行列式的顺序主子式非零。第3章3-01高斯消元法,列主元法

高斯消去法能按顺序进行到底的充要条件是在原方程组的系数矩阵中如何反映出这个条件呢?A的k阶顺序主子矩阵Ak的行列式第3章3-01高斯消元法,列主元法

使用条件之二

n阶矩阵A为严格对角占优矩阵是指其每个主对角元的绝对值大于同一行其他元素绝对值之和，即

一阶严格对角占优矩阵指一个非零数。

定理方程组系数矩阵A为严格对角占优矩阵则可实现用顺序高斯消去法求解。第3章3-01高斯消元法,列主元法第3章3-01高斯消元法,列主元法3.1.2列主元高斯消去法

为什么列选主：数值不稳定

当高斯消去法的主元时,尽管“当A非奇异时，detA≠0，方程组有唯一解”，也不能实现高斯消去法求解。例，

A非奇异，detA≠0，方程组有唯一解，但，不能实现高斯消去法求解。高斯消去法的主元，但绝对值很小时，用绝对值小的数做除数，会导致其它元素数量级的严重增长和舍入误差的扩大。

第3章3-01高斯消元法,列主元法列选主元高斯消去法：避免用绝对值小的元素，作除数。每次消元前选取一列中绝对值最大的元素作为主元素。用这个主元素作除数，这样便可以减少舍入误差。列选主元高斯消去法的优越性，不增加求解过程的运算量，而大大减小误差。第3章3-01高斯消元法,列主元法例

用列主元高斯消去法求解方程组(用三位有效数字计算)解选主元选主元第3章3-01高斯消元法,列主元法消元过程完成，得到上三角形方程组再作回代可求得第3章3-01高斯消元法,列主元法

行列式的计算：

列主元法的消元过程

计算过程有2次行交换，故m=2，主元为5，-1.6，2detA=(-1)2×5×(-1.6)×2=16