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第二型曲线积分

The

LineIntegralswithRespecttoCoordinateVariables第二型曲线积分第二型曲线积分与曲面积分

两型线面积分的三点根本差异：作为用积分来研究的整体量的物理背景不同，二型线面积分涉及场论；并总取非负值；第一型线面积分的不考虑方向，曲线要定向,曲面要定侧,且微元是向量第二型线面积分则不同，第二型曲线积分被积函数：第一型积分为数量值函数的积分

第二型为向量值函数(不排除有的分量为零)：一、第二型曲线积分1.

物理背景与概念典型问题——“力场沿曲线C的作功问题”.第二型曲线积分设场力(向量值函数)：

分四步解：细分求场力沿曲线C从A到B所作的功。第二型曲线积分近似代替求和(得总功近似值)取极限令

(得总功精确值)第二型曲线积分二型线积分概念的一般表示

有向线段C分段光滑并可求长，上有定义；第二型曲线积分是对坐标的线积分；被积表达式是两向量的点积，可以有一个或两个分量为零，如在C第二型曲线积分都是第二型曲线积分。2.

第二型曲线积分性质第二型曲线积分

设A,B,P

为曲线C上任意三点，则

对于二型环路积分

第二型曲线积分3.

第二型曲线积分的计算法第二型曲线积分的基本计算法也是通过设曲线C

已给定方向，其参数方程为则二型线积分有计算式转化为定积分进行计算的。参数t：

(对应始点)

(对应终点).第二型曲线积分

计算式中可能只出现一、二项，但仍是二型线积分，不是定积分；C定向第二型曲线积分

对应始终点的上下限,并非一定是

曲线C

若给其它形式的方程，只要全力找出它的等价参数方程，问题即可迎刃而解。例1计算其中C为螺旋线上对应至的有向弧段。第二型曲线积分解例2

计算

其中(1)C为折线段第二型曲线积分解(2)沿x

轴由(1)对折线:于是，yA(1,1)应该分段考虑，第二型曲线积分(2)沿x

轴由yA(1,1)B

AA

O第二型曲线积分解(1)(2)从A(1,0)沿折线到(1)从A(1,0)沿上半单位圆至

例3

计算

其中L为第二型曲线积分解(2)=0=0

此积分沿两条不同路径的积分值相同。第二型曲线积分例4

计算沿有向闭路的线积分：解方向如图。第二型曲线积分

此例环路积分为零,但各分段路径的积分不为零。第二型曲线积分例5

计算其中C为

解圆周:方向沿逆时针(正向).第二型曲线积分4.两类线积分的联系二型环路(闭路)上的线积分有时为零(例4),

有时不为零。——有什么规律吗？

积分路径有关.当始、终点一样时,沿不同沿不同路径的线积分值有的相同(例3),有的不同(例2)。设曲线C：

二型曲线积分不仅与始、终点有关,还与

第二型曲线积分其方向余弦因此两型线积分有以下关系：其上点点切向量：则因第二型曲线积分例6计算其中L为椭圆：方向是：站在x

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