6.3 实践与探索 课件 2023-2024学年华东师大版数学七年级下册

6.3

实践与探索第1课时等积变形问题华东师大版数学七年级下册情境引入从一个水杯向另一个水杯倒水.思考：在这个过程中什么没有发生变化？图形的等长变化合作探究

(1)若该长方形的长比宽多1.4米，此时长方形的长、宽各是多少米呢？在这个过程中什么没有发生变化？长方形的周长(或长与宽的和)不变.用一根长为10米的铁丝围成一个长方形.xm(x+1.4)m等量关系：（长+宽）×2=周长解：设此时长方形的宽为

x米，则它的长为

(x+1.4)

米.根据题意，得(x+1.4+x)×2=10解得x=1.8

长：1.8+1.4=3.2此时长方形的长为

3.2米，宽为

1.8米.(2)若该长方形的长比宽多0.8米，此时长方形的长和宽各为多少米？它围成的长方形与(1)中所围成的长方形相比，面积有什么变化？解：设此时长方形的宽为

xm，则它的长为(x+0.8)m.根据题意，得(x+0.8+x)×2=10解得x=2.1长：2.1+0.8=2.9此时长方形的长为2.9m，宽为2.1m，面积为2.9×2.1=6.09(m2)，(1)中长方形的面积为

3.2×1.8

=5.76(m2).此时长方形的面积比

(1)中长方形的面积增大6.09－5.76=0.33(m2).(3)若该长方形的长与宽相等，即围成一个正方形，则正方形的边长是多少？它围成的正方形的面积与(2)中相比，又有什么变化？xm(x+x)×2=10解得x=2.5正方形的面积为2.5×2.5=6.25(平方米)解：设正方形的边长为

x米.根据题意，得比(2)中面积增大6.25-6.09=0.16（平方米）正方形的边长为2.5米同样长的铁丝可以围更大的地方.

例1用两根等长的铁丝分别绕成一个正方形和一个圆，已知正方形的边长比圆的半径长2(π－2)m，求这两根等长的铁丝的长度，并通过计算说明谁的面积大．典例精析

【解析】比较两图形的面积大小，关键是通过题中的等量关系列方程求得圆的半径和正方形的边长，本题的等量关系为正方形的周长＝圆的周长．解：设圆的半径为

rm，则正方形的边长为

[r＋2(π－2)]m.根据题意，得答：铁丝的长为8πm，圆的面积较大．因为4π×4＞4π×π，所以16π

＞4π2，所以圆的面积大．正方形的面积为[4＋2(π－2)]2＝4π2(m2)．所以圆的面积是

π×42＝16π(m2)，所以铁丝的长为2πr＝8π(m)．2πr＝4(r＋2π－4)，解得

r＝4.(1)形状、面积发生了变化，而周长没变；(2)形状、周长不同，但是根据题意找出周长之间的关系，把这个关系作为等量关系．解决问题的关键是通过分析变化过程，挖掘其等量关系，从而可列方程．归纳总结图形的等积变化

某居民楼顶有一个底面直径和高均为4m的圆柱形储水箱．现对该楼进行维修改造，为减少楼顶原有储水箱的占地面积，需要将它的底面直径由4m减少为3.2m．那么在容积不变的前提下，水箱的高度将由原先的4m变为多少米？合作探究1.如果设水箱的高变为

xm，填写下表：

旧水箱新水箱底面半径/m高/m体积/m21.64xπ×22×4π×1.62×x3.列出方程并求解.2.根据表格中的分析，找出等量关系.旧水箱的容积=新水箱的容积π×22×4π×1.62×x=解得

x=6.25因此，水箱的高度变成了6.25m.例2

一种牙膏出口处直径为5mm，小明每次刷牙都挤出1cm长的牙膏，这样一支牙膏可以用36次，该品牌牙膏推出新包装，只是将出口处直径改为6mm，小明还是按习惯每次挤出1cm的牙膏，这样，这一支牙膏能用多少次？解：设这一支牙膏能用

x

次，根据题意得

解这个方程，得

x

＝

25.

答：这一支牙膏能用

25

次．

你认为列一元一次方程解应用题的主要步骤有哪些？关键是什么？思考：

1.审——通过审题找出等量关系.6.答——注意单位名称.5.检——检验求出的值是否为方程的解，并检验是否符

合实际问题.4.解——求出方程的解(对间接设的未知数切忌继续求解).3.列——依据找到的等量关系，列出方程.2.设——设出合理的未知数(直接或间接)，注意单位名称.做一做1.要锻造一个直径为8厘米、高为4厘米的圆柱形毛坯，则至少应截取直径为4厘米的圆钢______厘米.2.钢锭的截面是正方形，其边长是20厘米，要锻造成长、宽、高分别为40厘米、30厘米、10厘米的长方体，则应截取这种钢锭多长？答：应截取这种钢锭

30厘米.161.一个长方形的周长是40cm，若将长减少8cm，宽增加2cm，长方形就变成了正方形，则正方形的边长为()A.6cm

B.7cm

C.8cm

D.9cmBC2.一个梯形的面积是60cm2，高为5cm，它的上底比下底短2cm，求这个梯形上底和下底的长度.设下底长为

xcm，则下面所列方程正确的是

()

3.根据图中给出的信息，可得正确的方程是(

)AA.π×42x=π×32×(x+5)B.π×42x=π×32×(x-5)C.π×82x=π×62×(x+5)D.π×82x=π×62×(x-5)应用一元一次方程

图形等长变化应用一元一次方程解决实际问题的步骤

图形等积变化列

⑤检

④解设

审

⑥答

6.3

实践与探索第2课时销售问题及百分率问题华东师大版数学七年级下册情境引入清仓处理跳楼价满200返100五折销售销售中的盈亏合作探究1.进价100元的商品提价40%后，标价为________元，若按标价的八折销售，则售价为________元，此商品的利润为________元，利润率是________.2.某商品原价是

a元，现在每件打九折销售，则此时的售价是

元.3.一件商品打

x折出售，就是用原价乘

.

140112120.9a12％填空：问题1：上面的打折销售问题中有哪些量?成本价(进价)标价(原价)销售价

利润

利润率问题2：这些量有何关系?大家想一想！进价：购进商品时的价格(有时也叫成本价).售价：在销售商品时的售出价(有时称成交价，卖出价).标价：在销售时标出的价（有时称原价，定价）.利润：在销售商品的过程中的纯收入，利润＝售价-进价.有关销售的概念利润率：利润占进价的百分率，即：利润率

＝

利润÷进价×100%.概念学习理一理：打折促销活动中各个量与量之间有怎样的等量关系？

进价＋提价

=标价售价－进价（成本）=利润进价×利润率

=利润

标价×折扣率

=售价打折或减价标价售价进价提价利润、利润率(1)某商品的进价为80元，在进价的基础上提高20%后标价，则标价为

元.(2)标价为500元的商品打9折后的售价为

元.(3)某商品每件的销售利润是72元，进价是120元，则售价是

元.(4)某商品利润率为13%，进价为50元，则利润是

元.(80＋80×20%)（500×0.9）（50×13%）（120＋72）964506.5192做一做

商品利润利润率=

=商品售价－商品进价●售价、进价、利润的关系：商品利润●进价、利润、利润率的关系：商品进价×100%折扣数●标价、折扣数、商品售价的关系：商品售价=标价×10●商品售价、进价、利润率的关系：商品进价商品售价=×(1+利润率)打折销售要点归纳A.盈利B.亏损C.不盈不亏

你估计盈亏情况是怎样的？典例精析例1一商店在某一时间以每件60元的价格卖出两件衣服，其中一件盈利25%，另一件亏损25%，卖这两件衣服总的是盈利还是亏损，或是不盈不亏?￥60￥60思考：销售的盈亏决定于什么？取决于总售价与总成本(两件衣服的成本之和)的关系总售价

＞总成本

总售价

＜总成本

总售价

＝总成本盈利亏损不盈不亏(2)设亏损25%的衣服进价是y元，依题意得y－0.25y＝60解得y＝80(1)设盈利25%的衣服进价是x元，依题意得x＋0.25x＝60解得x＝48解：两件衣服总成本：x+y=48＋80＝128(元)因为120－128＝

－8(元)所以卖这两件衣服共亏损了8元.与你猜想的一致吗？1.某琴行同时卖出两台钢琴，每台售价为960元.其中一台盈利20%，另一台亏损20%.这次琴行是盈利还是亏损，或是不盈不亏？练一练2.某文具店有两个进价不同的计算器都卖64元，其中一个盈利60%，另一个亏本20%.这次交易中的盈亏情况？答案：买这两个计算器盈利

8

元.答案：这次琴行亏本80元.

例2一件服装先将进价提高25%出售，后进行促销活动，又按标价的8折出售，此时售价为60元.请问商家是盈是亏，还是不盈不亏？解：设这件衣服的进价是

x元，则提价后的售价是(1＋25%)x元，促销后的售价是(1＋25%)x×0.8元，依题意得(1＋25%)x×0.8＝60

解得x＝60售价60=成本60答：这家商店不盈不亏.练一练1.某商品在原价的基础上提高25%标价，若想调回原价，应降价的百分率为

.20%2.我国政府为解决老百姓看病难的问题，决定下调药品的价格，某种药品在2021年涨价30%后，2023年降价70%至

a元，则这种药品在2005年涨价前价格为

元.1.某商品的进价是1000元，售价是1500元，由于销售情况不好，商店决定降价出售，但又要保证利润率不低于5%，那么商店最多可打几折出售此商品？解:设商店最多可以打

x折出售此商品，根据题意，得1500×=1000(1+5%)解得x=7答:商店最多可以打7折出售此商品.

2.据了解个体商店销售中售价只要高出进价的20%便可盈利，但老板们常以高出进价50%~100%标价，假若你准备买一双标价为600元的运动鞋，应在什么范围内还价？高于进价50%标价高于进价100%标价进价x元y元标价(1＋50%)x(1＋100%)y方程(1＋50%)x＝600(1＋100%)y＝600方程的解x＝400y＝300盈利价400(1＋20%)＝480300(1＋20%)＝360答：应在480

元

~

360

元内还价.

商品利润利润率=

=商品售价－商品进价●售价、进价、利润的关系：商品利润●进价、利润、利润率的关系：商品进价×100%折扣数●标价、折扣数、商品售价的关系：商品售价=标价×10●商品售价、进价、利润率的关系：商品进价商品售价=×(1+利润率)打折销售6.3

实践与探索第3课时速率问题华东师大版数学七年级下册情境引入你知道它蕴含的是我们数学中的什么问题吗？相遇问题

星期天早晨，小斌和小强分别骑自行车从家里同时出发去参观雷锋纪念馆.已知他俩的家到雷锋纪念馆的路程相等，小斌每小时骑

10km，他在上午

10时到达；小强每时骑

15

km，他在上午

9

时

30

分到达.求他们的家到雷锋纪念馆的路程.情境引入

由于小斌的速度较慢，因此他花的时间比小强花的时间多.本问题中涉及的等量关系有：

.

因此，设他俩的家到雷锋纪念馆的路程均为

skm，解得s=＿＿＿＿.

因此，小斌和小强的家到雷锋纪念馆的路程为

km．根据等量关系，得

.1515注意单位要统一.

例1小明与小红的家相距

20

km，小明从家里出发骑自行车去小红家，两人商定小红到时候从家里出发骑自行车去接小明.

已知小明骑车的速度为

13km/h，小红骑车的速度是

12km/h.(1)如果两人同时出发，那么他们经过多少小时相遇？

分析：由于小明与小红都从家里出发，相向而行，所以相遇时，他们走的路程的和等于两家之间的距离.即小明走的路程+小红走的路程=两家之间的距离(20

km).典例精析解：设小明与小红骑车走了

xh

后相遇，则根据等量关系，得

13x+12x=20.

解得x=0.8.

答：经过

0.8h他们两人相遇.小明走的路程小红走的路程(2)如果小明先走30min，那么小红骑车要走多少小时才能与小明相遇？小明先走的路程小红出发后小明走的路程小红走的路程解：设小红骑车走了

th后与小明相遇，则根据等量关系，得

13(0.5+t)+12t=20.

解得t=0.54.

答：小红骑车走0.54h后与小明相遇.路程＝速度×时间甲走的路程+乙走的路程=甲、乙之间的距离

相遇问题总结归纳注意相向而行的始发时间和地点.

甲、乙两车分别从

A，B

两地同时出发，相向而行．已知

A，B

两地的距离为

480

km，且甲车以

65

km/

h

的速度行驶．若两车

4

h

后相遇，则乙车的行驶速度是多少？答：乙车的行驶速度是

55

km/h.练一练

例2小明早晨要在7:20以前赶到距家1000米的学校上学．一天，小明以80米/分钟的速度出发，5分钟后，小明的爸爸发现他忘了带历史作业，于是，爸爸立即以180米/分钟的速度去追小明，并且在途中追上了他．问爸爸追上小明用了多长时间？

分析：当爸爸追上小明时，两人所走路程相等.追及问题解：设爸爸追上小明用了

x分钟，则此题的数量关系可用线段图表示.据题意，得80×5＋80x=180x.答：爸爸追上小明用了4分钟．解得x=4.80×580x180x

一队学生步行去郊外春游，每小时走4km，学生甲因故推迟出发30min，为了赶上队伍，甲以6km/h的速度追赶，问甲用多少时间就可追上队伍？答：该生用了1小时追上了队伍.练一练路程

＝

速度×时间S快－S慢

=S原来距离

追及问题总结归纳注意同向而行始发时间和地点.

例3生产的这批螺钉、螺母要打包，由一个人做要40h完成.现计划由一部分人先做4h，然后增加2人与他们一起做8h，完成这项工作.假设这些人的工作效率相同，具体应该安排多少人工作？分析：人均效率人数时间工作量前一部分工作x4后一部分工作x＋28×＝×工作量之和等于总工作量1.工程问题××＝解：设先安排x人做4h，根据题意得等量关系：

可列方程解方程，得4x＋8(x＋2)＝40，4x＋8x＋16＝40，12x＝24，

x＝2.答：应先安排2人做4小时.前部分工作总量+后部分工作总量=总工作量1一条地下管线由甲工程队单独铺设需要

12

天，由乙工程队单独铺设需要

24

天.如果由这两个工程队从两端同时施工，要多少天可以铺好这条管线？做一做根据工作效率×工作时间

=

工作量，列方程:

解：设要

x天可以铺好这条管线，由题意得答：要8天可以铺好这条管线.分析：把工作量看作单位“1”，则甲的工作效率为，乙的工作效率为.

解方程，得解决工程问题的思路：1.三个基本量：三个基本量：工作量、工作效率、