误差理论与数据处理6版(第3章误差的合成与分配),机械

第3章

误差的合成与分配第一节函数误差任何丈量结果都包含有一定的丈量误差，这是丈量过程中各个环节一系列误差要素共同作用的结果。如何正确地分析和综合这些误差要素，并正确地表述这些误差的综合影响，这就是误差合成要研讨的根本内容。前面所讨论的主要是直接丈量的误差计算，但在有些情况下，由于被测对象的特点，不能进展直接丈量，或者直接丈量难以保证丈量精度，需求采用间接丈量。间接丈量经过直接测得的量与被丈量之间的函数关系计算出被丈量。函数误差间接丈量的量是直接丈量所得到的各个丈量值的函数，而间接丈量误差那么是各个直接测得值误差的函数，故称这种误差为函数误差。研讨函数误差的内容，本质上就是研讨误差的传送问题，而对于这种具有确定关系的误差计算，也有称之为误差合成。一、函数系统误差计算第一节函数误差间接丈量的数学模型与被丈量有函数关系的各个直接丈量值y间接丈量值求上述函数y的全微分，其表达式为：假设知各个直接丈量值的系统误差Δx1,Δx2,…,Δxn,由于这些误差皆较小,可用来近似替代上式中相应微分量dx1,dx2,…,dxn,那么有和的量纲或单位不一样，那么起到误差单位换算的作用和的量纲或单位一样，那么起到误差放大或减少的作用由y的全微分，函数系统误差的计算公式为各个直接丈量值的误差传送系数,也称灵敏系数第一节函数误差几种简单函数的系统误差1、线性函数2、三角函数方式系统误差公式当当函数为各丈量值之和时，其函数系统误差亦为各个丈量值系统误差之和第一节函数误差【例3-1】用弓高弦长法间接丈量大工件直径。如下图，车间工人用一把卡尺量得弓高h=50mm，弦长l=500mm。知，弓高的系统误差h=-0.1mm,弦长的系统误差l=1mm.试问车间工人丈量该工件直径的系统误差，并求修正后的丈量结果.【解】建立间接丈量大工件直径的函数模型,用勾股定理有不思索丈量值的系统误差，可求出在处的直径丈量值第一节函数误差直径的系统误差:修正后的丈量结果:误差传送系数为:第一节函数误差根据和求得知h=-0.1mm,l=1mm,代入那么得计算结果阐明,l和h的对D的综合影响是使得间接丈量的D值1300mm大于应有值,故消除l和h的影响二、函数随机误差计算第一节函数误差数学模型变量中只需随机误差泰勒展开，并取其一阶项作为近似值函数的普通方式得到即：可得：第一节函数误差随机误差可用表征其取值分散程度的规范差来评定，对于函数的随机误差，也是用函数的规范差来进展评定。因此，函数随机误差计算，重点研讨函数y的规范差与各直接丈量值x1,x2,…,xn的规范差之间的关系。函数的普通方式为求得函数的规范差公式，设对各个丈量值皆进展了N次等精度丈量，其相应的随机误差为将右侧方程组中的每个方程两边平方,可得第一节函数误差可得函数规范差将方程组两边相加可得将上式等号两边除以N,根据函数规范差计算公式或第i个直接测得量的规范差第i个丈量值和第j个丈量值之间的相关系数第i个丈量值和第j个丈量值之间的协方差第i个直接测得量xi的误差传送系数第一节函数误差Kij或相互独立的函数规范差计算假设各丈量值的随机误差是相互独立的，相关项令第一节函数误差那么当各个丈量值的随机误差都为正态分布时,规范差用极限误差替代(不至于混淆时,用δ替代δlim),可得函数的极限误差公式第i个直接测得量的极限误差Kij=±三角方式的函数随机误差公式1〕正弦函数方式为:函数随机误差公式为：第一节函数误差2〕余弦函数方式为:函数随机误差公式为：三角函数规范差计算3〕正切函数方式为:函数随机误差公式为：4〕余弦函数方式为:函数随机误差公式为：第一节函数误差例3-2对例3-1用弓高弦长法间接丈量大直径D假设知根据前面推导,求得直径的极限误差为那么所求直径D的最后结果为+相关系数对函数误差的影响反映了各随机误差分量(直接丈量值)相互间的线性关联对函数总误差的影响,-1≤ρij≤1函数规范差与各随机误差分量规范差之间具有线性的传播关系函数随机误差公式当相关系数时(误差分量间线性无关)当相关系数时(误差分量间完全正相关)2、相关系数估计第一节函数误差Kij相关系数确实定可判别的情形断定两分量之间没有相互依赖关系的影响当一个分量依次增大时，引起另一个分量呈无规律正负交替变化，反之亦然两分量属于完全不相关的两类体系分量，如人员操作引起的误差分量与环境湿度引起的误差分量虽相互有影响，但其影响甚微，视为可忽略不计的弱相关1、直接判别法第一节函数误差可判别或的情形两分量间近似呈现正的线性关系或负的线性关系当一个分量依次增大时，引起另一个分量依次增大或减小，反之亦然两分量属于同一体系的分量，如用1m基准尺测2m尺，那么各米分量间完全正相关第一节函数误差2、试样察看法和简单计算法〔1〕察看法用多组丈量的两误差对应值(ξi,ηi)作图，将它与规范图形相比，看它与哪一图形相近，从而确定相关系数的近似值。第一节函数误差〔2〕简单计算法将多组丈量的对应值(ξi,ηi)在坐标上作图，然后作平行于纵轴的直线A将点阵左右均分，再作平行于横轴的直线B将点阵上下均分，于是将点阵分为四部分，设各部分的点数分别为n1,n2,n3,n4,那么可证明相关系数为n2n3n4n10

其中，〔3〕直接计算法按相关系数定义〔4〕实际计算法有些误差间的相关系数，可根据概率论和最小二乘法直接求出。第二节随机误差的合成任何丈量结果中包含的丈量误差都是丈量过程中各个环节一系列误差要素作用的结果.误差合成就是在正确地分析和综合这些误差要素的根底上,正确地表述这些误差的综合影响。规范差合成极限误差合成随机误差具有随机性,用规范差或极限误差表征其取值的分散程度。处理随机误差的合成问题普通基于规范差方和根合成的方法，其中还要思索到误差传播系数以及各个误差之间的相关性影响。随机误差的合成方式包括：一、规范差合成合成规范差表达式:q个单项随机误差，规范差误差传送系数由间接丈量的显函数模型求得根据实践阅历给出知道影响丈量结果的误差要素而不知道每个和第二节随机误差的合成当误差传播系数、且各相关系数均可视为0的情形第二节随机误差的合成假设各个误差互不相关，即相关系数那么合成规范差用规范差合成有明显的优点，不仅简一方便，而且无论各单项随机误差的概率分布如何，只需给出各个规范差，均可计算出总的规范差视各个误差分量的量纲与总误差量的量纲都一致，或者说各个误差分量曾经折算为影响函数误差一样量纲的分量二、极限误差合成单项极限误差:σi单项随机误差的规范差ti单项极限误差的置信系数合成极限误差:σ合成规范差t合成极限误差的置信系数第二节随机误差的合成合成极限误差计算公式根据知的各单项极限误差和所选取的各个置信系数，即可进展极限误差的合成各个置信系数ti、t不仅与置信概率有关，而且与随机误差的分布有关对于一样分布的误差，选定一样的置信概率，其相应的各个置信系数一样对于不同分布的误差，选定一样的置信概率，其相应的各个置信系数也不一样第二节随机误差的合成ij为第i个和第j个误差项之间的相关系数，可根据前一节的方法确定。运用极限误差合成公式时，应留意：当各个单项随机误差均服从正态分布时，各单项误差的数目q较多、各项误差大小相近时，此时合成的总误差接近于正态分布合成极限误差：假设和各单项误差大多服从正态分布或近似服从正态分布，而且他们之间常是线性无关或近似线性无关，所以上式是较为广泛运用的极限误差合成公式第二节随机误差的合成时：此时假设时：=±第三节系统误差合成一、已定系统误差的合成系统误差的分类：1〕已定系统误差2〕未定系统误差定义：误差大小和方向均已确切掌握了的系统误差表示符号：合成方法：按照代数和法进展合成i为第i个系统误差，ai为其传送系数系统误差可以在丈量过程中消除，也可在合成后在丈量结果中消除二、未定系统误差的合成第三节系统误差合成〔一〕未定系统误差的特征及其评定定义：误差大小和方向未能确切掌握，或者不须破费过多精神去掌握，而只能或者只需估计出其不致超越某一范围e的系统误差特征：1〕在丈量条件不变时为一恒定值，多次反复丈量时其值固定不变，因此单项系统误差在反复丈量中不具有低偿性2〕随机性。当丈量条件改动时，未定系统误差的取值在某极限范围内具有随机性，且服从一定的概率分布，具有随机误差的特性。表示符号：极限误差：e规范差：u1、规范差合成第三节系统误差合成〔二〕未定系统误差的合成未定系统误差的取值具有一定的随机性，服从一定的概率分布，因此假设干项未定系统误差综协作用时，它们之间就具有一定的抵偿作用。这种抵偿作用与随机误差的抵偿作用类似，因此未定系统误差的合成，可以采用随机误差的合成公式，这就给丈量结果的处置带来很大方便。同随机误差的合成时情形类似，未定系统误差合成时既可以按照规范差方式合成，也可以按照极限误差的方式合成。假设丈量过程中有s个单项未定系统误差，它们的规范差分别为u1，u2，……，us，其相应的误差传送系数为a1，a2，……，as，那么合成后未定系统误差的总规范差u为:那么由各单项未定系统误差规范差得到的合成未定系统误差极限误差为：式中，ij为第i个和第j个误差项的相关系数第三节系统误差合成当ij=0时2、极限误差的合成由于各个单项未定系统误差的极限误差为:假设总的未定系统误差极限误差表示为：那么有：第三节系统误差合成或者，由各单项未定系统误差极限误差得到的合成未定系统误差极限误差为：当各个单项未定系统误差均服从正态分布，且相互间独立无关，即，那么上式可简化为：第四节系统误差与随机误差的合成一、按极限误差合成不同性质误差的合成可按照两种方式进展合成：按极限误差方式合成、按规范差方式合成。丈量过程中，假定有r个单项已定系统误差，s个单项未定系统误差，q个单项随机误差。它们的误差值或极限误差分别为：1、单次丈量情况假设各个误差的传送系数取1，那么丈量结果总的极限误差为：式中，R为各个误差之间的协方差之和。当各个误差均服从正态分布，且各个误差间互不相关时，丈量结果总的极限误差可简化为：第四节系统误差与随机误差的合成普通情况下，已定系统误差经修正后，丈量结果总的极限误差就是总的未定系统误差与总的随机误差的均方根值，即：2、n次反复丈量情况当每项误差都进展n次反复丈量时，由于随机误差间具有抵偿性、系统误差〔包括未定系统误差〕不存在低偿性，总误差合成公式中的随机误差项应除以反复丈量次数n。总极限误差变为：第四节系统误差与随机误差的合成二、按规范差合成丈量过程中，假定有s个单项未定系统误差，q个单项随机误差，它们的规范差分别为：1、单次丈量情况假设各个误差的传送系数取1，那么丈量结果总的规范差为：式中，R为各个误差之间的协方差之和。假设用规范差来表示系统误差和随机误差的合成公式，类似前述可只思索未定系统误差与随机误差的合成。当各个误差均服从正态分布，且各个误差间互不相关时，丈量结果总规范差为：2、n次反复丈量情况当每项误差都进展n次反复丈量时，由于随机误差间具有抵偿性、系统误差〔包括未定系统误差〕不存在低偿性，总误差合成公式中的随机误差项应除以反复丈量次数n。第四节系统误差与随机误差的合成总规范差变为：【例】在万能工具显微镜上用影像法丈量某一平面工件的长度共2次，测得结果分别为，，知工件的高度为，求丈量结果及其极限误差。第四节系统误差与随机误差的合成序号123456误差要素极限误差随机误差未定系统误差备注阿贝误差光学刻尺刻度误差温度误差读数误差瞄准误差光学刻尺检定误差－－－－±0.8±1－－±0.5±0.35±1.25±1加修正值时不计入总误差不加修正值时不计入总误差根据工具显微镜的任务原理和构造可知，丈量过程中主要的误差见表。【解】两次丈量结果的平均值为:根据万能工具显微镜光学刻线尺的刻度误差表，查得在50mm附近范围内的误差修正值L0=-0.0008mm，此项误差为已定系统误差，应予修正。那么丈量结果为：第四节系统误差与随机误差的合成在万能工具显微镜上用影像法丈量平面工件尺寸时，其主要误差分析如下：1、随机误差由读数误差和工件瞄准引起，其极限误差分别为1〕读数误差：2〕瞄准误差：第四节系统误差与随机误差的合成2、未定系统误差由阿贝误差等引起，其极限误差分别为1〕阿贝误差：2〕光学刻尺刻度误差：3〕温度误差：4〕光学刻度尺的检定误差：第四节系统误差与随机误差的合成3、计算丈量值及其误差计算丈量值的误差时有两种方法：方法1当未修正光学刻尺刻度误差时丈量结果可表示为：方法2当已修正光学刻尺刻度误差时=±=±=±=±=±=±【例】用TC328B型天平，配用三等规范砝码称一不锈钢球质量，一次称量得钢球质量,求丈量结果的规范差.第四节系统误差与随机误差的合成(1)随机误差:天平示值变动性所引起的误差为随机误差。多次反复称量同一球的质量的天平规范差为(2)未定系统误差:规范砝码误差和天平示值误差，在给定条件下为确定值，但又不知道详细误差数值，而只知道误差范围〔或规范差〕，故这两项误差均属未定系统误差。①砝码误差:天平称量时所用的规范砝码有三个，即的一个，2g的两个，规范差分别为:故三个砝码组合运用时，质量的规范差为根据TC328B型天平的称重方法，其丈量结果的主要误差如下：②天平示值误差该项规范差为:第四节系统误差与随机误差的合成三项误差互不相关，且各个误差传播系数均为1，因此误差合成后可得到丈量结果的总规范差为最后丈量结果应表示为〔１倍规范差〕：第五节误差分配误差分配根据给定丈量结果允许的总误差，合理确定各个单项误差。同前误差合成类似，在误差分配时，随机误差和未定系统误差同等对待。假设各误差要素皆为随机误差，且互不相关，有：假设曾经给定，如何确定Di或相应的i,使其满足式中，称为部分误差，或部分误差对于函数的已定系统误差,可用修正方法来消除,故不思索各个丈量值已定系统误差的影响.仅研讨随机误差和未定系统误差的分配问题。一、按等影响原那么分配误差等影响原那么：各分项误差对函数误差的影响相等，即由此可得：或用极限误差表示：函数的总极限误差各单项误差的极限误差第五节误差分配进展误差分配时，普通应按照下述步骤：二、按能够性调整误差(1)对各分项误差平均分配的结果，会呵斥对部分丈量误差的需务虚现颇感容易，而对令一些丈量误差的要求难以到达。这样，势必需求用昂贵的高准确度等级的仪器，或者以添加丈量次数及丈量本钱为代价。按等影响原那么分配误差的不合理性(2)当各个部分误差一定时，那么相应丈量值的误差与其传播系数成反比。所以各个部分误差相等，相应丈量值的误差并不相等，有时能够相差较大。在等影响原那么分配误差的根底上，根据详细情况进展适当调整。对难以实现丈量的误差项适当扩展，对容易实现的误差项尽能够减少，其他误差项不予调整。第五节误差分配丈量一圆柱体的体积时，可间接丈量圆柱直径D及高度h，根据函数式三、验算调整后的总误差误差按等影响原理确定后，应按照误差合成公式计算实践总误差，假设超出给定的允许误差范围，应选择能够减少的误差项再进展减少。假设实践总误差较小，可适当扩展难以实现的误差项误差，合成后与要求的总误差再比较，直到满足要求为止。第五节误差分配【例】求得体积V，假设要求丈量体积的相对误差为1％，知直径和高度的公称值分别为，试确定直径D及高度h的丈量精度。【解】计算体积体积的绝对误差:一、按等影响分配原那么分配误差得到丈量直径D与高度h的极限误差:第五节误差分配用这两种量具丈量的体积极限误差为由于查资料，可用分度值为0.1mm的游标卡尺测高h=50mm,在50mm丈量范围内的极限误差为±0.150mm，用0.02mm的游标卡尺测直径D=20mm,在20mm范围内的极限误差为±0.04mm。第五节误差分配二、调整后的丈量极限误差显然采用的量具准确度偏高，选得不合理，应作适当调整。假设改用分度值为0.05mm的游标卡尺来丈量直径和高度,在20mm丈量范围内的极限误差为±0.08mm.此时丈量直径的极限误差虽超出按等作用原那么分配所得的允许误差，但可从丈量高度允许的多余部分得到补偿。调整后的实践丈量极限误差为由于调整后用一把游标卡尺丈量直径和高度即能保证丈量准确度。微小误差丈量过程包含有多种误差时，当某个误差对丈量结果总误差的影响小到一定程度，那么计算总误差时对它可以忽略不计。这种误差就是微小误差。假设知丈量结果的规范差：假设将其中的部分误差取出后，那么得假设，那么称为微小误差。第六节微小误差取舍准那么对普通精度的丈量,丈量误差的有效数字取一位：某项部分误差舍去后，满足：或那么对丈量结果的误差计算没有影响。对比较精细的丈量,丈量误差的有效数字取二位：或对于随机误差和未定系统误差，微小误差舍去准那么是被舍去的误差必需小于或等于丈量结果的非常之一到三分之一。

第六节微小误差取舍准那么某项部分误差舍去后，满足：运用：计算总误差或进展误差分配时，假设发现有微小误差，可不思索该项误差对总误差的影响。选择高一级精度的规范器具时，其误差普通应为被检器具允许误差的1/10～3/10。那么对丈量结果的误差计算没有影响。最正确丈量方案确实定：当丈量结果与多个丈量要素有关时，采用什么方法确定各个要素，才干使丈量结果的误差最小。研讨间接丈量中使函数误差为最小的最正确丈量方案。函数的规范差为：