平行四边形经典练习题(3套)附带详细解答过程

平行四边形经典练习题(3套)附带详细解答过程1.平行四边形与非平行四边形不同的性质是内角和为360°。2.已知∠A=55°，则根据平行四边形的性质可知，∠B=125°，∠C=55°。3.正确的结论个数是4个，即①②③④。4.平行四边形一边长为10cm时，其两条对角线的长度可能为6cm和8cm。5.已知AB+BC=11cm，∠B=30°，SABCD=15cm，根据平行四边形的性质可知，AB=5cm，BC=6cm。6.直角三角形两个锐角互余没有逆定理。7.正确的说法是每个命题都有逆命题。8.一个三角形三个内角之比为1：2：1，其相对应三边之比为1：√2：1。9.一个三角形的三条中位线可以把这个三角形分成4个面积相等的三角形。10.在△ABC中，BM=MC，AN平分∠BAC，BN⊥AN，已知AB=14，AC=19，根据三角形中位线定理和勾股定理可得MN=3。11.短边的长度为6cm，长边的长度为8cm。12.已知平行四边形的周长为20cm，一条对角线把它分成两个三角形，两个三角形的周长都是18cm，则这条对角线长是8cm。13.在四边形ABCD中，AB的垂直平分线EF经过点D，在AB上的垂足为E。若ABCD的周长为38cm，且△ABD的周长比ABCD的周长少10cm，则ABCD的一组邻边长分别为14cm和12cm。14.在四边形ABCD中，E是BC边上一点，且AB=BE，又AE的延长线交DC的延长线于点F。若∠F=65°，则ABCD的各内角度数分别为65°，115°，65°，135°。15.平行四边形两邻边的长分别为20cm和16cm，两条长边的距离是8cm，则两条短边的距离是12cm。16.如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，则这两个命题是互为逆命题。17.命题“两直线平行，同旁内角互补”的逆命题是“两直线不平行，同旁内角不互补”。18.在直角三角形中，已知两边的长分别是4和3，则第三边的长是5。19.直角三角形两直角边的长分别为8和10，则斜边上的高为6，斜边被高分成两部分的长分别是8和10。20.△ABC的两边分别为5和12，另一边c为奇数，且a+b+c是3的倍数，则c应为8，此三角形为直角三角形。21.如右图所示，在四边形ABCD中，BF⊥AD于F，BE⊥CD于E，若∠A=60°，AF=3cm，CE=2cm，求ABCD的周长。解：首先连接AC，并设AC与BF的交点为G。由于∠ABF=∠AGF=90°，因此四边形ABFG是一个矩形，即AB=FG=3cm。同理，由于∠CED=∠CGD=90°，因此四边形CEDG是一个矩形，即CE=DG=2cm。又由于∠A=60°，因此∠C=120°，△ACF是一个30°-60°-90°的等腰直角三角形，因此AC=2AF=6cm。同理，△CED也是一个30°-60°-90°的等腰直角三角形，因此CD=2CE=4cm。最后，由于AB∥CD，因此ABCD是一个平行四边形，其周长为2(AB+CD)=2(3+4)=14cm。22.如图所示，在四边形ABCD中，E、F是对角线BD上的两点，且BE=DF。证明：（1）由于BE=DF，且AB∥CD，因此△ABE和△DCF是全等三角形，所以AE=CF；（2）由于BE=DF，且AD∥BC，因此∠AEB=∠DFC，所以AE∥CF。23.如图所示，四边形ABCD的周长是165，AB的长是53，DE⊥AB于E，DF⊥CB交CB的延长线于点F，DE的长是3。解：（1）由于ABCD的周长是165，而AB的长是53，因此BC+CD+DA=165-53=112。又因为DE⊥AB，所以CD=DE+CE=3+CE，而DF⊥CB，所以BC=DF+BF=DF+AE。因此，BC+CD+DA=DF+AE+3+CE=112。又因为AE+CE=AC，所以DF+AC=109。又因为∠A=∠D=90°，所以AC=BD，因此DF+BD=109。由于ABCD是一个平行四边形，因此BD=AC=53，所以DF=28；（2）由于∠CDE=90°，所以△CDE是一个30°-60°-90°的等腰直角三角形，因此CE=DE/√3=1.732。又因为ABCD是一个平行四边形，因此AD=BC=56，所以CD=AD-AC=56-53=3。又因为△CFD∽△CAB，所以CF/CA=FD/CB，即CF/(CF+AE)=FD/(FD+BE)，解得CF=2.88。因此，ABCD的周长是53+56+2(2.88+1.732)=118.64。24.如图所示，ABCD中，AQ、BN、CN、DQ分别是∠DAB、∠ABC、∠BCD、∠CDA的平分线，AQ与BN交于P，CN与DQ交于M。在不添加其它条件的情况下，试证明四边形ABCD是一个平行四边形。证明：由角平分线定理可知，∠BAP=∠DAP=∠CBN=∠ABN，因此四边形ABNP是一个菱形，即AB=BN。同理，四边形CDQM也是一个菱形，即CD=DQ。又因为AQ和DQ都是BD的平分线，所以AQ=DQ，即ABCD的对角线BD的中点O在AQ和DQ上。同理，BN和CN都是AC的平分线，所以BN=CN，即ABCD的对角线AC的中点O在BN和CN上。因此，O在ABCD的重心上，即ABCD是一个平行四边形。25.已知△ABC的三边分别为a，b，c，a=n2-16，b=8n，c=n2+16（n>4）。证明：由勾股定理可知，若∠C不是直角，则a2+b2<c2，即(n2-16)2+(8n)2<(n2+16)2，化简得n<4，与题意矛盾。因此，∠C是直角。1.已知在ABCD中，AB=14cm，BC=16cm，则此平行四边形的周长为60cm。2.要说明一个四边形是菱形，可以先说明这个四边形是菱形的定义，即四条边相等，再说明对角线互相垂直且平分。3.如图，正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O。那么图中共有4个等腰直角三角形。4.把“直角三角形、等腰三角形、等腰直角三角形”填入下列相应的空格上。(1)正方形可以由两个能够完全重合的等腰直角三角形拼合而成；(2)菱形可以由两个能够完全重合的等腰三角形拼合而成；(3)矩形可以由两个能够完全重合的直角三角形拼合而成。5.矩形的两条对角线夹角为60度，已知较短的边长为12cm，求对角线长。解：设矩形的长为a，宽为b，则有$a^2+b^2=d^2$，其中$d$为对角线长。又因为矩形的两条对角线夹角为60度，所以有$\tan60^\circ=\frac{b}{a}$，即$b=\sqrt{3}a$。代入$a^2+(\sqrt{3}a)^2=d^2$，解得$d=2a\sqrt{3}$。因此，对角线长为$24\sqrt{3}$cm。6.若直角梯形被一条对角线分成两个等腰直角三角形，那么这个梯形中除两个直角外，其余两个内角的度数分别为多少度？解：设直角梯形的上底为$a$，下底为$b$，高为$h$，对角线长为$d$。由题意可得，$\triangleABD$和$\triangleBCD$都是等腰直角三角形，所以有$AD=BD=BC$。又因为$AD^2+BD^2=AB^2$，所以有$(a-b)^2+h^2=ab$。化简得$h^2=2ab-(a^2+b^2)$，又因为$\triangleABD$为直角三角形，所以$\sin\angleBAD=\frac{h}{AD}$。又因为$\angleBAD$为直角，所以$\sin\angleBAD=\cos\angleABD=\frac{BD}{AD}=\frac{a-b}{AD}$。因此，有$\frac{h}{a-b}=\frac{a-b}{AD}$，即$h=\frac{(a-b)^2}{AD}$。又因为$\triangleABD$为等腰直角三角形，所以$\angleADB=\frac{1}{2}\angleABD=\frac{1}{2}(90^\circ-\angleACD)$。而$\angleACD=\angleABD$，所以$\angleADB=\frac{1}{2}(90^\circ-\angleABD)$。又因为$\triangleABD$为直角三角形，所以$\sin\angleABD=\frac{h}{BD}$。因此，有$\sin\angleABD=\frac{\frac{(a-b)^2}{AD}}{a-b}$，即$\sin\angleABD=\frac{a-b}{AD}$。由此可得$\angleABD=\arcsin\frac{a-b}{AD}$。又因为$\angleACD=90^\circ-\angleABD$，所以$\angleACD=90^\circ-\arcsin\frac{a-b}{AD}$。因此，直角梯形中除两个直角外，其余两个内角的度数分别为$90^\circ-\arcsin\frac{a-b}{AD}$和$90^\circ+\arcsin\frac{a-b}{AD}$。7.平行四边形的周长为24cm，相邻两边长的比为3:1，求这个平行四边形较短的边长。解：设平行四边形的较短边长为$x$，则较长边长为$3x$。由题意可得，平行四边形的周长为$2(x+3x)=8x$。因此，有$8x=24$，解得$x=3$。因此，这个平行四边形较短的边长为3cm。8.根据图中所给的尺寸和比例，可知这个“十”字标志的周长为多少米？解：设“十”字标志的横杠长度为$x$，竖杠长度为$y$。根据比例可得$\frac{x}{1}=5$，即$x=5$。又因为$\triangleAOB$为等腰直角三角形，所以$AB=AO=\sqrt{2}x$。又因为$\triangleCOB$为等腰直角三角形，所以$CB=CO=\sqrt{2}y$。因此，“十”字标志的周长为$2\sqrt{2}x+2\sqrt{2}y=10\sqrt{2}+8\sqrt{2}=18\sqrt{2}$米。9.已知平行四边形的两条对角线互相垂直且长分别为12cm和6cm，求这个平行四边形的面积。解：设平行四边形的长为$a$，宽为$b$。由题意可得，平行四边形的两条对角线互相垂直，所以有$a^2+b^2=12^2$和$a^2+b^2=6^2$。解得$a=6\sqrt{2}$，$b=6$。因此，这个平行四边形的面积为$ab=36\sqrt{2}$平方厘米。10.如图，l是四边形ABCD的对称轴，如果AD∥BC，则下列结论中正确的有（）A.AB∥CDB.AB=CDC.AB⊥BCD.AO=OC解：由对称性可得，$AB=CD$，$AO=OC$，因此选项B和D正确。由平行线之间的夹角性质可得，$\angleBCD=\angleABD$，而$\angleABD+\angleABC=180^\circ$，所以$\angleBCD+\angleABC=180^\circ$，即$AB\parallelCD$，因此选项A错误。由平行线之间的夹角性质可得，$\angleABC+\angleBCD=180^\circ$，而$AD\parallelBC$，所以$\angleABC=\angleACD$，因此$\angleACD+\angleBCD=180^\circ$，即$AB\perpBC$，因此选项C正确。因此，正确的结论是B、C、D。11.如果一个多边形的内角和等于一个三角形的外角和，那么这个多边形是（）A.三角形B.四边形C.五边形D.六边形解：设多边形有$n$个顶点，则它的内角和为$(n-2)180^\circ$。设这个三角形的三个内角分别为$\alpha$、$\beta$、$\gamma$，则它的外角和为$360^\circ$。由外角和定理可得，$\alpha+\beta+\gamma=360^\circ$。因此，有$(n-2)180^\circ=\alpha+\beta+\gamma$。化简得$(n-2)180^\circ=360^\circ$，即$n=4$。因此，这个多边形是四边形。12.下列说法中，错误的是（）A.平行四边形的对角线互相平分B.对角线互相平分的四边形是平行四边形C.平行四边形的对角线相等D.对角线互相垂直的四边形是平行四边形解：平行四边形的对角线互相平分和平行四边形的对角线相等都是正确的，因此选项A和C正确。对角线互相平分的四边形不一定是平行四边形，例如菱形，因此选项B错误。对角线互相垂直的四边形不一定是平行四边形，例如正方形，因此选项D错误。因此，错误的说法是B。13.给出四个特征（1）两条对角线相等；（2）任一组对角互补；（3）任一组邻角互补；（4）是轴对称图形但不是中心对称图形。其中属于矩形和等腰梯形共同具有的特征的共有（）A.1个B.2个C.3个D.4个解：由条件（1）可知，这个四边形是菱形或矩形或正方形。由条件（2）可知，这个四边形是矩形。由条件（3）可知，这个四边形是矩形或正方形。由条件（4）可知，这个四边形是矩形。因此，矩形和等腰梯形共同具有的特征有2个，即任一组对角互补和是轴对称图形但不是中心对称图形。选项B正确。14.四边形ABCD中，AD//BC，那么$\frac{AB}{BC}$的值可能是（）A.3：5：6：4B.3：4：5：6C.4：5：6：3D.6：5：3：4解：由题意可得，$\triangleABD\sim\triangleBCD$，因此有$\frac{AB}{BC}=\frac{AD}{BD}$。又因为$AD\parallelBC$，所以$\triangleABD\sim\triangleBDC$，因此有$\frac{AD}{BD}=\frac{AB}{BC+BD}$。因此，有$\frac{AB}{BC}=\frac{AD}{BD}=\frac{AB}{BC+BD}$，即$BC=BD$。由此可得，四边形ABCD是平行四边形或菱形。因此，$\frac{AB}{BC}$的值可能是3：4：5：6。15.如图，直线a∥b，A是直线a上的一个定点，线段BC在直线b上移动，那么在移动过程中$\triangleABC$的面积（）A.变大B.变小C.不变D.无法确定解：由平行线之间的夹角性质可得，$\angleABC=\angleACD$，因此$\triangleABC\sim\triangleACD$。设$AB=x$，$BC=y$，则$CD=x$，$AD=y$。由相似三角形面积比的性质可得，$\frac{S_{\triangleABC}}{S_{\triangleACD}}=\left(\frac{AB}{CD}\right)^2=\left(\frac{x}{x}\right)^2=1$。因此，$\triangleABC$的面积不变，选项C正确。16.如图，矩形ABCD沿着AE折叠，使D点落在BC边上的F点处，如果$\angleBAF=60^\circ$，则$\angleDAE$等于（）A.15°B.30°C.45°D.60°解：由矩形的性质可得，$AD\parallelBC$，因此$\angleDAE=\angleCAF$。又因为$\triangleABE$为等腰直角三角形，所以$\angleBAE=45^\circ$，$\angleAEB=45^\circ$。又因为$\angleBAF=60^\circ$，所以$\angleEAF=\angleBAE-\angleBAF=45^\circ-60^\circ=-15^\circ$。因此，$\angleCAF=\angleEAF=-15^\circ$，所以$\angleDAE=-15^\circ+180^\circ=165^\circ$。因此，$\angleDAE$等于165°，选项无。17.如图，在$\triangleABC$中，$AB=AC=5$，D是BC上的点，$DE\parallelAB$交AC于点E，$DF\parallelAC$交AB于点F，$l$是EF的中垂线，交BC于点O。若$OD=3$，则$l$的长度为（）解：由相似三角形可得$\triangleADE\sim\triangleABC$，$\triangleADF\sim\1.选D。由题可知AFDE为矩形，因此周长为2(AD+DE)=2(10)=20。2.选B。只有加上条件“BC=AD”和“AO=OC”或“DBACAB”才能判定四边形ABCD为平行四边形，因此选B。19.如图，连接AE，得到三角形ADE。由题可知DB=CD，因此三角形ABD为等腰三角形，∠ABD=∠ADB。又因为AE⊥BD，所以∠DAE=90-∠ABD=90-∠ADB。又∠C=70，所以∠DCE=180-∠C-∠DCB=110。同样由DB=CD，可知∠DBC=∠DCB，因此∠DCB=(180-110)/2=35。因此∠DAE=90-∠ABD=90-∠DCB=55度。20.(1)因为AE⊥BD，所以∠AGE=90度。又因为AF=CG，所以∠AFD=∠DGC。又因为∠DGE=100度，所以∠DGC=180-∠DGE=80度。因此∠AFD=80度。又因为AE⊥BD，所以∠DAE=90度。所以∠FAD=∠DAE-∠AFD=10度。同理，∠DAB=10度。因此∠AFD+∠DAB=80度+10度=90度。所以DF⊥AB。同理可证BG⊥DC。因此DF=BG。(2)因为AE⊥BD，所以∠AGE=90度。又因为AF=CG，所以∠AFD=∠DGC。又因为∠DGE=100度，所以∠DGC=180-∠DGE=80度。因此∠AFD=80度。又因为AE⊥BD，所以∠DAE=90度。所以∠FAD=∠DAE-∠AFD=10度。因为∠DAB=10度，所以△ABD为等腰三角形。因此∠ADB=(180-10)/2=85度。又因为AB∥DC，所以∠C=∠ADB=85度。因此∠BDC=180-∠C-∠DCB=5度。又因为DF=BG，所以∠FDG=∠DGB。因此∠FDB=∠FDG+∠DGB=2∠DGB。又因为∠DGB+∠DGC=180-∠DCB=95度，所以∠DGB=(95-80)/2=7.5度。因此∠FDB=2∠DGB=15度。所以∠AFD+∠FDB=80度+15度=95度。21.(1)根据题意，四边形ABCD为平行四边形，因此AB∥CD，AD∥BC，AB=CD，AD=BC。因此△ABE≌△CDE，所以AE=CE。又因为AE⊥BD，所以∠AEB=90度。因此四边形ABED为菱形，所以BD平分∠AEB。同理可证四边形BCFE为菱形，因此BD平分∠CFE。因此∠AEB=∠CFE。又因为AE=CE，所以△AED≌△CED。因此∠DAE=∠CEA。又因为∠AEB=∠CFE，所以∠CEA=∠CFE。因此∠DAE=∠CFE。(2)根据题意，四边形ABCD为平行四边形，因此AB∥CD，AD∥BC，AB=CD，AD=BC。因此△ABE≌△CDE，所以AE=CE。又因为AE⊥BD，所以∠AEB=90度。因此四边形ABED为菱形，所以BD平分∠AEB。同理可证四边形BCFE为菱形，因此BD平分∠CFE。因此∠AEB=∠CFE。又因为AE=CE，所以△AED≌△CED。因此∠DAE=∠CEA。又因为∠AEB=∠CFE，所以∠CEA=∠CFE。因此∠DAE=∠CFE=∠AEB=90度。因此四边形ABED为矩形，所以∠ABE=90度。又因为AE=CE，所以△AEB≌△CEB。因此∠AEB=∠CEB。因此∠AFD=∠AEB+∠FEB=2∠AEB=180-2∠CEB=110度。22.不能实现。因为在四个角上均有一棵大柳树的情况下，四边形的形状已经确定了。无论如何扩大池塘，都不能改变四边形的形状。因此无法使新池塘成为平行四边形的形状。8.4.提示：如图所示，将“十”字标志的某些边进行平移后可得到一个边长为1米的正方形，因此它的周长为4米。9.36.提示：菱形的面积等于菱形两条对角线乘积的一半。10.提示：四边形ABCD是菱形。11.B.12.D.13.C.14.C.15.C.提示：因为三角形ABC的底边BC的长度不变，BC边上的高等于直线a和b之间的距离也不变，因此三角形ABC的面积不变。16.A.提示：由于角FAE是由角DAE通过折叠后得到的，所以角FAE等于角DAE等于(90度-角BAF)/2。17.B.提示：先说明DF=BF，DE=CE，所以四边形AFDE的周长=AF+DF+DE+AE=AF+BF+CE+AE=AB+AC。18.C.19.因为BD=CD，所以角DBC等于角C，又因为四边形ABCD是平行四边形，所以AD∥BC，所以角D等于角DBC，因为AE垂直于BD，所以在直角三角形AED中，角DAE等于90度-角D=90度-70度=20度。20.(1)因为四边形ABCD是平行四边形，所以AB=DC，又AF=CG，所以AB－AF=DC－CG，即GD=BF，又DG∥BF，所以四边形DFBG是平行四边形，所以DF=BG；(2)因为四边形DFBG是平行四边形，所以DF∥GB，所以角GBF等于角AFD，同理可得角GBF等于角DGE，所以角AFD等于角DGE等于100度。21.(1)平行四边形的两组对边分别相等的四边形是平行四边形；(2)有一个角是直角的平行四边形是矩形。22.如图所示，连接对角线AC和BD，过A、B、C、D分别作BD、AC、BD、AC的平行线，且这些平行线两两相交于E、F、G、H，四边形EFGH即为符合条件的平行四边形。练习3：1、观察可得，线段HG与线段HB不相等。证明：旋转前后，点H的位置相对于点A和点B都发生了变化，因此线段HG和线段HB的长度也发生了变化。2、(1)连接AE和CG，由于ABCD和DEFG都是正方形，所以AB=BC=CD=AD，DE=EF=FG=DG，又因为AE和CG是对角线，所以AE=CG；(2)由于AE和CG相等，且都是对角线，因此四边形ABCD和DEFG是全等的，因此AE和CG重合。3、将平行四边形纸片ABCD按如图方式折叠，使点C与A重合，点D落到D′处，折痕为EF。1.求证：三角形ABE和三角形AD'F全等；连接CF，证明四边形AECF是平行四边形。2.在一个边长为1的小正方形网格中，如图，求∠ABC的度数。3.下列图形中，不能进行平面镶嵌的图形是哪一个？4.在一个内角为120°的正多边形中，求边数。5.在四边形ABCD中，如果AE=EB且AF=2，则FC的长度为多少？6.在平行四边形ABCD中，∠ABC=60°，E、F分别在CD、BC的延长线上，AE∥BD，EF⊥BC，DF=2，求EF的长度。7.已知四边形ABCD满足条件AD∥BC且AB=CD，证明ABCD是平行四边形。8.在一个菱形ABCD中，AC=8，BD=6。请按照要求剪开并拼成平行四边形，求出两个平行四边形的周长。另外，画出不能与原菱形全等的平行四边形。9、在梯形ABCD中，AD//BC，对角线AC⊥BD，且AC=5cm，BD=12cm，求梯形中位线的长。解析：由对角线的性质可知，AC和BD互为中线，所以中位线的长度等于AC和BD的一半之差，即(AC-BD)/2=(5-12)/2=-3.所以梯形中位线的长为3cm。10、在周长为20cm的□ABCD中，AB≠AD，AC、BD相交于点O，OE⊥BD交AD于E，则△ABE的周长为（）(A)4cm(B)6cm(C)8cm(D)10cm解析：连接OE并延长交BC于点F，由周长相等可知，OF+FE=AB+CD=20-AD.又由AE=ED可知，△ABE和△FED全等，所以AB+BE+AE=OF+FE+ED.代入上面的式子得到AB+BE=OF+ED=BD=20-AC.再由AE=ED可得BE=AC/2，代入上面的式子得到AB+AC/2=20-AC，即AB+AC=40/3.由于△ABE是周长为AB+BE+AE的三角形，所以其周长为AB+AC/2+AD=40/3+AD.由于不知道AD的长度，所以无法确定答案。11、在平行四边形ABCD中，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，∠EAF=45°，且AE+AF=22，则平行四边形ABCD的周长是．解析：由AE⊥BC可知，△AEB和△AFC相似，所以AE/AB=AF/AC，即AE=(AB/AC)(AE+AF)=22(AB/AC).同理，由AF⊥CD可知，△AFD和△AEB相似，所以AF/AD=AE/AB，即AF=(AD/AB)AE=22(AD/AB).由于ABCD是平行四边形，所以AB=CD，AC=BD.代入上面两个式子得到22=AE+AF=22(AB/AC+AD/AB)，即AB/AC+AD/AB=1.由平行四边形的性质可知，AB+CD=AC+BD，即AB/AC=BD/AC-1=AD/AB-1.代入上面的式子得到AD/AB-1+AD/AB=1，即AD/AB=2.所以平行四边形ABCD的周长为2(AB+AD)=2(2AB)=4AC.17.（2011山东泰安）如图所示，矩形ABCD的中心为O，AB上有一点E，将CE折叠后，使得点B与点O重合，且BC=3。求折痕CE的长度。答案：33。23.（2011四川重庆）如图所示，正方形ABCD中，AB=6，点E在边CD上，且CD=3DE。将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连结AG、CF。下列结论：①△ABG≌△AFG；②BG=GC；③AG∥CF；④S△FGC=3。其中正确结论的个数是？答案：3个。6.（2011浙江省嘉兴）如图所示，①②③④⑤五个平行四边形拼成一个含30°内角的菱形EFGH（不重叠无缝隙）。若①②③④四个平行四边形面积的和为14cm²，四边形ABCD面积是11cm²，则①②③④四个平行四边形周长的总和为多少？答案：48cm。11.（2011重庆江津）如图所示，四边形ABCD中，AC=a，BD=b，且AC⊥BD，顺次连接四边形ABCD各边中点，得到四边形A1B1C1D1，再顺次连接四边形A1B1C1D1各边中点，得到四边形A2B2C2D2……，如此进行下去，得到四边形AnBnCnDn。下列结论正确的有（）。答案：②③④。12.（2011湖北武汉市）如图所示，在菱形ABCD中，AB=BD，点E，F分别在AB，AD上，且AE=DF。连接BF与DE相交于点G，连接CG与BD相交于点H。下列结论：①△AED≌△DFB；②S四边形BCDG=CG²；③若AF=2DF，则BG=6GF。其中正确的结论为①②③。∠OAF=∠OCE，∠OFA=∠OEC，∴△OAF≌△OCE，同理可证△OBD≌△OAC，故OB=OD，OA=OC，∠OAF=∠OCE，∠OFA=∠OEC，∠OBD=∠OAC，∠OCD=∠OBA，又因为AF=CE，BH=DG，所以△AFH≌△CED，△BGH≌△AEC，所以∠AFH=∠CED，∠HAF=∠DEC，∠BGH=∠AEC，∠GBH=∠CAE，又因为OB=OD，所以∠OBD=∠ODC，所以∠GBH=∠HAF，故GF∥HE。已知：AF=CE,AF-OA=CE-OC,∴OF=OE，同理得OG=OH。因此，四边形EGFH是平行四边形，进而得出GF∥HE。在图中，已知线段AB∥CD，AD与BC相交于点K，E是线段AD上一动点。(1)求当BK=5CD/KC，AB=2AD时，线段AB、BC、CD三者之间的等量关系。解：由AB∥CD，得到BK=5CD/KC=5AB/2AD。又因为BK/KC=AB/BC，所以AB/BC=5/7，BC/CD=7/5，AB/CD=12/5。(2)当AE=AD(n>2)，而其余条件不变时，连接BE，若BE平分∠ABC，则线段AB、BC、CD三者之间的等量关系为(n-1)AB=BC+CD。在△ABC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分线DE交BC于D，交AB于E，F在DE上，且AF=CE=AE。(1)说明四边形ACEF是平行四边形。证明：由题意知∠FDC=∠DCA=90°。因此，EF∥CA，且∠AEF=∠EAC。又因为AF=CE=AE，所以∠F=∠AEF=∠EAC=∠ECA。又因为AE=EA，所以△AEC≌△EAF，进而得出EF=CA。因此，四边形ACEF是平行四边形。(2)当∠B=30°时，四边形ACEF是菱形。证明：因为∠B=30°，∠ACB=90°，所以AC=AB/2。又因为AE=CE，所以CE=AB-AC=AB/2。因此，BE平分∠ABC，且BE=CE。因此，四边形ACEF是菱形。如图，在△ABC中，点O是AC边上（端点除外）的一个动点，过点O作直线MN∥BC。设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F，连接AE、AF。求当点O运动到何下时，四边形AECF是矩形，并证明你的结论。解：当点O运动到AC的中点（或OA=OC）时，四边形AECF是矩形。证明：因为CE平分∠BCA，所以∠1=∠2。又因为MN∥BC，所以∠1=∠3，所以∠3=∠2，因此EO=CO。同理，FO=CO，所以EO=FO。又因为OA=OC，所以四边形AECF是平行四边形。又因为∠1=∠2，∠4=∠5，所以∠1+∠5=∠2+∠4。又因为∠1+∠5+∠2+∠4=180°，所以∠2+∠4=90°。因此四边形AECF是矩形。如图，在正方形ABCD中，点P是边AB上一点（不与点A，B重合），连接PD并将线段PD绕点P顺时针方向旋转90°得到线段PE，PE交边BC于点F，连接BE、DF。（1）证明∠ADP＝∠EPB；（2）求∠CBE的度数；（3）当AP的值等于多少时，△PFD∽△BFP？并说明理由。解：（1）因为四边形ABCD是正方形，所以∠A＝∠PBC＝90°，AB＝AD。因此∠ADP＋∠APD＝90°。又因为∠DPE＝90°，所以∠APD＋∠EPB＝90°。因此∠ADP＝∠EPB。（2）过点E作EG⊥AB交AB的延长线于点G，则∠EGP＝∠A＝90°。又因为∠ADP＝∠EPB，PD＝PE，所以△PAD≌△EGP。因此EG＝AP，AD＝AB＝PG，所以AP＝EG＝BG。因此∠CBE=∠ABP=45°。（3）设AP=x，则EP=AD-AP=1-x。因为△PAD≌△EGP，所以PD=EG=AP=x。因此FP=PE-PF=PE-DF=PE-PD=1-x。因此△PFD和△BFP的对应边长比为PD:BF=x:1，FP:FP=1-x:x。因此△PFD∽△BFP。当且仅当x=FP=1/2时成立。∴∠CBE=∠EBG=45°。这是因为在正方形中，对角线互相垂直且平分对方，因此∠CBE=45°。同理，∠EBG=45°。⑵方法一：根据题目条件，当AP1=a时，可以得到△PFE∽△BFP。由此可以得到AD=AB=a，进而求出PD和PF的长度，再利用勾股定理求出PB和BF的长度。最后再根据相似三角形的性质，得到△ADP∽△BFP。这个方法比较繁琐，但是可以直接得到△ADP∽△BFP的结论。⑶方法二：假设△ADP∽△BFP，则根据相似三角形的性质，可以得到PBBF=PDPF。再利用勾股定理，可以得到PD/AP=PF/BF。将它们带入PBBF=PDPF中，可以得到PB/AP=BF/PF，即PB=AP、BF=PF。由此可以得到△PFE∽△BFP。这个方法比较简洁，但是需要先假设△ADP∽△BFP。⑷通过以上两种方法，可以得到△ADP∽△BFP，进而得到PB=AP、BF=PF、△PFE∽△BFP的结论。在等腰梯形ABCD中，AB=15，AD=20，∠C=30°．点M、N同时以相同速度分别从点A、点D开始在A