章线性不变系统时域分析

信号与系统——多媒体教学课件(第2章Part1)宁波大学信息科学与工程学院21一月2024信号与系统第二章第一次课2第2章线性时不变系统的时域分析2.0引言2.1用微分(差分)方程描述LTI系统2.2LTI系统的时域响应2.3卷积积分2.4卷积和2.5LTI系统性质2.6LTI系统的框图表示21一月2024信号与系统第二章第一次课3§2.0引言用常系数的微分方程或是差分方程来描述LTI系统的输入信号与输出信号之间的关系两个重要基本概念：零输入响应和零状态响应LTI系统的性质：如果将输入信号用一组基本信号的线性组合来表示，那么输出信号就是将这些基本信号的响应加权叠加的信号。连续时间系统：卷积积分

离散时间系统：卷积和21一月2024信号与系统第二章第一次课4§2.0引言卷积：系统时域分析中的一个重要方法，也是时间域与变换域分析线性系统的一条纽带方框图：用倍乘器、加法器和积分器(连续时间系统)或延迟器(离散时间系统)这几个基本运算部件通过框图的形式来描述一个具体的系统21一月2024信号与系统第二章第一次课5§2.1.1用常系数微分方程描述连续时间LTI系统根据基尔霍夫定律和元件的电压、电流特性关系来建立数学模型21一月2024信号与系统第二章第一次课6N代表阶数§2.1.1用常系数微分方程描述连续时间LTI系统如果组成系统的元件都是参数恒定的线性元件(且无储能)，则构成的系统是线性时不变系统，方程是一线性常系数常微分方程21一月2024信号与系统第二章第一次课7§2.1.1用常系数微分方程描述连续时间LTI系统【例2-1】求图示RLC电路中电流i(t)和电压v(t)之间的关系

21一月2024信号与系统第二章第一次课8§2.1.1用常系数微分方程描述连续时间LTI系统方程的求解

完全解=齐次解+特解齐次解对应于齐次方程，反映了系统的“固有频率”(或“自然频率”)特解与激励有关待定常数Ai(i=1,…,n)由系统边界条件(初始条件）决定21一月2024信号与系统第二章第一次课9§2.1.1用常系数微分方程描述连续时间LTI系统齐次解【例2-4】求微分方程的齐次解齐次方程(二重根)特征方程特征根齐次解21一月2024信号与系统第二章第一次课10§2.1.1用常系数微分方程描述连续时间LTI系统特解若输入函数是几种输入信号形式的组合，则特解也为其相应的组合；当输入信号与齐次解中某一项形式相同时，则应在特解中增加一项：t倍乘表中特解。若特征根为k重根，则依次增加倍乘t,t2,…,tk诸项输入x(t)输出函数y(t)的特解E(常数)B

tγB1tγ+B2tγ-1+…+Bγt+Bγ+1e-αtBe-αtcosωt或sinωtB1cosωt+B2sinωt21一月2024信号与系统第二章第一次课11§2.1.1用常系数微分方程描述连续时间LTI系统自由响应、强迫响应齐次解表示系统的自由响应特解称为系统的强迫响应完全响应：由系统自身特性决定的自由响应和与外输入信号x(t)有关的强迫响应21一月2024信号与系统第二章第一次课12§2.1.2用常系数差分方程描述离散时间LTI系统N阶差分方程的一般形式N阶差分方程的递归形式21一月2024信号与系统第二章第一次课13§2.1.2用常系数差分方程描述离散时间LTI系统常系数线性差分方程的4种求解方法迭代法时域经典法零输入响应和零状态响应法变换域法21一月2024信号与系统第二章第一次课14§2.1.2用常系数差分方程描述离散时间LTI系统迭代法【例2-7】给定一差分方程y[n]=3y[n-1]+x[n]，在初始静止条件下，h[n]=0，用迭代法求系统的单位样值响应。

解：令x[n]=δ[n]，有y[n]=h[n]。

即h[n]=3h[n-1]+δ[n]21一月2024信号与系统第二章第一次课15§2.1.2用常系数差分方程描述离散时间LTI系统迭代法【例2-7】(续)由于n<0时，h[n]=0。所以n从零开始考虑，根据原差分方程可依次求得(n<0时，h[n]=0)

于是归纳得到21一月2024信号与系统第二章第一次课16§2.1.2用常系数差分方程描述离散时间LTI系统时域经典法求相应齐次差分方程的通解yn[n]，通解yn[n]常常被称为自由响应，与系统自身的物理特性有关。确定特解yp[n]。特解常常被称作为强迫响应，反映了系统对输入信号的特殊响应。全解为y[n]=yn[n]+yp[n]代入边界条件，求出待定系数，从而可以求得y[n]21一月2024信号与系统第二章第一次课17§2.1.2用常系数差分方程描述离散时间LTI系统时域经典法齐次解【例2-9】求解差分方程当初始条件y[1]=-1,y[2]=-3,y[3]=-5时的解解：特征方程为求得特征根齐次解形式为将初始条件代入上式求出系数，得到(二重特征根)21一月2024信号与系统第二章第一次课18§2.1.2用常系数差分方程描述离散时间LTI系统时域经典法特解输入特解1D

nD1n+D2αnDαncosΩn或sinΩnD1cosΩn+D2sinΩn21一月2024信号与系统第二章第一次课19§2.1.2用常系数差分方程描述离散时间LTI系统时域经典法完全解【例2-12】求解差分方程当激励x[n]=2n，且已知y[-1]=0,y[0]=0时的完全解解：齐次解为

令特解21一月2024信号与系统第二章第一次课20§2.1.2用常系数差分方程描述离散时间LTI系统时域经典法完全解【例2-12】(续)完全解为将起始状态代入上式求出系数，得到完全解为21一月2024信号与系统第二章第一次课21§2.2LTI系统的时域响应2.2.1连续时间系统的零输入响应和零状态响应2.2.2连续时间系统的冲激响应和阶跃响应2.2.3离散时间线性时不变系统的零输入响应和零状态响应2.2.4离散时间线性时不变系统的单位样值响应21一月2024信号与系统第二章第一次课22§2.2.1连续时间LTI系统的零输入响应和零状态响应响应区间：激励信号x(t)加入之后系统的状态变化区间称为响应区间。起始状态：y(k)(0-)(k=0,1,…,N-1)，它包含了系统去计算未来响应的全部“过去”信息。初始条件：在t=0时刻加入激励信号x(t)后，系统状态可能发生变化，响应区间内t=0+时刻的这组状态记为y(k)(0+)(k=0,1,…,N-1)。完全响应表达式中的常数Ai是由系统的初始条件来决定的21一月2024信号与系统第二章第一次课23§2.2.1连续时间LTI系统的零输入响应和零状态响应概念起始状态：0-时刻系统各阶导数的值初始条件：0+时刻系统各阶导数的值电压或电流发生突变的条件冲激电流或阶跃电压：电容电压变化冲激电压或阶跃电流：电感电流变化21一月2024信号与系统第二章第一次课24§2.2.1连续时间LTI系统的零输入响应和零状态响应初始条件的确定系统的起始状态y(k)(0-)(k=0,1,…,N-1)就是系统中储能元件的储能情况，当电路中没有冲激信号强迫作用于电感或电容，则换路期间电容两端的电压和电感中的电流不会发生变化。而其它元件在换路期间的元件值则另行计算21一月2024信号与系统第二章第一次课25§2.2.1连续时间LTI系统的零输入响应和零状态响应初始条件的确定用时域经典法求解系统响应时，为确定完全响应表达式中的常数Ai，还必须根据系统的起始状态y(k)(0-)(k=0,1,…,N-1)和激励信号情况求出初始条件y(k)(0+)(k=0,1,…,N-1)，特别地，如果微分方程右端自由项不包含δ(t)及其各阶导数，则系统在(0-,0+)时间区间不发生跳变，初始条件y(k)(0+)(k=0,1,…,N-1)，与起始状态y(k)(0-)(k=0,1,…,N-1)完全相同21一月2024信号与系统第二章第一次课26§2.2.1连续时间LTI系统的零输入响应和零状态响应零输入响应和零状态响应概念零输入响应：单纯由起始状态产生的响应零状态响应：起始状态为零时系统对外加激励信号的响应21一月2024信号与系统第二章第一次课27§2.2.1连续时间LTI系统的零输入响应和零状态响应零输入响应零输入响应是在没有外加激励信号的作用下，只有起始状态(起始时刻系统储能)单独作用时的响应，记为yzi(t)，它是满足方程及非零起始状态y(k)(0-)(k=0,1,…,N-1)的解21一月2024信号与系统第二章第一次课28§2.2.1连续时间LTI系统的零输入响应和零状态响应零状态响应零状态响应是在不考虑起始时刻系统储能的作用下，由系统的外加输入信号单独作用所产生的响应，记为yzs(t)，它满足方程及零起始状态y(k)(0-)=0(k=0,1,…,N-1)零状态响应由强迫响应B(t)及一部分自由响应组成21一月2024信号与系统第二章第一次课29§2.2.1连续时间LTI系统的零输入响应和零状态响应零输入响应的求解步骤令输入信号为零，得到齐次方程求出齐次通解根据起始状态确定待定常数21一月2024信号与系统第二章第一次课30§2.2.1连续时间LTI系统的零输入响应和零状态响应零状态响应的求解步骤令输入信号为零，得到齐次方程求出齐次方程通解求出输入信号不为零时的特解根据零起始状态确定待定常数需将零起始状态转换成初始条件21一月2024信号与系统第二章第一次课31§2.2.1连续时间LTI系统的零输入响应和零状态响应【例2-14】已知系统的微分方程和激励x(t)=2e-tu(t)，y(0-)=6，y'(0-)=0，y(0+)=6，y'(0+)=3，试求该系统的零输入响应和零状态响应21一月2024信号与系统第二章第一次课32§2.2.1连续时间LTI系统的零输入响应和零状态响应【例2-14】(续)解：先求零输入响应yzi(t)，它满足齐次方程特征方程为解得特征根为零输入响应yzi(t)

的形式为21一月2024信号与系统第二章第一次课33§2.2.1连续时间LTI系统的零输入响应和零状态响应【例2-14】(续)根据初始条件可写出方程组解得零输入响应yzi(t)

为21一月2024信号与系统第二章第一次课34§2.2.1连续时间LTI系统的零输入响应和零状态响应【例2-14】(续)再求零状态响应yzs(t)。对于时间段，有从而可设零状态响应yzs(t)形式为