波动和超声波

2024/1/221第四章振动波动和超声波2024/1/222广义振动：任一物理量(如位移、电流等)在某一数值附近反复变化。机械振动：物体在其平衡位置附近作来回往复的运动。2024/1/223§4.1简谐振动谐振动与谐振动方程用旋转矢量表示谐振动谐振动的特征量谐振动的能量几种常见的简谐振动2024/1/224简谐振动是最简单最根本的线性振动。简谐振动：一个作往复运动的物体，如果其偏离平衡位置的位移x〔或角位移〕随时间t按余弦〔或正弦〕规律变化的振动。一、简谐振动的方程2024/1/2251、简谐振动的运动学方程弹簧振子：弹簧—物体系统平衡位置：弹簧处于自然状态的稳定位置轻弹簧—质量忽略不计，形变满足胡克定律物体—可看作质点简谐振动微分方程简谐振动受力特点2024/1/226其通解为：简谐振动的微分方程简谐振动的运动学方程2024/1/227动力学定义——当物体在跟位移成正比而方向相反的弹性力作用下，物体做简谐振动。运动学定义——谐振动物体的加速度跟位移成正比而方向相反，谐振动运动微分方程形如：2、简谐振动的定义：是谐振动的最根本判据。2024/1/228假设初始条件为：3、简谐振动的速度和加速度将位移求导可得：4、方程中的A、ω、φ都为恒量，ω由系统性质决定2024/1/229频率

单位时间内振动的次数。2、周期、频率、角〔圆〕频率周期T

物体完成一次全振动所需时间。描述简谐振动的特征量有：振幅、周期、频率和相位1、振幅A简谐振动物体离开平衡位置的最大位移〔或角位移〕的绝对值。二、简谐振动的特征量2024/1/2210

0

是t=0时刻的位相—初相位3、相位和初相位

0—相位，决定谐振动物体的运动状态x,v,a对弹簧振子角频率

称：固有周期、固有频率、固有角频率2024/1/2211位相差两振动相位之差。a.当

=2k

,k=0,±1,±2…,两振动步调相同,称同相b.当

=

(2k+1)

,k=0,±1,±2...两振动步调相反,称反相

2

超前于

1

或

1滞后于

2

位相差反映了两个振动不同程度的参过失落，可比较两振动的步调。2024/1/22124、比较x、v、a的相和位相和步调v

比x超前π/2a

比x超前π，比v超前π/22024/1/2213谐振动的位移、速度、加速度之间的位相关系toTa

xT/4T/42024/1/2214例1:

一弹簧振子质量为m=2.00×10-2kg

,弹性系数为k=50.0N/m.初始位移和初始速度分别为3.00×10-2m

和

–1.32m/s.试求系统的:(1)角频率;(2)初位相;(3)振幅;(4)周期;(5)频率.解:根据条件: m=2.00×10-2kg k=50.0N/m x0=3.00×10-2m v0=–1.32m/s可得以下结论:2024/1/2215(1).弹簧振子的角频率决定于弹性系数与质量,即:(rad/s) (2).初位相决定于系统的初始位移和速度,即:

t=0,有

x0=Acos

=3.00×10-2m

v0=-Asin=-1.32m/s所以:2024/1/2216(3).振幅:(4).周期为:(5).频率为

f=1/T=1/0.126=7.94Hz2024/1/2217现在讨论描述简谐振动的图示法。矢端点M在振动方向(x轴)上的投影点的运动与谐振动有何关系呢?

为初相旋转矢量——从平衡位置所引的大小等于振幅的矢量.

它以角频率

作逆时针匀速转动，某一时刻与振动方向(X轴)间的夹角即为相位。三、简谐振动的旋转矢量表示法2024/1/22181.M点在x

轴上投影点的运动为简谐振动。2.M

点的运动速度为在x轴上投影点P的运动速度正是振动速度2024/1/22193.M点的加速度在x轴上投影点P

的加速度振动物体的加速度振幅矢量的矢端点M在x轴上的投影点的运动为谐振动。M点速度在x轴上投影，为谐振动的速度。M点加速度在x轴上投影，为谐振动的加速度。结论：2024/1/22204、谐振动与旋转矢量的对应关系A谐振动旋转矢量A

t+

T振幅初相相位圆频率谐振动周期半径初始角坐标角坐标角速度圆周运动周期2024/1/2221以弹簧振子为例谐振动系统的能量=系统的动能Ek+系统的势能Ep某一时刻，谐振子速度为v，位移为x谐振动的动能和势能是时间的周期性函数四、简谐振动的能量2024/1/2222动能势能情况同动能。机械能简谐振动系统机械能守恒2024/1/2223单摆结论：单摆的小角度摆动振动是简谐振动。角频率,振动的周期分别为：当时摆球对C点的力矩五、几种常见的简谐振动2024/1/2224铅直悬挂的弹簧振子平衡位置弹簧伸长x0在任意位置x

处，合力为结论：物体受弹性力和恒力共同作用，仍作谐振动，平衡位置为受外力为0的位置。2024/1/2225例2某简谐振动的速度与时间的关系曲线如下图，试求其振动方程。解：方法1设振动方程为2024/1/2226故振动方程为2024/1/2227§4.2简谐振动的合成同方向同频率的2个谐振动的合成2024/1/2228一、同方向、同频率谐振动的合成合振动是简谐振动,其频率仍为

质点同时参与同方向同频率的谐振动:合振动:一、同方向同频率的2个简谐振动的合成2024/1/2229如A1=A2,那么A=0两分振动相互加强两分振动相互减弱分析若两分振动同相：若两分振动反相:2024/1/2230§4.3阻尼振动受迫振动共振阻尼振动受迫振动与共振2024/1/2231阻尼振动能量随时间减小的振动称阻尼振动或减幅振动。摩擦阻尼：系统克服阻力作功使振幅受到摩擦力的作用，系统的动能转化为热能。辐射阻尼：振动以波的形式向外传播，使振动能量向周围辐射出去。一、阻尼振动2024/1/22321、受迫振动振动系统在周期性外力作用下的振动。弱阻尼谐振子系统在筹划力作用下的受迫振动的方程令周期性外力——筹划力二、受迫振动2024/1/2233稳定解(1)频率:等于筹划力的频率(2)振幅:(3)初相:特点:稳态时的受迫振动按简谐振动的规律变化阻尼振动简谐振动2024/1/2234在一定条件下,振幅出现极大值,振动剧烈的现象。a)、位移共振(1)共振频率:(2)共振振幅:三、共振2024/1/2235§4.4波动方程机械波的产生和传播波面与波线波速、波长、波的周期和频率平面简谐波2024/1/22361、机械波的形成的条件a)、有作机械振动的物体，即波源b)、有连续的弹性介质2、波可分为纵波和横波横波——振动方向与传播方向垂直，如绳波、电磁波纵波——振动方向与传播方向相同，如声波。一、机械波的产生和传播能传播横波的介质需有切变弹性，如：固体能传播纵波的介质需有张变或体变弹性，如：固体、液体和气体2024/1/22373、波的形成过程2024/1/2238结论：机械波向外传播的是波源〔及各质点〕的振动状态和能量。而不是质点的传播。2024/1/2239简谐波:波源以及介质中各质点的振动都是谐振动。任何复杂的波都可以看成假设干个简谐波叠加而成。2024/1/2240波场--波传播到的空间。波面〔波阵面〕--波场中同一时刻振动位相相同的点的轨迹。波前--某时刻波源最初的振动状态传到的波面,即最前面的波面。波线--代表波的传播方向的射线。各向同性均匀介质中，波线恒与波面垂直.沿波线方向各质点的振动相位依次落后。二、波面与波线2024/1/2241波线波面波面波线平面波球面波波面波线波线波面2024/1/2242振动状态〔即位相〕在单位时间内传播的距离称为波速，也称之相速。1、波速u在固体媒质中纵波波速为G、Y为媒质的切变弹性模量和杨氏弹性模量

为介质的密度在固体媒质中横波波速为在同一种固体媒质中，横波波速比纵波波速小些三、描述波动的物理量2024/1/2243在液体和气体只能传播纵波，其波速为：B为介质的体变弹性模量

为密度2、波的周期和频率：波的周期：一个完整波形通过介质中某固定点所需的时间，用T

表示。2024/1/22443、波长

波的频率：单位时间内通过介质中某固定点完整波的数目，用

表示。同一波线上相邻的位相差为2

的两质点的距离。介质决定波源决定〔都与波源一致〕或:

振动在一个周期内传播的距离。2024/1/2245①.波的周期和频率与介质无关，由波源确定;波速与波源无关，由媒质确定。注意几点③.同一波在不同介质中频率不变。②.不同频率的波在同一介质中波速相同。描述波的特征物理量2024/1/22461、平面简谐波的波动方程平面简谐波简谐波的波面是平面。(可当作一维简谐波研究〕一平面简谐波在理想介质中沿x轴正向传播，x轴即为某一波线设原点振动表达式：y表示该处质点偏离平衡位置的位移x为p点在x轴的坐标四、平面简谐波2024/1/2247p点的振动方程：t时刻p处质点的振动状态重复时刻O处质点的振动状态O点振动状态传到p点需用——沿x轴正向传播的平面简谐波的波动方程沿着波传播方向，各质点的振动依次落后于波源振动为p点的振动落后于原点振动的时间2024/1/2248波矢，表示在2

长度内所具有的完整波的数目。沿x轴负向传播的平面简谐波的波动方程：2024/1/22492、波动方程的物理意义1、如果给定x，即x=x0tTTx0处质点的振动初相为x0处质点落后于原点的位相为为x0处质点的振动方程则y=y(t)假设x0=那么x0处质点落后于原点的位相为2

是波在空间上的周期性的标志2024/1/22502、如果给定t，即t=t0，那么y=y(x)表示给定时刻波线上各质点在同一时刻的位移分布,即给定了t0

时刻的波形XYOx1x2同一波线上任意两点的振动位相差2024/1/22513.如x,t

均变化y=y(x,t)包含了不同时刻的波形t时刻的波形方程t+t时刻的波形方程在时间

t内整个波形沿波的传播方向平移了一段距离

x行波2024/1/2252五、举例1.波动方程求各物理量2.各物理量求波动方程2024/1/2253例2：波源振动方程为波速，沿x轴正向,求：①谐波方程；②波长、频率；③处质点振动与波源的相位差。解：①波源波动方程举例2024/1/2254②.波长、频率举例2024/1/2255③.x=5m

处相位相位差P点比波源落后20，即波源完成10个全振动后，振动传播到P点〔P点开始振动〕。质点振动与波源的相位差。波源的相位波源5m处举例2024/1/2256例3：如下图，平面简谐波向右传播速度u=0.08m/s，求：①.波源O点的振动方程；②.谐波方程；③.P点的振动方程；④.a、b两点振动方向。解：①.设波源举例2024/1/2257t=0时，o点处的质点向y轴负向运动②.波动方程波源的振动方程举例2024/1/2258③.P点的振动方程④.a、b振动方向，作出

t后的波形图可知。举例2024/1/2259§4.5波的能量能流密度波的能量能量密度波的强度能流密度波的衰减2024/1/22601、波的能量波不仅是振动状态的传播，而且也是伴随着振动能量的传播。有一平面简谐波质量为在x处取一体积元质点的振动速度体积元内媒质质点动能为：一、波的能量2024/1/2261可以证明体积元内媒质质点的弹性势能为：体积元内媒质质点的总能量为：1〕在波动的传播过程中，任意时刻的动能和势能不仅大小相等而且相位相同，同时到达最大，同时等于零。说明2〕在波传动过程中，任意体积元的能量不守恒。2024/1/22622、能量密度：单位体积介质中所具有的波的能量。3、平均能量密度：一个周期内能量密度的平均值。2024/1/2263能流密度〔波的强度〕：单位时间通过垂直于波动传播方向的单位面积的平均能量。二、能流密度2024/1/22641、波的衰减：波在实际介质中传播时，由于波动能量总有一局部会被介质吸收，波的机械能不断减少，波强亦随距离的增加而逐渐减弱的现象为波的衰减。三、波的衰减2024/1/2265波通过厚度为dx的介质波强的衰减规律：2、波衰减的规律：2024/1/2266§4.6波的干预波的叠加原理波的干预驻波2024/1/2267几列波在同一介质中传播时，在相遇前和相遇后都保持原来的特性〔频率、波长、振动方向、传播方向等〕不变，与各波单独传播时一样，而在相遇处各质点的振动那么是各列波在该处激起的振动的合成。波传播的独立性原理或波的叠加原理：说明：

振动的叠加仅发生在单一质点上

波的叠加发生在两波相遇范围内的许多质点上能分辨不同的声音正是这个原因一、波的叠加原理2024/1/2268两列波假设频率相同、振动方向相同、在相遇点的位相相同或位相差恒定，那么合成波场中会出现某些点的振动始终加强，另一点的振动始终减弱〔或完全抵消〕，这种现象称为波的干预。1、相干条件具有恒定的相位差;振动方向相同.两波源具有相同的频率;满足相干条件的波源称为相干波源。二、波的干涉2024/1/2269传播到p点引起的振动分别为：在p点的振动为同方向同频率振动的合成。设有两个相干波源S1和S2发出的简谐波在空间p点相遇。合成振动为：2、相干情况：2024/1/2270其中：对空间不同的位置，都有恒定的，因而合强度在空间形成稳定的分布，即有干预现象。2024/1/2271相长干预的条件：相消干预的条件：2024/1/2272当两相干波源为同相波源时，相干条件写为相长干预相消干预

称为波程差说明：当两相干波源为同相波源时，在两列波的叠加空间内波程差等于波长整数倍的各点，合振幅最大〔加强〕波程差等于半波长奇数倍的各点，合振幅最小〔减弱〕或为0〔抵消〕2024/1/2273例：位于A、B两点的两个波源振幅相等，频率都是100赫兹，相位差为，其A、B相距30米，波速为400米/秒，求:A、B连线之间因相干干预而静止的各点的位置。解：如下图，取A点为坐标原点，A、B连线为X轴，取A点的振动方程:在X轴上A点发出的行波方程：B点的振动方程:2024/1/2274B点的振动方程:在X轴上B点发出的行波方程：因为两波同频率，同振幅，同方向振动，所以相干为静止的点满足：2024/1/2275相干相消的点需满足：因为：2024/1/22762、驻波的波动方程：1、驻波的形成：驻波是两列振幅、频率相同，在同一直线上传播方向相反的简谐波的叠加。三、驻波2024/1/2277函数不满足它不是行波

它表示各点都在作简谐振动，各点振动的频率相同，是原来波的频率。但各点振幅随位置的不同而不同。驻波的特点：不是振动的传播，而是媒质中各质点都作稳定的振动。2024/1/22783、波腹与波节、驻波振幅分布特点2024/1/2279相邻波腹间的距离为：相邻波节间的距离为：相邻波腹与波节间的距离为：因此可用测量波腹间的距离，来确定波长。2024/1/22804、驻波的位相的分布特点在波节两侧点的振动相位相反。同时到达反向最大或同时到达反向最小。速度方向相反。两个波节之间的点其振动相位相同。同时到达最大或同时到达最小。速度方向相同。2024/1/22815、驻波能量驻波振动中无位相传播，也无能量的传播一个波段内不断地进行动能与势能的相互转换，并不断地分别集中在波腹和波节附近而不向外传播。2024/1/2282当波从波疏媒质垂直入射到波密媒质界面上反射时，有半波损失，形成的驻波在界面处是波节。入射波在反射时发生反向的现象称为半波损失。有半波损失无半波损失当波从波密媒质垂直入射到波疏媒质界面上反射时，无半波损失，界面处出现波腹。较大的媒质称为波密媒质；较小的媒质称为波疏媒质.四、半波损失2024/1/2283§4.7声波频率在20Hz—20KHz的振动称为声振动，所产生的波能引起人的听觉，称声波。频率小于20Hz的声波为次声波，频率大于20KHz的声波为超声波一、声波的物理性质声速：声波的传播速度。声波是纵波，可以在固体、液体和气体等介质中传播。声速决定于介质的性质和温度。常温下空气中的声速为343m/s，在固体和液体中声速要大得多2024/1/22842、声阻抗：声学中表征介质性质的物理量。声阻抗可描述介质是声波的波疏或波密介质，ρu大那么为波密介质，ρu小那么为波疏介质。2024/1/22851、声强：声波的强度，即通过垂直于声波传播方向单位面积单位时间内的能量。二、声强级与听觉区域响度级：表达式：2024/1/2286痛阈：人能忍受的最高声强。听觉阈：由20Hz、20KHz，听阈，痛阈围成的区域范围。见P60

20Hz20KHz痛阈听阈听觉阈Iv2、听觉阈：引起人听觉的声波不仅有频率范围，还有声强范围。听阈：能引起听觉的最低声强。2024/1/22873、声强级：用声强表示声音强度范围较大。如：1000Hz的声音听阈为10-12W/m2,痛阈为1W/m2相差12个数量级，表示起来不方便，声学上常采用对数标度描述声强的等级，称为声强级，用L表示：其中I0=10-12W·m-2

为参考声强2024/1/2288通常声强难以测定，声强级也可用声压来表示：其中P0=2×10-5N·m-2

为参考声压2024/1/2289例.一台机器所产生的噪音强度为10-7

W·m-2,试计算:(1)一台机器的声强级为多少？(2)两台机器同时开动时的声强级为多少？解：2024/1/22904、响度级、等响曲线：响度：人耳对声强大小的主观感受。相同声强级不同频率时响度相同也可能不同相同频率不同强度时响度不同频率、响度、声强无一般规律可循，无直接联系，完全由实验测得，将1000Hz的声音作为基准，对于不同频率的声音变化其强度值，直至听起来感觉与1000Hz的声音一样响，那么为同一响度，同一响度的声音为同一响度级，完全取决于人耳的感觉。2024/1/22912024/1/2292响度级频率为1000Hz的声音其响度级与声强级有相同的量值。见书等响曲线图，每一曲线代表响度相同的各声音，为等响曲线，利用等响曲线，将响度用响度级表示。2024/1/2293三、声波的多普勒效应接收频率——接收器(观察者)在单位时间内接收到的完整波的数目多普勒效应——当波源或观察者，或者两者同时相对于介质有相对运动时，观察者接收到的波的频率与波源的振动频率不同.在波源和观察者均相对于介质为静止时，没有多普勒频移.2024/1/2294(1)波源不动，观察者以相对于介质运动观察者接收的频率观察者向着波源运动观察者远离波源运动2024/1/2295(2)观察者不动，波源以速度相对于介质运动2024/1/2296O波源向着观察者运动观察者接收的频率波源远离观察者运动2024/1/2297(3)波源和观察者同时相对于介质运动假设波源与观察者不沿二者连线运动观察者向波源运动+，远离.波源向观察者运动

，远离

+

.2024/1/2298卫星跟踪系统等.交通上测量车速；医学上用于测量血流速度；天文学家利用电磁波红移说明大爆炸理论；用于贵重物品、机密室的防盗系统；多普勒效应的应用2024/1/2299§4.8超声涉及其医学应用超声波的产生和接收超声波在医学中的应用2024/1/22100波长: 16.